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1、专题04 三角函数的图像与性质1、【2018年江苏卷数】.已知函数图象关于直线对称，则的值是_【答案】.【解析】：由对称轴得，再根据限制范围求结果.由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A0,0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.2、【2019年高考全国卷文数】函数在的图像大致为（ ）ABCD【答案】D【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A又，排除B，C，故选D3、【2019年高考全国卷文数】若x1=，x2=是函数f(x)=(0)两个相邻的极值点，则=（ ）A2BC1D【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得故选A【名师点睛】本题
2、考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养利用周期公式，通过方程思想解题4、【2019年高考全国卷文数】函数在0，2的零点个数为（ ）A2 B3 C4D5【答案】B【解析】由，得或，在的零点个数是3，故选B5、【2019年高考北京卷文数】设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，即，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推
3、理能力的考查.根据定义域为R的函数为偶函数等价于恒成立进行判断.6、【2019年高考天津卷文数】已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则（ ）A2BCD2【答案】C【解析】为奇函数，；的最小正周期为，又，故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数，结合函数性质逐步得出的值即可.7、【2018年高考天津卷文数】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A在区间上单调递增B在区间上单调递减C在区间上单调递增D在区间上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知
4、：将函数的图象向右平移个单位长度之后的解析式为，则函数的单调递增区间满足，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误.故选A.8、【2019年高考浙江卷】设函数.（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域【答案】（1）或；（2）【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，即，故，所以又，因此或（2）因此，函数的值域是一、任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin ，cos ，tan (x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表
5、示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线（3）.同角三角函数的基本关系平方关系：sin2cos2； 商数关系：tan .（4）诱导公式公式一二三四五六来源:Z#xx#k.Com角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos_余弦cos cos cos cos_sin sin 正切tan tan tan tan_口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限二、 正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRxxR
6、，且x值域来1,11,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2k，2k(kZ)上是递增函数，在2k，2k(kZ)上是递减函数在2k，2k(kZ)上是递增函数，在2k，2k(kZ)上是递减函数在k，k(kZ)上是递增函数周期性周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是2周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是2周期是k(kZ且k0)，最小正周期是对称性对称轴是xk(kZ)，对称中心是(k，0)(kZ)对称轴是xk(kZ)，对称中心是k，0(kZ)对称中心是(kZ)三、函数yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)振幅周期频率相位初相ATfx四、由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(
7、x)(A0，0)的图象的两种方法题型一 三角函数的性质1、一般先要对三角函数式进行三角恒等变换，把三角函数式化为同名三角函数，即化为yAsin(x)k或yAcos(x)k或yAtan(x)k的形式，再根据三角函数的周期公式求解；2、判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式；3、求形如yAsin(x)或yAcos(x)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“x”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解。例1、(2019苏锡常镇调研）函数的图像关于直线对称，则的最小值为 【答案】【解
8、析】解法1：根据余弦函数的图像及性质，令，得，令得，又因为，所以当时取得最小值为解法2：由条件可得，即，则，解得，又因为，所以当时取得最小值为解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！例2、(2019南京、盐城二模） 若函数f(x)2sin(x)(0，0)的图像经过点，且相邻两条对称轴间的距离为，则f的值为_【答案】【解析】由相邻两条对称轴间的距离为，知其最小正周期T2，从而得2，又f(x)2sin(2x)的图像经过点，所以2sin2，解得2k(kZ)，又因为00，0)中参数的方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A，b；(2)求：确定函数的周期T，则
9、可得；(3)求：常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)例5、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)2sin(x)的部分图像如图所示，直线x，x是其相邻的两条对称轴(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若f，且，求cos的值规范解答 (1) 设f(x)的周期为T，则，所以T.又T，所以2，所以f(x)2sin(2x)(3分) 因为点在函数图像上，所以2sin2，即sin1.因为，即0，左移；0，上移；k0，下移(2)伸缩变换沿x轴伸缩由yf(x)变为yf(x)时，点的纵坐标不变，横
10、坐标变为原来的倍沿y轴伸缩由yf(x)变为yAf(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍例6、(2018南通、泰州一调）在平面直角坐标系xOy中，将函数ysin的图像向右平移个单位长度若平移后得到的图像经过坐标原点，则的值为_【答案】 【解析】解法1(代入特殊点) 平移后的解析式为ysinsin，因为函数图像过原点，则sin0，即sin0，所以2k(kZ)，则，又0，所以.解法2(函数的性质) 平移后的解析式为ysinsin.因为函数图像过原点，则函数为奇函数，所以2k(kZ)，所以，又00) 与函数 y |cosx|的图像恰有四个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，
11、y3)，D(x4，y4), 其中 x1x2x30，0)的图像与直线ym的三个相邻交点的横坐标分别是，则实数的值为_【答案】4【解析】由题意得函数f(x)的最小正周期T，从而4.3、(2019南京学情调研）已知函数f(x)2sin(2x)的图像关于直线x对称，则f(0)的值为_【答案】1【解析】由题意，f2sin2，即sin1，又因为， 0，R)是偶函数，点(1，0)是函数yf(x)图像的对称中心，则的最小值为_【答案】 【解析】 根据函数f(x)sin(x)(0，R)的图像及性质，利用整体思想表示，然后求解解法1 令xk1，k1Z，得x.因为函数f(x)sin(x)(0，R)是偶函数，则x0得
12、k1.因为点(1，0)是函数yf(x)图像的对称中心，所以f(1)0，即sin()0，故k2，k2Z，则k2k2(k2k1).又因为0，所以当k2k11时，取最小值为.解法2 函数f(x)是偶函数，所以图像关于x0对称又(1，0)是函数f(x)的对称中心，所以T1，得，kZ.又0，所以min. 抓住周期函数的图像中对称轴与对称中心的距离和周期的关系是解题的关键8、(2019苏北三市期末）将函数f(x)sin2x的图像向右平移个单位长度得到函数g(x)的图像，则以函数f(x)与g(x)的图像的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为_【答案】 【解析】平移后的函数g(x)sin.令f(x)g(x)，得
13、sin2xsin.解法1 2x2x2k(kZ)，即x(kZ)，相邻的三个交点为，(，)，.故所求面积为S.解法2 sin2xsinsin2xcoscos2xsinsin2xcos2x，即sin0，则有2xk(kZ)，x(kZ)，相邻的三个交点为，.则所求面积S.9、(2017无锡期末） 设函数f(x)sin2xcosxcos，则函数f(x)在区间上的单调增区间为_【答案】 【解析】思路分析 利用三角恒等变换公式将函数化为正弦型函数即可f(x)cosxsinxcos2xsin2xsin.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，当k0时，x，故f(x)在上的单调增区间是.10、(2017南京三模）在
14、同一直角坐标系中，函数ysin(x) （x0，2）的图象和直线y 的交点的个数是 【答案】2 解法1 令，可得即，又x0，2，所以或，故原函数图象与的交点个数为2.解法2 在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为211、(2018无锡期末） 函数ycos(2x)(0)的图像向右平移个单位长度后，与函数ysin的图像重合，则_【答案】 【解析】函数ycos(2x)的图像向右平移个单位长度后所得图像的函数是ycoscos(2x)sin，由题意可得2k，kZ，故2k，kZ，又因为00.若函数f(x)在上恰有2个零点，则的取值范围是_【答案】.【解析】解法1 当f(x)取零点时，x(kZ)，
15、当x0时的零点从小到大依次为x1，x2，x3，所以满足解得.解法2 因为x0，2，所以x，而函数ysin在区间，2上的两个零点只能为，2，故220，因为函数ysin(x)在区间0，2上单调递增，所以x0，22k，2k，kZ，即2，解得00.根据函数式的特点，先把平方式展开，再降幂化为二倍角的三角函数更合理(2) 可在限定区间内找出f(x)单调递增区间；也可先求出f(x)所有的单调递增区间，再限定在区间内规范解答 (1) 因为f(x)3cos2x2cosxsinxsin2x2sin2x(1cos2x)sin2x(1cos2x)2sin2x(2分)sin2xcos2x22sin2.(4分)所以函数
16、f(x)的最小值是0，(5分)此时2x2k，kZ，即x的取值集合为.(7分)(2) 当x时，2x，(9分)令2x或2x，(12分)得x或x.所以f(x)的单调递增区间是和.(14分) 在一个周期长的区间内，若区间的端点值不是函数f(x)的最值，则单调递增区间有两个对于公式asinxbcosxsin(x)中的快速确定，其实就是向量(a，b)与x轴正半轴所成的角，另外是向量(a，b)的模理由如下：令r，则asinxbcosxr(sinxcosx)，记cos，sin，则asinxbcosxr(sinxcoscosxsin)rsin(x)，由三角函数的定义知是向量(a，b)与x轴正半轴所成的角16、（
17、2018南京、盐城一模）设函数f(x)Asin(x)A0，0，0，所以T2，得1.(4分)所以f(x)2sin(x)，将点，2代入，得2k(kZ)，即2k(kZ)，又，所以.(6分)所以f(x)2sinx.(8分)(2) 当x，时，x，(10分)所以sinx，1，即f(x)，2(14分)易错警示 在求f(x)的解析式中的值时，如果选用图像过点，0来求，往往会导致增根，这是因为在正弦函数的一个周期内会有3个零点，因此，在求的值时，一般会用最值点来求，这样，就会有效地避免出现增根17、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数（）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点 （1）求函数的解析式；（2）若角满足，求角的值规范解答 （1）由条件知：周期，即，所以，即 3分因为的图象经过点，所以，所以，所以 6分（2）由，得， 8分即，所以，即 12分因为，所以或 14分【易错警示】这由，求角的值，会忽略的限制条件，出现少解或多解的错误现象.