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1、平面向量单元复习与巩固知识点一：向量的有关概念（一）向量：既有又有的量叫做向量向量的叫向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的） （二）向量的表示方法：（1）字母表示法：如, , ,a b c等（2）几何表示法：用一条有向线段表示向量如AB，CD等（3）坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA的起点O为在坐标原点，终点 A 坐标为,x y，则, x y称为OA的坐标，记为OA= （三）相等向量：长度且方向的向量向量可以自由平移，平移前后的向量两向量a与b相等，记为（四）零向量：长度为的向量叫零向量零向量只有一个，其方向是的（五）单位向量：长度等于个单位的向量单位向量有个，每一个方向都有一个单
2、位向量（六）共线向量：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 方向或的非向量，叫共线向量任一组共线向量都可以移到同一直线上规定：0与共线注： 共线向量又称为向量（七）相反向量：长度且方向的向量知识点二：向量的运算（一）运算定义运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法OA+OB= OBOA= 记OA=(x1，y1)，OB=(x2，y2)则OAOB=(，)OBOA=(，)OA+AB= 实数与向量的乘积ABaR记a=(x，y)则a.，两个向量的
3、数量积.a b记1122(,),(,)axybxy则a b= （二）运算律加法：（1）ab（交换律）；（2）()abc（结合律）实数与向量的乘积：（1）()ab；（2）()a；（3）()a两个向量的数量积：（1）ab= ；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （2）(a)b=a()=()；（3）(a+b)c= （三）运算性质及重要结论（1）平面向量基本定理：如果12,e e是同一平面内两个的向量，那么对于这个平面内任一向量a，有且只有
4、一对实数12,，使1122aee，称1122ee为12,e e的线性组合其中12,e e叫做表示这一平面内所有向量的；平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是的当基底12,e e是两个互相的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若 A(x ，y)，则OA=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=(，)（2）两个向量平行的充要条件符号语言：./(0)abb
5、坐标语言为：设非零向量1122,abxyxy，则ab，或（3）两个向量垂直的充要条件符号语言：ba坐标语言：设非零向量1122,abxyxy， 则ab（4）两个向量数量积的重要性质：22|aa即.|a（求线段的长度） ；ba（垂直的判断） ；cos（求角度）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 考点一：平面向量的概念例 1（1）给出下列命题：若 |a|=|b| ，则a=b；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC是四边形 ABC
6、D 为平行四边形的充要条件；若a=b，b=c，则a=c；a=b的充要条件是 |a|=|b| 且a/b； 若a/b，b/c，则a/c其中正确的序号是（2）设0a为单位向量，若a为平面内的某个向量，则0aa a；若a与0a平行，则0aaa；若a与0a平行且1a，则0aa上述命题中，假命题个数是（）A0B1C2D3举一反三：【变式 1】判断下列各命题正确与否：（1）00a；（2）00a；（3）若0,aa ba c，则bc；（4）若a ba c，则bc当且仅当0a时成立；（5）()()a bcab c对任意, ,a b c向量都成立；（6）对任意向量a，有22aa考点二：平面向量的运算法则例 2如图所
7、示，已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若BA=a，BC=b，试用a，b将向量OE，BF，BD，FD表示出来解析：baOFEDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 例 3（1）在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（）AABDCBADABACCABADBDD0ADCB解析：（2）如图所示， D 是ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD（）A12BCBAB12BCBAC12BCBAD12BCBA例 4设 A、B、C
8、、D、O 是平面上的任意五点，试化简：（1）ABBCCD，（2）DBACBD，（3）OAOCOBCO例 5设x为未知向量，a、b为已知向量，解方程2x(5a+3x4b)+12a3b=0例 6已知两单位向量a与b的夹角为0120， 若2,3cab dba，试求c与d的夹角精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 考点三：平面向量的坐标及运算例 7已知ABC中， A(2 ，- 1)，B(3，2)，C(- 3，- 1)，BC 边上的高为AD，求
9、AD解析：例 8已知点(4,0),(4,4),(2,6)ABC，试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标解析：考点四：平面向量的性质例 9已知4,3a，1,2b，,mab2nab，按下列条件求实数的值（1）mn；（2）/ /mn；（3）mn举一反三：【变式 1】平面内给定三个向量3,2 ,1,2 ,4,1abc，回答下列问题：（1）求满足ambnc的实数 m，n；（2）若/ 2akcba，求实数 k；（3）若d满足/dcab，且5dc，求d例 10已知(1,0),(2,1)ab精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -
10、 - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （1）求|3|ab；（2）当k为何实数时，k ab与3ab平行，平行时它们是同向还是反向？举一反三：【变式 1】已知a=(3，4)，b=(4，3)，求 x，y 的值使 (xa+yb)a，且| xa+yb|= 1解析：考点五：共线向量定理及平面向量基本定理例 11 （天津文）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(- 1，3)，若点 C 满足OCOAOB，其中R、，且1，则点 C 的轨迹方程为（）A3x+2y- 11=0B(x-1)2+(y-2)2=5C2x- y=0Dx+2y-
11、 5=0考点六：平面向量综合问题例 12已知向量( , )ux y与( ,2)vyyx的对应关系用( )vf u表示（1）证明：对于任意向量,a b及常数 m，n 恒有()()( )f manbmfanf b成立；（2）设(1,1),(1,0)ab，求向量( )f a及( )f b的坐标；（3）求使( )( , )f cp q， （p，q 为常数）的向量c的坐标例 13求证：起点相同的三个非零向量a，b，3a- 2b的终点在同一条直线上精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页
12、- - - - - - - - - - 证明：总结升华：（1）利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：；（2）用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：；例 14已知222211| 1abcdacbd，求证：思路点拨：222211abcd，可以看作向量()()xabycd，的模的平方，而acbd则是x、y的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式证明：举一反三：【变式 1】已知cossincossinab，其中0（1）求证：ab与ab互相垂直；（2）若k ab与k ab(0k)的长度相等，求解析：例 15如图所示， 正六边形 PABCDE 的边长为 b，有五个力PDPCPBPA、PE作用于同一点
13、P，求五个力的合力精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 解析：（一）向量的线性运算（1）在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；（2）向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端（两向量的终点），指向被减（箭头指向被减数）记清法则是灵活运用的前提（二）共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实
14、数与向量的积得到的通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题（1）用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明（2）向量在几何中的应用：证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件/ /(0)abab b(x1，y1)=(x2，y2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件ba0ba12120 x xy y求夹角问题，利用cosa bab222221212121yxyxyyxx求线段的长度，可以利用2|aa或22122121()()PPxxyy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -