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1、全等三角形的识别（二）重点： 掌握三角形全等的识别方法（一）：如果一个三角形的三边与另一个三角形三边对应相等那么这两个三角形全等。简称：“S.S.S. ”掌握三角形全等的识别方法（二）：如果一个三角形的两边和它们的夹角与另一个三角形的两边和它们的交角对应相等，那么这两个三角形全等。简称：“S.A.S.”难点：“S.S.S.” 、 “S.A.S.”识别方法的应用。【学习方法】1我们知道一个三角形有六个元素，即三边a、b、c 和三角A、B、C。运用这六个元素来识别两个三角形的全等，根据全等三角形的概念，三角形的三边对应相等并且三个角也对应相等，那么这两个三角形才能全等。通过此办法来说明两三角形全等
2、较为复杂。做一实验观察发现如果两个三角形的一个或两个元素（边或角）对应相等，这两个三角形不一定能完全重合（即全等）甚至其形状都不尽相同。三个元素对应相等呢？答案是肯定的，你能找出哪几种可能的情况？2.鉴于课本上做一做，已知三条线段为边画一个三角形，这个三角形不会改变。即通过已知三条线段画出的所有三角形都能够完全重合。可感性地认识到全等三角形识别方法（一），即有三边对应相等的两个三角形全等。3.在运用“ S.A.S.”来识别两个三角形全等的问题中，要注意的是两边和它们的夹角对应相等。一般在问题中，如果出现有两边对应相等，则可考虑第三边或它们的夹角是否会相等，从这里找突破口来论证问题。4.运用所学
3、的识别方法识别两个三角形全等来解决线段或角相等的问题。【典型例题分析】例 1. 如图，点 D 是ABC 中 BC 边上的一点，E 是 AD 上一点， EBEC,ABE ACE ，试说明：BAE=CAE. 分析 : 要识别BAE=CAE.关键是找这两个角在哪两个三角形中，从图中可看出若 ABE 和ACE 、 ABD 和ACD 全等则结论成立，本题以此为突破口来证明。解: 在BEC 中， BE=CE, EBC=ECB。又ABE=ACE，ABC=ACB AB=AC ，在AEB 和AEC 中，AE=AE,BE=CE,AB=AC. AEBAEC。BAE=CAE. 说明： 本题很容易出现用“SSA ” 的
4、办法来说明，这种方法不正确，即EB=EC, ABE= ACE ，AE=AE. 得到 AEBAEC BAE=CAE. 因为有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。EDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 例 2.若ABC 中，A30，B70，AC 17cm。DEF 中，D70，E=80，DE=17cm ，那么 ABC 与 DEF 全等码？为什么？分析：在说明两个三角形全等的问题时，有两个角和一边分别相等的两个三角形不
5、一定全等。两个三角形全等，两个角与一边不是仅仅“相等”，还要注意说明对应两字。并且要满足对应的三角形全等的判定。解： 不全等。这是因为（如图）在 ABC 中，A30，B70， AC=17cm 在 DEF 中，F 180DE180 70 80 30，D70， ED 17cm。但 AC 是B 的对边， DE 是F 的对边，又BF，所以这两个三角形不全等。例 3已知：如图， AD=BC,AC=BD. 试说明：DAB=CBA; ACD BDC 。分析： 由于DAB ，CBA 分别在 DAB 和 CBA 中，如果这两个三角形全等，根据全等三角形的特征，结论则成立。解： 在ABD 和BAC 中， AD=B
6、C,BD=AC, ABAB ABDBAC DAB=CBA 同理可证：ACDBDC ACD BDC 。例 4如图，是一个平分角的仪器，其中，AB=AD,BC=DC,将点 A 放在角的顶点， AB 和 AD 沿着角的两边放下。沿AC 画一条射线AE。 AE 就是角平分线。说明它的道理。分析： 要 AE 是角平分线，即要构造两个三角形全等，说明BAE=DAE 。解： 在 ABC 和 ADC 中，AB=AD ，BC=DC,AC=AC ABCADC （SSS）BAC DAC 。例 5.如图，某一养鱼户想测量一池塘两端AB 的长度。请你根据你学过的全等三角形的知识为他设计一个方案，使得在陆地上就能测量出池
7、塘两端A、B 的距离，并说明其中的道理。分析：要运用全等三角形的知识来测量池塘的宽度，不能采用“SSS”方法来设计，目前我们只能考虑“SAS” 方法在 AB 的一侧构造一个三角形使它与AB 所在的一个三角形全等来设计。解：方案：先在地上取一个可以直接到达A 点和 B 点的点 O，连结 AO 并延长到ooo807030CBAooo807030FEDDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - B，使 OB=OB. 连结 OB 并延长到A，
8、使 OA=OA,连结 AB并测量出它的长度就是A、B 间的距离。理由： 由图形可知： OA =OA，OB=OB，AOB AOB, 所以， AOBAOB,(SAS)，所以AB=AB例 6： 已知 ABC 为正三角形， 点 M 为射线 BC 上的任一点， 点 N 是射线 CA 上任意一点， 且 BM=CN ，直线 BM 和 AM 相交于 Q 点。就下面给出的三种情况，如图、图、图，先用量角器分别测量BQM的大小，然后猜测BQM 的度数大小？并利用图证明你的结论。分析：本题通过测量对角的大小有直接的感性认识，根据这一认识判断结论，并寻求答案的证明。我们通过测量可得到BQM 均相等并近似等于60，因此
9、可猜测出BQM=60 。解 ： 用量角器在三个图中分别测BQM, 可知 BQM 均相等，且接近 60。 因此，可猜测BQM=60 。如图证明如下：ABC 为正三角形，AB=BC=AC,BAC=BCA=60 。BM=CN, BM CB=CN CA,即 CM=AN. BAN18060ACM, BANACM. CMA=ANB. 又QAN=CAM, BQM=ANB+QAN=CAM+CMA=BCA=60例 7.如图，已知ACBD，EA、EB 分别平分CAB 和DBA ，CD过 E 点，试说明： AB=AC+BD 。分析： 本题是一道证明线段的和（差）问题，其主要方法为“截长补短法” ，以下给出证法一和证
10、法二请同学们注意。解一：如图，在 AB 上截取 AF=AC ，连结 EF。由 AEFAEB 、CEFDEB, 可证得 AB=AC+BD 。解二：如图，延长 AC 至 F,使 AF=AB, 连结 EF。 由 AEFAEB 、CEFDEB, 可证得 AB=AC+BD. 【同步练习】(1)QNMCBA(2)QNMCBA(3)QNMCBAFEDCBAABCDEF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 一、选择题：1. 如图，在AOB 的两边上截取
11、AO=BO,CO=DO, 连结 AD、BC 交于点 P,则下列结论正确的是（） AODBOC; APCBPD 点 P在AOB 的角平分线上。A. B. C. D. 2.下列各组图形中，一定全等的是（）A. 各有一个角是45的等腰三角形B. 两个等边三角形C. 有两条边相等的两个直角三角形D. 腰和顶角对应相等的两个等腰三角形3. 使两个直角三角形全等的条件是（）A.两直角边对应相等B. 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等D. 斜边相等4. 下列四组中一定是全等三角形的为（）A、 三内角分别相等的两三角形B、斜边相等的两直角三角形C、周长相等的两等边三角形D、面积相等的两等腰三角形二、填空题：5
12、. 如 图 ，1=2 ， 要 使 ABE ACE ， 还 需 要 添 加 一 个 条件。 （只需写一个条件）6. 如 图 ， 已 知AC=BD, 要 使 得 ABC DCB, 只 需 添 加 一 个 条 件是。7.如图，1 2，BC=EF,那么 ABCDEF 成立还需补充的一个直接条件是。 （写出一个即可）8.已知，如图D、E 是 ABC的 BC 边上的两点， AD=AE, 请你再附加一个条件，使 ABEACD. PODCBAODCBAEDCBAABCE21FEDCBA21精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -
13、 - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 三、解答题：9. 如图，已知OA=OB ，AC=BD, 且 OAAC，OBBD,M 为 CD 的 P 点，试说明： OM 平分AOB 。证明：10. 如图， ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，求证：1()2ADABAC证明：11. 如图， ABAE 所以1()2ADABAC11.略证：在BC 上截取 BE=BA ，连结 DE。可证得： ABD EBD 所以 AD=ED ，A= BED 因为AD=DC ，所以 DE=DC 即 DEC=C 所以 DEB+ DEC=180 即 A+ C=18012. 略证：因为ABC
14、 和ADE 都是等腰直角三角形所以 AB=AC,AD=AE,BAC+ CAD= EAD+ CAD 即： BAD= CAE 所以 BAD CAE DCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 所以BD=CE ABD= ACE 因为 CNM= BNA 又因为 ABN+ BNA=90 所以NCM+ CNM=90 即 BDCE 13. 略证：连结 CD 可证明 ABECBD 所以 AE=CD, 因为 BD=DE 所以 BD+DC=AE+DE, 即 BDDCAD 14.略证：在 AB 上截取 AE=AC, 连结 DE 可证明 AEDACD 所以AED=C， DC=DE 因为AB=AC+DC ，所以 EB=ED所以B=EDB 所以C=2B.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -