2022年中考数学压轴题4.pdf

《2022年中考数学压轴题4.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考数学压轴题4.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) (2014?济宁 ,第 22 题 11分)如图 ,抛物线 y=x2+bx+c与 x轴交于 A(5,0)、 B(1,0)两点 ,过点 A作直线 ACx轴,交直线 y=2x 于点 C; (1)求该抛物线的解析式; (2)求点 A 关于直线 y=2x 的对称点A 的坐标 ,判定点 A就是否在抛物线上,并说明理由 ; (3)点 P 就是抛物线上一动点,过点 P 作 y 轴的平行线 ,交线段 CA 于点 M,就是否存在这样的点P,使四边形 PACM 就是平行四边形？若存在,求出点 P 的坐标 ;若不存在 ,请说明理由 . 分析 : (1)利用待定系数法求出

2、抛物线的解析式; (2)首先求出对称点A 的坐标 ,然后代入抛物线解析式,即可判定点A 就是否在抛物线上.本问关键在于求出 A 的坐标 .如答图所示 ,作辅助线 ,构造一对相似三角形Rt A EARtOAC,利用相似关系、对称性质、勾股定理,求出对称点A 的坐标 ; (3)本问为存在型问题.解题要点就是利用平行四边形的定义,列出代数关系式求解.如答图所示 ,平行四边形的对边平行且相等,因此 PM=AC=10;利用含未知数的代数式表示出PM 的长度 ,然后列方程求解. 解答 :解:(1) y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A(5,0)、B(1,0)两点 , ,解得.抛物线的解析式为y=x2x.

3、 (2)如答图所示 ,过点 A 作 A Ex 轴于 E,AA 与 OC 交于点 D, 点 C 在直线 y=2x 上,C(5,10) 点 A 与 A 关于直线 y=2x 对称, OCAA,AD=AD. OA=5,AC=10, OC=.SOAC=OC? AD=OA?AC,AD=.AA=, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) 在 RtA EA 与 RtOAC 中, A AE+AAC=90 ,

4、ACD+A AC=90 , A AE=ACD.又 AEA=OAC=90 , RtA EARt OAC.,即. A E=4,AE=8.OE=AEOA=3.点 A 的坐标为 (3,4), 当 x=3 时,y= (3)2+3=4.所以 ,点 A 在该抛物线上 . (3)存在 .理由 :设直线 CA 的解析式为y=kx+b, 则,解得直线 CA 的解析式为y=x+(9 分) 设点 P 的坐标为 (x, x2x),则点 M 为(x, x+). PM AC, 要使四边形PACM 就是平行四边形,只需 PM=AC.又点 M 在点 P 的上方 , (x+)( x2x)=10. 解得 x1=2,x2=5(不合题

5、意 ,舍去 ) 当 x=2 时,y=. 当点 P 运动到 (2,)时,四边形 PACM 就是平行四边形. 点评 : 本题就是二次函数的综合题型,考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点,涉及考点较多 ,有一定的难度 .第(2)问的要点就是求对称点A的坐标 ,第(3)问的要点就是利用平行四边形的定义列方程求解. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题)

6、.(2014?贵州黔西南州 , 第 26 题 16 分)如图所示 ,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx+c经过 A(3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点 ,其顶点为 D,连接 AD,点 P 就是线段AD 上一个动点 (不与 A、D 重合 ),过点 P 作 y轴的垂线 ,垂足点为 E,连接 AE. (1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D 的坐标 ; (2)如果 P 点的坐标为 (x,y),PAE 的面积为 S,求 S与 x 之间的函数关系式,直接写出自变量x 的取值范围,并求出 S的最大值 ; (3)在(2)的条件下 ,当 S取到最大值时 ,过点 P 作 x 轴的垂线 ,垂足为

7、F,连接 EF,把 PEF 沿直线 EF 折叠 ,点 P 的对应点为点P,求出 P 的坐标 ,并判断 P 就是否在该抛物线上. 第 1 题图分析 :(1)由抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点 ,则代入求得a,b,c,进而得解析式与顶点 D. (2)由 P 在 AD 上,则可求 AD 解析式表示P 点.由 SAPE=?PE?yP,所以 S可表示 ,进而由函数最值性质易得 S最值 . (3)由最值时 ,P 为( ,3),则 E 与 C 重合 .画示意图 ,P过作 PMy 轴,设边长通过解直角三角形可求各边长度 ,进而得 P坐标 .判断 P 就是否在该抛

8、物线上,将 xP坐标代入解析式,判断就是否为yP即可 . 解答 :解:(1)抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点 , ,解得,解析式为y=x22x+3 x22x+3=(x+1)2+4, 抛物线顶点坐标D 为 (1,4). (2)A(3,0),D(1,4), 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) 设 AD 为解析式为y=kx+b,有,解得,AD

9、解析式 :y=2x+6, P 在 AD 上,P(x,2x+6), SAPE=?PE?yP=?(x)? (2x+6)=x23x( 3x 1), 当 x=时 ,S取最大值 . (3)如图 1,设 P F 与 y 轴交于点 N,过 P 作 P My 轴于点 M, PEF 沿 EF 翻折得 P EF,且 P(,3), PFE=P FE,PF=P F=3,PE=PE=, PFy 轴,PFE=FEN, PFE=P FE,FEN=P FE,EN=FN, 设 EN=m,则 FN=m,P N=3m. 在 RtPEN 中,(3m)2+()2=m2,m=. SP EN=?PN?PE=?EN?P M,PM=. 在 R

10、tEMP 中,EM=,OM=EOEM=, P (,). 当 x=时,y=()22?+3= , 点 P 不在该抛物线上. 点评 :本题考查了待定系数法求抛物线解析式,二次函数图象、性质及设边长利用勾股定理解直角三角形等常规考点,题目考点适中 ,考法新颖 ,适合学生练习巩固. (2014?攀枝花 ,第 24 题 12 分)如图 ,抛物线 y=ax28ax+12a(a0)与 x 轴交于 A、 B 两点 (A 在 B 的左侧 ),与 y 轴交于点 C,点 D 的坐标为 (6,0),且 ACD=90 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

11、- - - - - - - - -第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) (1)请直接写出A、B 两点的坐标 ; (2)求抛物线的解析式; (3)抛物线的对称轴上就是否存在点P,使得 PAC 的周长最小？若存在,求出点 P 的坐标及周长的最小值;若不存在 ,说明理由 ; (4)平行于 y 轴的直线m 从点 D 出发沿 x 轴向右平行移动,到点 A 停止 .设直线 m 与折线 DCA 的交点为 G,与 x 轴的交点为H(t,0). 记 ACD 在直线 m 左侧部分的面积为s,求 s关于 t 的函数关系式及自变量t 的取值范

12、围 . 分析 : (1)令 y=ax28ax+12a=0,解一元二次方程,求出点 A、B 的坐标 ; (2)由 ACD=90 可知 ACD为直角三角形 ,利用勾股定理,列出方程求出a 的值 ,进而求出抛物线的解析式 ; (3)PAC 的周长 =AC+PA+PC,AC为定值 ,则当 PA+PC 取得最小值时,PAC 的周长最小 .设点 C关于对称轴的对称点为C,连接 AC 与对称轴交于点P,由轴对称的性质可知点P 即为所求 ; (4)直线 m 运动过程中 ,有两种情形 ,需要分类讨论并计算,避免漏解 . 解答 : 解:(1)抛物线的解析式为:y=ax28ax+12a(a0), 令 y=0,即 a

13、x28ax+12a=0,解得 x1=2,x2=6, A(2,0),B(6,0). (2)抛物线的解析式为:y=ax28ax+12a(a0), 令 x=0,得 y=12a,C(0,12a),OC=12a. 在 RtCOD 中,由勾股定理得 :CD2=OC2+OD2=(12a)2+62=144a2+36; 在RtCOD中,由勾股定理得:AC2=OC2+OA2=(12a)2+22=144a2+4; 在 RtCOD 中,由勾股定理得 :DC2+AC2=AD2; 即:(144a2+36)+(144a2+4)=82, 解得 :a=或 a=(舍去 ), 抛物线的解析式为:y=x2x+. (3)存在 .对称轴

14、为直线 :x=4. 由(2)知 C(0,),则点 C 关于对称轴x=4 的对称点为C(8,), 连接 AC ,与对称轴交于点P,则点 P 为所求 .此时 PAC 周长最小 ,最小值为AC+AC . 设直线 AC 的解析式为y=kx+b, 则有: ,解得, y=x. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) 当 x=4 时,y=,P(4,). 过点 C作 CEx 轴于点 E,则 CE=,AE=

15、6, 在 RtAC E 中,由勾股定理得 :AC=4; 在 RtAOC 中,由勾股定理得 :AC=4. AC+AC =4+4. 存在满足条件的点P,点 P 坐标为 (4,),PAC 周长的最小值为4+4. (4)当 6t 0时 ,如答图 41 所示 . 直线 m 平行于 y 轴, ,即,解得 :GH=(6+t) S=SDGH=DH?GH=(6+t)?(6+t)=t2+2t+6; 当 0t 2 时,如答图 42 所示 . 直线 m 平行于 y 轴, ,即,解得 :GH=t+2. S=SCOD+S 梯形 OCGH=OD?OC+(GH+OC)?OH= 6 2+(t+2+2)?t=t2+2t+6. S

16、=. 点评 : 本题就是典型的二次函数压轴题,综合考查二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、 解一元二次方程、 相似、 勾股定理等知识点,难度不大 .第(3)考查最值问题 ,注意利用轴对称的性质;第(4)问就是动线型问题,考查分类讨论的数学思想,注意图形面积的计算. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) (2014?山东烟台 ,第 26 题 12 分)如图,在平面直角坐标系中,Rt

17、ABC 的顶点 A,C 分别在 y 轴,x 轴上 ,ACB=90 ,OA=,抛物线 y=ax2axa 经过点 B(2,),与 y 轴交于点D. (1)求抛物线的表达式; (2)点 B 关于直线 AC 的对称点就是否在抛物线上？请说明理由; (3)延长 BA 交抛物线于点E,连接 ED,试说明 EDAC 的理由 . 分析 :(1)把点 B 的坐标代入抛物线的表达式即可求得. (2)通过 AOC CFB 求得 OC 的值 ,通过 OCD FCB 得出 DC=CB,OCD=FCB,然后得出结论 . (3)设直线 AB 的表达式为y=kx+b,求得与抛物线的交点E 的坐标 ,然后通过解三角函数求得结果

18、. 解答 :(1)把点 B 的坐标代入抛物线的表达式,得=a 22 2aa,解得 a=, 抛物线的表达式为y=x2x. (2)连接 CD,过点 B 作 BFx 轴于点 F,则BCF +CBF =90 ACB=90 , ACO+BCF=90 , ACO=CBF, AOC=CFB=90 , AOCCFB,=, 设 OC=m,则 CF=2m,则有=,解得 m=m=1, OC=OF=1, 当 x=0 时 y=,OD=,BF=OD, DOC=BFC=90 ,OCD FCB,DC=CB,OCD=FCB , 点 B、C、D 在同一直线上 , 点 B 与点 D 关于直线 AC 对称, 点 B 关于直线 AC

19、的对称点在抛物线上. (3)过点 E 作 EGy 轴于点 G,设直线 AB 的表达式为y=kx+b,则, 解得 k=, y=x+,代入抛物线的表达式x+=x2x. 解得 x=2 或 x=2, 当 x=2 时 y=x+= ( 2)+=, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) 点 E 的坐标为 (2,),tanEDG=, EDG=30 tanOAC=,OAC=30 , OAC=EDG,EDA

20、C. 点评 :本题考查了待定系数法求解析式,三角形相似的判定及性质,以及对称轴的性质与解三角函数等知识的理解与掌握. (2014 年湖北咸宁23.(10 分)如图 1,P(m,n)就是抛物线y=1 上任意一点 ,l 就是过点 (0,2)且与 x 轴平行的直线 ,过点 P 作直线 PHl,垂足为 H. 【探究】(1)填空 :当 m=0 时,OP=1,PH=1;当 m=4 时,OP=5,PH=5; 【证明】(2)对任意 m,n,猜想 OP 与 PH 的大小关系 ,并证明您的猜想. 【应用】(3)如图 2,已知线段 AB=6, 端点 A,B 在抛物线 y= 1 上滑动 ,求 A,B两点到直线l 的距

21、离之与的最小值. 分析 : (1)m 记为 P点的横坐标 .m=0 时,直接代入 x=0,得 P(0,1),则 OP,PH长易知 .当 m=4 时,直接代入 x=4,得 P(4,3),OP 可有勾股定理求得,PH=yP(2). (2)猜想 OP=PH.证明时因为P 为所有满足二次函数y= 1的点 ,一般可设 (m,1).类似 (1)利用勾股定理与 PH=yP(2)可求出 OP 与 PH,比较即得结论. (3)考虑 (2)结论 ,即函数 y=1 的点到原点的距离等于其到l 的距离 .要求 A、B 两点到 l 距离的与 ,即 A、B 两点到原点的与,若 AB 不过点 O,则 OA+OB AB=6,

22、 若 AB 过点 O,则 OA+OB=AB=6, 所以OA+OB 6,即 A、B 两点到 l 距离的与 6,进而最小值即为6. 解答 : (1)解:OP=1,PH=1;OP=5,PH=5. 如图 1,记 PH 与 x 轴交点为 Q, 当 m=0 时,P(0,1).此时 OP=1,PH=1. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) 当 m=4 时,P(4,3).此时 PQ=3,OQ=4, O

23、P=5,PH=yP(2)=3(2)=5. (2)猜想 :OP=PH. 证明 :过点 P 作 PQx 轴于 Q, P 在二次函数y=1 上, 设 P(m,1),则 PQ=|1|,OQ=|m|, OPQ 为直角三角形 , OP=, PH=yP(2)=(1)( 2)=, OP=PH. (3)解:如图 2,连接 OA,OB, 过点 A 作 ACl 于 C,过点 B 作 BD l 于 D,此时 AC 即为 A 点到 l 的距离 ,BD即为 B 点到 l 的距离 . 则有 OB=BD,OA=AC, 在 AOB 中,OB+OA AB, BD+AC AB. 当 AB 过 O 点时 ,OB+OA=AB, BD+

24、AC=AB. 综上所述 ,BD+AC AB, AB=6, BD+AC 6,即 A,B 两点到直线l 的距离之与的最小值为6. 点评 : 本题考查了学生对函数与其图象的理解,另外涉及一些点到直线距离,利用勾股定理就坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点,总体来说难度不高,但知识新颖易引发学生对数学知识的兴趣,非常值得学生练习. ( 2014 年河南 ) (23、 11 分)如图 ,抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A(1,0),B(5,0)两点 ,直线 y=34x+3与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于点 D、点 P 就是 x 轴上方的抛物线上一动点,过点 P 作 PFx 轴于点 F,

25、交直线 CD 于点 E、设点 P 的横坐标为m。(1)求抛物线的解析式; (2)若 PE =5EF,求 m 的值 ; 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) (3)若点 E/就是点 E 关于直线 PC 的对称点、就是否存在点P,使点 E/落在 y 轴上？若存在 ,请直接写出相应的点 P 的坐标 ;若不存在 ,请说明理由。解:(1)抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A (1,0)

26、, B(5,0)两点 , 220=1b+c0=55b+c（）b=4c=5抛物线的解析式为y=x2+4x+5.3 分(2)点 P 横坐标为 m, 则 P(m,m24m5),E(m,34m+3),F(m,0), 点 P 在 x 轴上方 ,要使 PE=5EF,点 P 应在 y 轴右侧 , 0m5、PE=m2 4m 5(34m 3)= m2194m24 分分两种情况讨论: 当点 E 在点 F 上方时 ,EF=34m3、PE=5EF,m2194m2=5(34m3) 即 2m217m26=0,解得 m1=2,m2=132(舍去)6 分当点 E 在点 F 下方时 ,EF=34m3、PE=5EF,m2194m

27、2=5(34m3), 即 m2m17=0,解得 m3=1692,m4=1692(舍去 ), m 的值为 2 或16928分(3),点 P 的坐标为 P1(12,114),P2(4,5), P3(311,2113)、 11分【提示】 E 与 E/关于直线 PC 对称 , E/CP= ECP; 又 PEy 轴,EPC=E/CP=PCE, PE=EC, 又 CECE/,.四边形 PECE/为菱形 . EFABDCOPyX精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 19 页 - - - - -

28、- - - - - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) 过点 E 作 EMy 轴于点 M, CMECOD,CE=5m4、PE=CE,m2194m2=54m 或m2194m2=54m, 解得 m1=12,m2=4, m3=311,m4=3+11(舍去 ) 可求得点 P 的坐标为 P1(12,114),P2(4,5), P3(311,2113)。( 2014?广州 , 第 24题14 分) 已知平面直角坐 标 系 中 两 定 点A(-1,0),B(4,0),抛物线()过点 A、 B,顶点为C.点P(m,n)(n0)为抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式与顶点C 的坐标. (2)当 AP

29、B 为钝角时 ,求 m 的取值范围 . (3)若,当APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t()个单位,点P、C移动后对应的点分别记为、,就是否存在t,使得首尾依次连接A、B、所构成的多边形的周长最短？若存在 ,求 t 值并说明抛物线平移的方向;若不存在 ,请说明理由 . 【考点】动点问题、(1)二次函数待定系数法; (2)存在性问题 ,相似三角形 ; (3)最终问题 ,轴对称 ,两点之间线段最短【答案】 (1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得 : 抛物线解析式为顶点横坐标,将代入抛物线得E/MEFABDCOyXPE/MEFABDCOyXP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

30、 - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) (2)如图 ,当时,设, 则过作直线轴, (注意用整体代入法) 解得,当在之间时 ,或时,为钝角、(3)依题意,且设移动 (向右 ,向左 )连接则又的长度不变四边形周长最小,只需最小即可将沿轴向右平移5 各单位到处沿轴对称为当且仅当、B、三点共线时 ,最小 ,且最小为,此时,设过的直线为,代入即将代入 ,得:,解得 :精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎

31、下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) 当 ,P、C 向左移动单位时 ,此时四边形ABP C 周长最小。(2014?四川泸州 ,第 25 题,12 分)如图 ,已知一次函数y1=x+b 的图象 l 与二次函数y2= x2+mx+b 的图象C 都经过点B(0,1)与点 C,且图象 C 过点 A(2,0). (1)求二次函数的最大值; (2)设使 y2y1成立的 x 取值的所有整数与为s,若 s 就是关于 x 的方程=0 的根 ,求 a 的值 ; (3)若点 F、G 在

32、图象 C 上,长度为的线段 DE 在线段 BC 上移动 ,EF 与 DG 始终平行于y 轴,当四边形 DEFG 的面积最大时 ,在 x 轴上求点 P,使 PD+PE 最小 ,求出点 P 的坐标 . 考点 : 二次函数综合题. 分析 :(1)首先利用待定系数法求出二次函数解析式,然后求出其最大值; (2)联立 y1与 y2得,求出点 C 的坐标为 C(,),因此使 y2y1成立的 x 的取值范围为0 x,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 19 页 - - - - - - - -

33、- - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) 得 s=1+2+3=6;将 s 的值代入分式方程,求出 a 的值 ; (3)第 1 步:首先确定何时四边形DEFG 的面积最大 . 如答图 1,四边形 DEFG 就是一个梯形 ,将其面积用含有未知数的代数式表示出来,这个代数式就是一个二次函数,根据其最值求出未知数的值,进而得到面积最大时点D、E 的坐标 ; 第 2 步:利用几何性质确定PD+PE 最小的条件 ,并求出点 P 的坐标 . 如答图 2,作点 D 关于 x 轴的对称点D,连接 DE,与 x 轴交于点P. 根据轴对称及两点之间线段最短可知 ,此时 PD+PE 最小 .利用待定系数

34、法求出直线DE 的解析式 ,进而求出点P 的坐标 . 解答 :解:(1)二次函数y2=x2+mx+b 经过点 B(0,1) 与 A(2,0), , 解得l:y1=x+1; C:y2=x2+4x+1. y2=x2+4x+1= (x2)2+5, ymax=5; (2)联立 y1与 y2得:x+1= x2+4x+1,解得 x=0 或 x=, 当 x=时,y1= +1=, C(,). 使 y2y1成立的 x 的取值范围为0 x, s=1+2+3=6. 代入方程得解得 a= ; (3)点 D、E 在直线 l:y1=x+1 上, 设 D(p,p+1),E(q,q+1),其中 qp0. 如答图 1,过点 E

35、 作 EHDG 于点 H,则 EH=q p,DH=(qp). 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) 在 RtDEH 中,由勾股定理得 :DE2+DH2=DE2,即(q p)2+(qp)2=()2, 解得 qp=2,即 q=p+2. EH=2,E(p+2,p+2). 当 x=p 时,y2=p2+4p+1, G(p,p2+4p+1), DG=( p2+4p+1)(p+1)=p2+p; 当

36、x=p+2 时,y2=(p+2)2+4(p+2)+1= p2+5, F(p+2,p2+5) EF=(p2+5)( p+2)=p2p+3. S四边形DEFG=(DG+EF) ?EH=(p2+p)+(p2p+3) 2= 2p2+3p+3 当 p=时,四边形 DEFG 的面积取得最大值, D(,)、E(,). 如答图 2 所示 ,过点 D 关于 x 轴的对称点D,则 D(,); 连接 DE,交 x 轴于点 P,PD+PE=PD+PE=DE, 由两点之间线段最短可知,此时 PD+PE 最小. 设直线 DE 的解析式为 :y=kx+b, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

37、 - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) 则有, 解得直线 DE 的解析式为 :y=x. 令 y=0,得 x=, P(,0). ( 2014?海南, 第 24 题 14 分) 如图,对称轴为直线x=2 的抛物线经过A(1,0),C(0,5)两点 ,与 x 轴另一交点为 B.已知 M(0,1),E(a,0),F(a+1,0), 点 P 就是第一象限内的抛物线上的动点. (1)求此抛物线的解析式; (2)当 a=1 时,求四边形 MEFP 的面积的最大值,并

38、求此时点P 的坐标 ; (3)若 PCM 就是以点 P为顶点的等腰三角形,求 a 为何值时 ,四边形 PMEF 周长最小？请说明理由. 分析 :(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式; (2)首先求出四边形MEFP 面积的表达式 ,然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标 ; (3)四边形 PMEF 的四条边中 ,PM、EF 长度固定 ,因此只要ME+PF 最小 ,则 PMEF 的周长将取得最小值 .如答图 3 所示 ,将点 M 向右平移 1 个单位长度 (EF 的长度 ),得 M1(1,1);作点 M1关于 x 轴的对称点 M2,则 M2(1,1);连接 PM2,与 x 轴交于 F 点,此时

39、 ME+PF=PM2最小 . 解答 :解:(1)对称轴为直线x=2, 设抛物线解析式为y=a(x2)2+k. 将 A(1,0),C(0,5)代入得 : ,解得, y=(x2)2+9=x2+4x+5. (2)当 a=1 时,E(1,0),F(2,0),OE=1,OF=2. 设 P(x,x2+4x+5), 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) 如答图 2,过点 P 作 PNy 轴于点 N,

40、则 PN=x,ON= x2+4x+5, MN=ON OM= x2+4x+4. S四边形MEFP=S梯形OFPNSPMNSOME=(PN+OF) ?ONPN?MN OM?OE =(x+2)( x2+4x+5)x?(x2+4x+4) 1 1 =x2+x+ =(x)2+当 x=时,四边形 MEFP 的面积有最大值为,此时点 P坐标为(,). (3)M(0,1),C(0,5), PCM 就是以点 P为顶点的等腰三角形, 点 P 的纵坐标为3. 令 y= x2+4x+5=3, 解得 x=2. 点 P 在第一象限 ,P(2+,3). 四边形 PMEF 的四条边中 ,PM、EF 长度固定 ,因此只要ME+P

41、F 最小,则 PMEF 的周长将取得最小值. 如答图 3,将点 M 向右平移1 个单位长度 (EF 的长度 ),得M1(1,1); 作点 M1关于 x 轴的对称点M2,则 M2(1,1); 连接 PM2,与 x 轴交于 F 点,此时 ME+PF=PM2最小 . 设直线 PM2的解析式为y=mx+n, 将 P(2+,3),M2(1,1)代入得: ,解得 :m=,n=, y=x. 当 y=0 时,解得 x=.F(,0). a+1=,a=. a=时,四边形 PMEF 周长最小 . 点评 : 本题就是二次函数综合题,第(1)问考查了待定系数法;第(2)问考查了图形面积计算以及二次函数的最值;第(3)问

42、主要考查了轴对称最短路线的性质.试题计算量偏大,注意认真计算 . (2013 湖南张家界 ,25,12 分)如图 ,抛物线 y=ax2+bx+c(a 0)的图象过点C(0,1),顶点为 Q(2,3),点 D 在 x 轴正半轴上 ,且 OD=OC. (1)求直线 CD 的解析式 ; (2)求抛物线的解析式; (3)将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转45 所得直线与抛物线相交于另一点E,求证 :CEQ CDO; (4)在(3)的条件下 ,若点 P就是线段QE 上的动点 ,点 F就是线段OD 上的动点 ,问:在 P 点与 F 点移动过程中 ,PCF 的周长就是否存在最小值？若存在,求出这个最小值

43、;若不存在 ,请说明理由 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) 解答:(1)C(0,1),OD=OC, D 点坐标为 (1,0). 设直线 CD 的解析式为y=kx+b(k 0), 将 C(0,1),D(1,0) 代入得 :,解得 :b=1,k=1,直线 CD 的解析式为 :y=x+1. (2)设抛物线的解析式为y=a(x2)2+3, 将 C(0,1)代入得 :1=a (2)2+3

44、,解得 a=.y=(x2)2+3=x2+2x+1. (3)证明 :由题意可知 ,ECD=45 , OC=OD, 且 OCOD, OCD 为等腰直角三角形,ODC=45 , ECD= ODC,CEx 轴,则点 C、E 关于对称轴 (直线 x=2)对称 ,点 E 的坐标为 (4,1). 如答图所示 ,设对称轴 (直线 x=2)与 CE 交于点 F,则 F(2,1), ME=CM=QM=2, QME 与QMC 均为等腰直角三角形, QEC=QCE=45 . 又 OCD 为等腰直角三角形, ODC=OCD=45 , QEC=QCE=ODC=OCD=45 ,CEQ CDO. (4)存在 . 如答图所示

45、,作点 C 关于直线 QE 的对称点 C,作点 C 关于 x 轴的对称点C,连接 CC,交 OD 于点 F,交 QE于点 P,则PCF即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知,PCF 的周长等于线段CC的长度 . (证明如下 :不妨在线段 OD 上取异于点F的任一点 F,在线段 QE 上取异于点P的任一点 P,连接 FC,FP,PC. 由轴对称的性质可知, PCF的周长 =FC+FP+P C; 而 F C+FP+PC就是点C,C之间的折线段,由两点之间线段最短可知:FC+FP+PCCC,即PCF的周长大于 PCE 的周长 .) 如答图所示 ,连接 CE, C,C关于直线QE 对称 ,

46、 QCE 为等腰直角三角形, QCE 为等腰直角三角形,CEC为等腰直角三角形,点 C的坐标为 (4,5); C,C关于 x 轴对称 ,点 C的坐标为 (1,0). 过点 C作 CNy 轴于点 N,则 NC=4,NC =4+1+1=6, 在 RtCNC中 ,由勾股定理得 :CC=. 综上所述 ,在 P点与 F 点移动过程中 , PCF 的周长存在最小值,最小值为. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题 ( 对称问题、双动点对称问题) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - - -