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1、学习好资料欢迎下载平面向量与解三角形单元检测题一、选择题 (本大题共10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1设 x，yR，向量 a(x,1)，b(1，y)，c(2， 4)，且 ac, bc，则 |ab|() A.5B.10 C2 5 D10 2在 ABC 中，N 是 AC 边上一点，且ANuuu r12NCuuu r，P 是 BN 上的一点，若APuu u rmABuu u r29ACuuu r，则实数m 的值为 () A.19B.13C1 D3 3已知点A(1，1)，B(1，2)，C( 2， 1)，D(3， 4)，则向量 AB在CD
2、方向上的投影为A.3 22B.3 152C322D3 1524在直角坐标系xOy 中，AB(2,1)，AC(3，k)，若三角形ABC 是直角三角形，则k的可能值个数是() A1 B2 C3 D4 5已知向量a 与 b 的夹角为 120 ，|a|3，|ab|13，则 |b| 等于()A5 B4 C3 D1 6在四边形ABCD 中， AC(1， 2)，BD(4，2)，则该四边形的面积为A.5 B25 C 5 D10 7如图所示 ,非零向量=a,=b,且 BCOA,C 为垂足 ,若= a( 0),则 =() 8在 ABC 中,sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C, 则 A 的取值范
3、围是() (A) （0,6 (B)6, ）(C)(0,3 (D)3, ) 9设 ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为a，b，c.若 bc2a,3sin A5sin B，则角 CA.3B.23C.34D.5610在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A，B，C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数 ，使得 OC OA(1 )OB成立，此时称实数为“ 向量 OC关于 OA和OB的终点共线分解系数” 若已知 P1(3, 1)， P2(1,3)， 且向量 OP3与向量 a(1,1)垂直，则“ 向量 OP3关于 OP1和 OP2的终点共线分解系数” 为() A 3 B3 C1 D1 二、填空
4、题 (本大题共5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在题中横线上) 11在平面直角坐标系xOy 中，已知OAuu r( 1，t)，OBuu u r(2,2)若 ABO90 ，则实数t 的值为 _名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载12已知 a(1,2)，b(1， )，若 a 与 b 的夹角为钝角，则实数的取值范围是13已知正方形ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 AE
5、 BD_14设 e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为3，若 ae13e2，b2e1，则向量 a 在 b 方向上的射影为 _15若非零向量a，b 满足 |a|b|，(2ab) b0，则 a 与 b 的夹角为 _三、解答题 (本大题共6 小题 ,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16已知 ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，设向量 m(a，b)，n(sin B，sin A)， p(b2，a2)(1)若 mn，求证： ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2，角 C3，求 ABC 的面积17在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为a,b
6、,c,已知 sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求证 :a,b,c 成等差数列 ; (2)若 C=23,求ab的值 . 18在 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边 ,且 a=12c+bcos C. (1)求角 B 的大小 ; (2)若 SABC=3,求 b 的最小值 . 19在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 acos2C2ccos2A232b. (1)求证： a，b，c成等差数列； (2)若 B60 ，b4，求 ABC 的面积20ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰 AC 的长为 3(百米 ),底 AB 的长为
7、4(百米 ).现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计 ),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为S1和 S2. (1)若小路一端E 为 AC 的中点 ,求此时小路的长度; (2)若小路的端点E、F 两点分别在两腰上,求12SS的最小值 . 21已知 ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且满足sinsin2coscosCsincosBCBAA。（1）证明：2bca；（2）如图，点O 是 ABC 外一点，设(0)AOB，OA=2OB=2，当bc时，求平面四边形OACB 面积的最最大值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
8、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载参考答案：1 B由题意可知2x40，42y0，解得x2，y 2.故 ab(3，1)，|ab|10. 2.选 B如图，因为ANuuu r12NCuuu r，所以ANuuu r13ACuuu r，APuu u rmABuu u r29ACuuu rmABuu u r23ANuuu r，因为 B，P，N 三点共线，所以m231，所以 m13. 3. A 解析AB(2，1)，CD(5，5)，所以 AB在CD方向上的投.
9、4. B 解析： .若 A90 ，则AB AC6k0，k 6；若 B90 ，则 AB BCAB (ACAB)0，6k50，k 1；若 C90 ，则 AC CBAC (ABAC) 0，k2k30 无解综上， k 可能取 6， 1 两个数故选B. 5. B 解析向量 a与 b 的夹角为 120 ，|a|3，|ab|13，则 a b|a|b| cos 120 32|b|，|ab|2|a|22a b|b|2. 所以 1393|b|b|2，则 |b| 1(舍去 )或|b|4. 6. C 解析因为 AC BD0，所以 ACBD. 故四边形ABCD 的面积 S12|AC|BD|12 5 255. 7. A【
10、解析】 .,即,所以 (-) =0,所以 |2-=0, 即 2|a|2- ab=0,又 0,解得 =. 8 C.解析:根据正弦定理 ,由 sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C 得 a2b2+c2-bc, 根据余弦定理cos A=2222bcabc2bcbc=12, 又 0A ,0A 3,故选 C. 9. B 【解析】由 3sin A5sin B，得 3a5b.又因为 bc2a，所以 a53b，c73b，所以 cos Ca2b2c22ab53b2b273b2253b b12.因为 C(0，)，所以 C23. 10. D.解析：设 OP3(x，y)，则由 OP3a 知 xy0，于
11、是 OP3(x， x)，设OP3 OP1(1 )OP2，(x， x) (3,1)(1 )(1,3)(4 1,32 )名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载4 1x，32 x，于是 4 132 0， 1. 11. 5 解析：ABOBOAuu u ruu u ruu r(3,2t)，由题意知OB ABuu u ruu u r0，所以 2 32(2t)0，t5. 12，12.因为 a 与 b 的夹角为钝角，
12、所以cos 0 且 cos 1，所以 a b0 且 a与 b 不反向由a b0 得 12 0，故 12，由 a 与 b 共线得 2，故 a 与 b 不可能反向所以 的取值范围为 ，12. 13.2 解析由题意知： AE BD(ADDE) (ADAB)(AD12AB) (ADAB)AD212AD AB12AB24022. 14.52解析a 在 b 方向上的射影为|a|cosa，ba b|b|. a b(e13e2) 2e12e216e1 e25.|b|2e1|2.a b|b|52. 15. 120【解析】(2ab) b0， 2a bb20，a b12b2，设 a 与 b 的夹角为 ，又 |a|b
13、|，cos a b|a|b|12b2|a|b|12， 120 . 16.解： (1)证明： mn， asin Absin B. 即 aa2Rbb2R，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径，故 ab，即 ABC 为等腰三角形(2)由题意可知m p0，即 a(b2)b(a2)0.abab. 由余弦定理可知4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40， ab4(舍去 ab 1)故 S12absin C12 4 sin33. 17.(1)证明 :由 sin Asin B+sin Bsin C+1-2sin2B=1 得 sin A+sin C-2sin B=0. 因为sinaA=sinbB=
14、sincC,所以 a+c-2b=0, 所以 2b=a+c,即 a、b、c 成等差数列 . (2)解:由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C 及 2b=a+c,c=23, 得(a-2b)2=a2+b2-2ab12.即 a2+4b2-4ab=a2+b2+ab, 也即 3b2=5ab,所以ab=35. 18.解:(1)由正弦定理可得sin A=12sin C+sin Bcos C, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - -
15、- 学习好资料欢迎下载又因为 A=-(B+C), 所以 sin A=sin(B+C), 可得 sin Bcos C+cos Bsin C=12sin C+sin Bcos C, 又 sin C 0,即 cos B=12,所以 B=3. (2)因为 SABC=3,所以12acsin3=3,所以 ac=4, 由余弦定理可知b2=a2+c2-ac2ac-ac=ac,当且仅当 a=c 时等号成立 . 所以 b2 4, 即 b2, 所以 b 的最小值为2. 19.解析：(1)acos2C2ccos2A2a1cos C2c1cos A232b，即 a(1cos C)c(1cos A)3b.由正弦定理得：s
16、in Asin Acos Csin Ccos Asin C3sin B，即 sin Asin Csin(AC)3sin B， sin Asin C2sin B. 由正弦定理得，ac2b，故 a，b，c 成等差数列(2)由 B60 ， b4 及余弦定理得：42a2c22accos 60 ，(ac)23ac16，又由 (1)知 ac2b，代入上式得4b23ac16，解得 ac16， ABC 的面积 S12acsin B12acsin 6043. 20.解:(1)E 为 AC 中点时 ,则 AE=EC=32,32+332+4,F 不在 BC 上.故 F在 AB 上, 可得 AF=72,在三角形 AB
17、C 中,cos A=23. 在三角形 AEF 中,EF2=AE2+AF2-2AE AFcos A=152,EF=302. 即小路一端E 为 AC 中点时小路的长度为302百米 . (2)若小路的端点E、F 两点分别在两腰上,如图所示 , 设 CE=x,CF=y, 则 x+y=5,12SS=ABCCEFCEFSSS=ABCCEFSS-1 =1sin21sin2CA CBCCE CFC-1=9xy-1292xy-1=1125,当 x=y=52时取等号 . 答:最小值为1125. 21. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -