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1、二次函数教案一、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地,形如2yaxbxc（ a ,b,c 是常数, a0 ）的函数,叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数a0 ,而b,c 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数2yaxbxc 的结构特点： 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式, x 的最高次数是 2 a ,b,c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项 二、二次函数的基本形式21. 二次函数基本形式： yax 的性质：a 的肯定值越大,抛物线的开口越小；a 的符号开口方向顶点坐对称性质标轴x0 时, y 随x 的增大而增大；
2、x0a0向上0 ,0y 轴时, y 随x 的增大而减小； x0 时,y 有最小值 0 x0 时, y 随x 的增大而减小； x0a0向下0 ,0y 轴时, y 随x 的增大而增大； x0 时,y 有最大值 0 22. yaxc 的性质：上减下加a 的符开口方 顶点坐对称性质号向标轴x0 时, y 随x 的增大而增大； x0a0向上0 ,cy 轴时, y 随x 的增大而减小； x0 时,y 有最小值 c x0 时, y 随x 的增大而减小； x0a0向下0 ,cy 轴时, y 随x 的增大而增大； x0 时,y 有最大值 c 23. ya xh的性质：左加右减；a 的符号开口方向顶点坐对称性质标
3、轴a0向上h ,0X=hxh 时, y 随x 的增大而增大； xh 时, y 随 x 的增大而减小； xh 时, y 有最小值 0 a0向下h ,0X=hxh 时, y 随x 的增大而减小； xh 时, y 随 x 的增大而增大； xh 时, y 有最大值 0 4. ya xh 2k 的性质：a 的符开口方 顶点坐对称性质号向标轴a0向上h ,kX=hx h 时, y 随x 的增大而增大； xh 时, y 随 x 的增大而减小； xh 时, y 有最小值 k a0向下h ,kX=hxh 时, y 随x 的增大而减小； xh 时, y 随 x 的增大而增大； xh 时, y 有最大值 k 三、二
4、次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式2y a xhk ,确定其顶点坐标2h ,k； 保持抛物线yax 的外形不变,将其顶点平移到h ,k处,详细平移方法如下：y=ax 2向上k0【或向下 k0【或左 h0 【或左 h0 【或下 k0 【或下 k0【或左 h0】平移 |k|个单位y=a x-h2+k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移,负左移； k 值正上移,负下移 ”概括成八个字“左加右减,上加下减” 方法二： yax2bxc 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m个单位, yax2bxc 变成yax2bxcm（或 yax2bxcm ） yax2bxc
5、沿轴平移：向左（右）平移m 个单位, yax2bxc 变成ya xm2bxmc （或 yaxm2b xmc）2四、二次函数2ya xhk 与yax2bxc 的比较从解析式上看,2ya xhk 与 yaxbxc 是两种不同的表达形式, 后者通过配方可以得到前者,即yax22b4acb2a4a,其中 hb ,k 2a4acb24a22五、二次函数2yaxbxc 图象的画法五点绘图法： 利用配方法将二次函数yaxbxc 化为顶点式yaxhk ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点 0,c、以及 0 ,c关于对称轴对称的点
6、 2h ,c、与 x 轴的交点x1 ,0 ,x2 ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点） .画草图时应抓住以下几点： 开口方向, 对称轴, 顶点,与x 轴的交点, 与 y 轴的交点.六、二次函数2yaxbxc 的性质bb4acb 21. 当a0 时,抛物线开口向上,对称轴为 x,顶点坐标为2a,2a4a当 xb 2 a时,y 随 x 的增大而减小； 当xb 时,y 随x 的增大而增大； 当 xb 2a2 a时, y有最小值4acb2 4abb4acb 22. 当a0 时,抛物线开口向下, 对称轴为 x,顶点坐标为2a,当2a4axb 时, y 随x 的增大而增大；当 x 2a
7、b 时, y 随x 的增大而减小；当 x 2ab 时,2ay 有最大值4acb2 4a七、二次函数解析式的表示方法21. 一般式：2yaxbxc （ a , b , c 为常数, a0 ）；2. 顶点式：ya xhk （ a, h , k 为常数, a0 ）；3. 两根式：ya xx1 xx2 （ a0 , x1 ,x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .2留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即b4 ac0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间
8、的关系1. 二次项系数 a二次函数yax2bxc 中, a 作为二次项系数,明显a0 当a0 时,抛物线开口向上, a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大； 当a0 时,抛物线开口向下, a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大总结起来, a打算了抛物线开口的大小和方向, a 的正负打算开口方向, a的大小打算开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下, b 打算了抛物线的对称轴 在a0 的前提下,当b0 时, b2a当b0 时, b2a当b0 时, b2a0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴；0 ,即抛物线对称轴在
9、 y 轴的右侧 在a0 的前提下,结论刚好与上述相反,即当b0 时, b2a当b0 时, b2a当b0 时, b2a0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴；0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧总结起来,在 a 确定的前提下, b 打算了抛物线对称轴的位置ab 的符号的判定：对称轴 xb 在 y 轴左边就 ab 2 a0 ,在 y 轴的右侧就ab0 ,概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项 c 当c0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方, 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当c0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为
10、0 ； 当c0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方, 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的 二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点, 挑选适当的形式, 才能使解题简便 一般来说,有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选
11、用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称222ya xb x 关c于 x 轴对称后,得到的解析式是 yaxbxc ；2ya xhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式是yaxhk ；22. 关于 y 轴对称ya 2xb x 关c于 y 轴对称后,得到的解析式是2yaxbxc ；2ya xhk 关于 y 轴对称后,得到的解析式是ya xhk ；3. 关于原点对称222ya xb x 关c于原点对称后,得到的解析式是yaxbxc ；2yaxh关k 于原点对称后,得到的解析式是ya xhk ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转
12、180）b2ya 2xb x 关c于顶点对称后,得到的解析式是yax2bxc；22a2ya xhk 关于顶点对称后,得到的解析式是ya xhk 5. 关于点 m ,n 对称2ya xhk 关于点 m ,n对称后,得到的解析式是2ya xh2m2nk依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此 a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：21. 二次函数与一
13、元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情形）：一元二次方程ax2bxc0 是二次函数yaxbxc 当函数值 y0 时的特别情形 .图象与 x 轴的交点个数： 当b24 ac0 时,图象与 x 轴交于两点A x ,0,B x ,0xx ,其中的x ,x121212是一元二次方程 ax2bxc0 a0的两根这两点间的距离ABx2x1b4ac .2a 当0 时,图象与 x轴只有一个交点； 当0 时,图象与 x轴没有交点 .1当a0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y0 ；22当a0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y0 2. 抛物线yaxbxc 的图象
14、与 y 轴肯定相交,交点坐标为 0 , c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；2 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置判定二次函数yaxbxc 中a , b , c 的符号,或由二次函数中 a , b , c 的符号判定图象的位置,要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.0抛物线与 x 轴有两个交点0抛物线与 x 轴只有 一个 交点二次三项式的值可正、可零、可负二次三项式的值为
15、非负一元二次方程有两个不相等实根一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与 x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根 .与次函数有关的仍有二次三项式,二次三项式2axbxc a二0) 本身就是所含字母 x的二次函数；图像参考：y=2x 2y=x 2x2y=2x2y= -2y= -x 2y=-2x 2y=2x 2+2y=2x 2y=2x 2-4y=2x 2y=2x-4 2y=2x-4 2-3y=3x+4 2y=3x 2y=3x-2 2y=-2x+3 2y=-2x 2y=-2x-3 2十一、函数的应用二次函数应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1. 考查二
16、次函数的定义、性质,有关试题常显现在挑选题中,如：已知以 x 为自变量的二次函数 ym2 x2m2m2 的图像经过原点, 就m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同始终角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为挑选题,如：如图,假如函数 ykxb 的图像在第一、 二、三象限内, 那么函数 ykx2bx1的图像大致是（）yyyy110xo-1 x0x0 -1 x ABCD3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题显现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如：已知一条抛物线经过 0,3 , 4,6 两点,对称轴为 x式；5 ,求这条抛物线
17、的解析324. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如：已知抛物线yaxbxc （a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是 1、3,与 y 轴3交点的纵坐标是 2（ 1）确定抛物线的解析式； （ 2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 .5考查代数与几何的综合才能,常见的作为专项压轴题；【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例 1 （1）二次函数2yaxbxc 的图像如图 1,就点M b,c 在（ ）aA第一象限B其次象限 C 第三象限 D 第四象限（ 2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图 2 所示, .就以下结论：a、b
18、同号；当 x=1 和 x=3 时,函数值相等； 4a+b=0；当 y=-2 时, x的值只能取 0. 其中正确的个数是（）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个122【点评】弄清抛物线的位置与系数 a,b,c 之间的关系, 是解决问题的关键 例 2. 已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于点 -2 ,O、x 1,0 ,且 1x12,与 y 轴的正半轴的交点在点 O, 2 的下方以下结论： abO；4a+cO,其中正确结论的个数为 A 1个 B. 2个 C. 3个 D 4 个答案： D会用待定系数法求二次函数解析式2例 3. 已知：关于 x 的一元二次方程 ax +bx
19、+c=3 的一个根为 x=-2 ,且二次函数2y=ax +bx+c 的对称轴是直线 x=2,就抛物线的顶点坐标为 A2,-3B.2,1C2,3D3 ,2答案： C例 4、（ 烟台市）如图（单位： m）,等腰三角形 ABC以 2 米/ 秒的速度沿直线 L向正方形移动,直到AB与 CD重合设 x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2（1） ）写出 y 与 x 的关系式；（2） ）当 x=2,3.5 时,y 分别是多少？（3） ）当重叠部分的面积是正方形面积 的 一半时,三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例 5、已知抛物线 y= 12x2+x- 5 2（1） ）用配方法求它的顶
20、点坐标和对称轴（2） ）如该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B,求线段 AB的长【点评】此题（ 1）是对二次函数的“基本方法”的考查,第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系2例 6. 已知：二次函数 y=ax -b+1x-3a的图象经过点 P4,10 ,交 x 轴于 A x1,0 ,B x2 ,0 两点 x1x2 ,交 y 轴负半轴于 C 点,且满意 3AO=OB1 求二次函数的解析式；2 在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角MCO ACO.如存在,请你求出 M 点的横坐标的取值范畴；如不存在,请你说明理由(1) 解：如图抛物线交 x 轴于点 Ax 1,0 ,Bx2,O,就 x1
21、x2=30,又 x1 O, x1O, 30A=OB, x2=-3x 122x1x2=-3x 1 =-3 x1 =1.x10, x1=-1 x2=3点 A-1 ,O,P4 ,10 代入解析式得解得 a=2 b=3二次函数的解析式为 y-2x2-4x-6 (2) 存在点 M使 MC0ACO2 解：点 A 关于 y 轴的对称点 A 1 , O,直线 A,C解析式为 y=6x-6 直线 AC 与抛物线交点为 0 , -6 , 5 , 24 符合题意的 x 的范畴为 -1x0 或 Ox5当点 M的横坐标满意 -1xO 或 OxACO例 7、 “已知函数 y1 x22bxc 的图象经过点 A（ c, 2）
22、,求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3；”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字；（ 1）依据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式？ 如能,请写出求解过程,并画出二次函数图象；如不能,请说明理由；（ 2）请你依据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件, 把原题补充完整；点评：对于第（ 1）小题,要依据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原先的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点 A（ c,2）”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式；对于第（2）小题,只要给出
23、的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了；而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等； 解答（ 1）依据 y1 x 2bx2c 的图象经过点 A（ c, 2）,图象的对称轴是x=3,得1 c 22b1bcc2,3,22b 3,解得c 2.所以所求二次函数解析式为y1 x 223 x2.图象如下列图；（ 2）在解析式中令 y=0,得1 x 223 x20 ,解得 x135, x235.所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（ 3+ 5,0 ”或“抛物线与 x轴的一个交点的坐标是 35
24、,0.令 x=3 代入解析式,得 y5 ,2所以抛物线 y1 x223x2 的顶点坐标为3,5 ,2所以也可以填抛物线的顶点坐标为3,5) 等等；2函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）明白函数的详细特点；借助多种现实背景懂得函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关学问的联系；用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCD（E如图）,其中 AF=2, BF=1试在 AB上求一点 P,使矩形 PNDM有最大面积【评析】此题是一道代数几何综合题,把相像三角形与二次函数的学问有机的结合在一起,能很好考查同学的综
25、合应用才能同时,也给同学探究解题思路留下了思维空间例 2某产品每件成本 10 元,试销阶段每件产品的销售价x（元） .与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010如日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1） ）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2） ）要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元？.此时每日销售利润是多少元？【解析】（ 1）设此一次函数表达式为y=kx+b就 15kb2kb25,20解得 k=-1 ,b=40, .即一次函数表达式为 y=-x+40 （ 2）设每件产品的销售价应定为 x 元,所获销售利润为
26、w元w=（ x-10 ）（ 40-x ）=-x 2+50x-400=- （x-25 ）2+225产品的销售价应定为 25 元,此时每日获得最大销售利润为225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区分,主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时,什么最大（或最小、最省）”的设问中, .“某某”要设为自变量, “什么”要设为函数； （ 2）.问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程例 3. 你知道吗 .平常我们在跳大绳时,绳甩到最高处的外形可近似地看为抛物线如下列图,正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m,距地面均为1m,同学丙、丁分别站在距甲拿绳的手水 平 距离 1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚 好 通过他们的头顶已知同学丙的身高是 15m, 就学生丁的身高为 建立的平面直角坐标系如 右 图所示A1 5 mB 1625 mC1 66 mD 167 m 分析：此题考查二次函数的应用答案： B