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1、大一上学期高数期末考试题(见解)大一上学期高数期末考试题(见解)高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）已知cosxx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosxxdx1.212.limnn(cosncos22ncos2nn).122xarcsinx1dx3.11x22.二、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)4.设(x)1x1x，(x)333x，则当x1时（ ）.（A）(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）(x)与(x)是等价无穷小；（C）(x)是比(x)高阶的无穷小；（D）(x)是比(x)高阶的无穷小.5.设f(x)cosx(xsinx),则
2、在x0处有( ).（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可导.6.若F(x)x0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且f(x)0，则（）.（A）函数F(x)必在x0处取得极大值；（B）函数F(x)必在x0处取得极小值；（C）函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0)为曲线yF(x)的拐点；（D）函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0)也不是曲线yF(x)的拐点。f(x)是连续函数，且f(x)x217.设0f(t)dt,则f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.8.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
3、9.设函数yy(x)由方程exysin(xy)1确定，求y(x)以及y(0).求1x710.x(1x7)dx.)nu,dxxn1axax11nxdxdunnn1nxQ(x)xQ(x)nxnnduaxnnxnQ(x)du1dnuQ(u)au11.xxe， x0设f(x) 求22xx，0x113f(x)dx元，去，在有的公式中，尤其是多项1式，要尽可能变形，换12.0设函数f(x)连续，且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.g(x)f(xt)dtlimf(x)xA，A为常数.求13.求微分方程xy2yxlnx满足14.已知上半平面内一曲线yy(x)9的解.四、解答题（本大题10分）(x0)
4、，过点(0,1)y(1)1，且曲线上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15.过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16.设函数qf(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q0,1，10f(x)dxqf(x)dx0a0,1.f(x)在上连续且单调递减是关键，要想到定积分的中值定理，f(x)dxf()(ab),这样就会把单调性联系起
5、b来。17.设函数f(x)在0,上连续，且0f(x)dx0，0f(x)cosxdx0.证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.（提xF(x)示：设0f(x)dx）解答一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）e35.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导61cosx2 ()cx.6.2.7.2.8.exy(1y)coxys(xy)(yxyxy)xcos(xy)x0,y0，y(0)1767xdxdu10.解：ux y(x)eeycos(xy)原式17u(1
6、u)(1u)du17(1u2u1)du17171(ln|u|2ln|u1|)cln|x|72xxdx2227ln|1x|C711.解：3f(x)dxxd(ex03xe10xdx1003)01(x1)dxxxxee302cosd (令x1sin)212.解：由f(0)0，知g(0)0。4x1xtu2e130f(u)duxg(x)g(x)0f(xt)dtx(x0)xf(x)x02f(u)du(x0)xg(0)lim0x0f(u)dux2limxf(x)2xx0A2A2xf(x)x02f(u)duAlimg(x)limx0A2x0，g(x)在x0处连续。dy13.解：dx2x2ylnx2lnxdxC
7、)2yexdx(exdx13xlnx1C,19xCx1xlnx19x93，四、解答题（本大题10分）xy(1)0y14.解：由已知且y2ydxy0，23,将此方程关于x求导得y2yy2特征方程：rr20解出特征根：r11,r22.2x其通解为yC1exC2eC213代入初始条件y(0)y(0)1，得3故所求曲线方程为：五、解答题（本大题10分）y2exC1e2x13ylnx01x0(xx0)15.解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：由于切线过原点，解出x0e1，从而切线方程为：12e1y1exA则平面图形面积(e0yey)dyV113（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥
8、体体积记为V1，则e2曲线ylnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V21V2(ee)dy0y2VV1V26D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）q1qq(5e12e3)2116.证明：0f(x)dxqf(x)dx00f(x)dxq(f(x)dx0qf(x)dx)这个只是书写答案，q1f(x)dx0qqf(x)dx01qf(x)dx0qqf(x)dxf(x)dxq10(1q)f(x)dxqf(x)dx00不是思考答案，思考因该是反过来。q(1q)f()q(1q)f()12f()f(),12又1q2与已知条件单调性相符
9、1。(1q)f(x)dxqf(x)dx0qf(1)f(2)10,q2q,1q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：q00f(x)dxqf(x)dx0证毕。17.xF(x)证：构造辅助函数：0f(t)dt,0x。其满足在0,上连续，在(0,)上可导。F(x)f(x)，且F(0)F()00由题设，有0f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|00sin0xF(x)dx，有F(x)sin0xdx0，由积分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即F()0综上可知F(0)F()F()0,(0,).在区间0,上分别应用罗尔定理，知存在1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f
10、(1)f(2)0.扩展阅读：大一上学期高数期末考试题高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）已知cosxx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosxxdx1.212.limnn(cosncos22ncos2nn).122xarcsinx1dx3.11x22.二、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)4.设(x)1x1x，(x)333x，则当x1时（ ）.（A）(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）(x)与(x)是等价无穷小；（C）(x)是比(x)高阶的无穷小；（D）(x)是比(x)高阶的无穷小.5.设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有(
11、 ).（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可导.6.若F(x)x0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且f(x)0，则（）.（A）函数F(x)必在x0处取得极大值；（B）函数F(x)必在x0处取得极小值；（C）函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0)为曲线yF(x)的拐点；（D）函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0)也不是曲线yF(x)的拐点。f(x)是连续函数，且f(x)x217.设0f(t)dt,则f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.8.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.设函数y
12、y(x)由方程exysin(xy)1确定，求y(x)以及y(0).求x710.1x(1x7)dx.)11.12.xxe， x0设f(x) 求22xx，0x113f(x)dxxA10设函数f(x)连续，且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.g(x)f(xt)dtlimf(x)，A为常数.求13.求微分方程xy2yxlnx满足14.已知上半平面内一曲线yy(x)9的解.四、解答题（本大题10分）(x0)，过点(0,1)y(1)1，且曲线上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15.过
13、坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16.设函数qf(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q0,1，10f(x)dxqf(x)dx0.17.设函数f(x)在0,上连续，且0f(x)dx0，0f(x)cosxdx0.证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.（提xF(x)示：设0f(x)dx）解答一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共1
14、6分）e35.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导xy)e(1y61cosx2 ()cx.6.2.7.2.8.coxys(xy)(y)xcos(xy)x0,y0，y(0)1767xdxdu10.解：ux y(x)eexyxyycos(xy)原式17u(1u)(1u)du17(1u2u1)du17171(ln|u|2ln|u1|)cln|x|72xxdx2227ln|1x|C711.解：3f(x)dxxd(ex03xe10xdx1003)01(x1)dxxxxee302cosd (令x1sin)212.解：由f(0)0，知g(0)0。4x1xtu2e130f(u
15、)duxg(x)g(x)0f(xt)dtx(x0)xf(x)x02f(u)du(x0)xg(0)lim0x0f(u)dux2limxf(x)2xx0A2A2xf(x)x02f(u)duAlimg(x)limx0A2x0，g(x)在x0处连续。dy13.解：dx2x2ylnx2lnxdxC)2yexdx(exdx13xlnx19C,19xCx1xlnx19x3，四、解答题（本大题10分）y(1)0y14.解：由已知且y2ydxy0x，23,将此方程关于x求导得y2yy2特征方程：rr20解出特征根：r11,r22.2x其通解为yC1exC2eC213代入初始条件y(0)y(0)1，得3故所求曲线
16、方程为：五、解答题（本大题10分）y2exC1e2x131x015.解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：由于切线过原点，解出x0e1ylnx0(xx0)，从而切线方程为：12e1y1exA则平面图形面积(e0yey)dyV113（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则e2曲线ylnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V21V2(ee0y)dy2VV1V26D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）q1qq(5e12e3)2116.证明：0qf(x)dxqf(x)dx010f(x)dx
17、q(f(x)dx0qf(x)dx)(1q)f(x)dxqf(x)dx0qf(1)f(2)10,q2q,1q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：q00f(x)dxqf(x)dx0证毕。x17.F(x)证：构造辅助函数：0f(t)dt,0x。其满足在0,上连续，在(0,)上可导。F(x)f(x)，且F(0)F()0由题设，有0f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|00sin0xF(x)dx，有F(x)sin0xdx0，由积分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即F()0综上可知F(0)F()F()0,(0,).在区间0,上分别应用罗尔定理，知存在1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.第 7 页 共 7 页