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1、专题08 三角函数的图像和性质 一、 三角函数的图像和性质知识框架 二、根据解析式研究三角函数性质 【一】化为同角同函型研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）或，常见方法有：（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函；（2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；（3）用两角和、差公式或辅助角公式将已给函数化成同函.1.例题【例1】函数的单调递增区间是（ ）A B C D 2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数.的最大值为_ ；设当时，取得最大值，则_.【练习2】已知函数，
2、求函数的最小正周期和单调增区间； 【练习3】已知，求的最小正周期及单调递增区间【二】化为二次函数型研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述或的形式，有时会化简为二次函数型：或，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意的取值范围.若将已给函数化简为更高次的函数，如，则换元后可通过导数求解.如：解析式中同时含有和，令，由关系式得到关于的函数表达式.1.例题【例1】函数的最大值为 _ 【例2】函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数，则的最小值是_【练习2】求
3、函数的最大值与最小值.【练习3】函数ysin xcos xsin xcos x，x0，的值域为_ 三、根据图像和性质确定解析式 【一】图像型对形如中参数的确定，应准确识别和利用题干中函数图像的信息（如周期、振幅、最值、特征点等），列出方程（组）或不等式（组），常规方法有：（1） 由振幅或最值，可确定;（2） 由周期的值或取值范围，可确定的值或取值范围；（3） 由特征点，可列出三角方程（组），可确定.（有时也需特征点来确定）1.例题【例1】已知函数的部分图象如图所示，其中分别是函数的图象的一个最低点和一个最高点，则（ ）A. B. C. D. 【例2】函数的图象如图所示，则（ ）A 在上是增函数
4、B 在上是增函数C 在上是増函数D 在上是增函数【例3】已知函数， 的部分图像如图所示，已知点， ，若将它的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数图像的一条对称轴方程为（ ）A B C D 2.巩固提升综合练习【练习1】函数 (其中， )的部分图象如图所示,将函数的图象（ ）可得的图象A 向右平移个长度单位 B 向左平移个长度单位C 向左平移个长度单位 D 向右平移个长度单位【练习2】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y3sin(x)k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为_.【二】性质型对形如中参数的确定，应充分挖掘题干中所给的函数性质（如周期、单调性
5、、最值、奇偶性、对称性等），列出方程（组）或不等式（组）.特别地，正弦型函数与最小正周期相关的几种表述：（1） 两个相邻最低（高）点的距离，即为;（2） 两个相邻对称轴的距离，即为;（3） 两个相邻对称中心的距离，即为;（4） 相邻对称中心与对称轴的距离，即为;1.例题【例1】已知函数 为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )（A）11（B）9（C）7（D）5【例2】设函数，若在区间上单调，且，则的最小正周期为（ ）A B2 C4 D【例3】设函数，其中，.若，且的最小正周期大于，则（ ）（A），（B），（C），（D），2.巩固提升综合练习【练习1】设函数f（x）=，若对任意的实
6、数x都成立，则的最小值为_【练习2】若函数的图象关于轴对称，则的一个值为（ ）A B C D 四、图像变换问题 由变换成的两种变换方式：（1） ；（2） 注：两种变换方法，相位或周期变换都只针对自变量.1.例题【例1】已知曲线，则下面结论正确的是（）A把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲
7、线【例2】设函数，其中.已知.（）求；（）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.2.巩固提升综合练习【练习1】函数（， ）的最小正周期是，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（ ）A 关于点对称 B 关于直线对称C 关于点对称 D 关于直线对称【练习2】已知函数，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为，若函数的图象在，两处的切线都与x轴平行，则的最小值为（ ）A B C D 五、三角函数值域（最值）求三角函数的值域（最值），通常利用正余
8、弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型：（1） ，令，则；（2） ，引入辅助角，化为；（3） ，令，则；（4） ，令，则，所以；（5），根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.1.例题【例1】 已知函数，则在上的最大值与最小值之差为 【例2】函数的最小值为 【例3】函数的最小值是_【例4】求函数的值域2.巩固提升综合练习【练习1】已知的定义域为.求的最小值.【练习2】函数（）的最大值是 。【练习3】求函数的值域 六、平面向量为载体的三角函数综合问题 三角函数与向量的综合问题中，向量只是工具，问题的本质还是三角函数问题.解决本类问题的常规
9、方法是：将向量的平行、垂直、数量积等通过坐标运算转化为三角函数形式，然后进行恒等变换，进而解决本问题.1.例题【例1】 设向量， .（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的单调递减区间.【例2】 已知向量（1）若ab，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值2.巩固提升综合练习【练习1】已知， ，设函数（1）求函数的单调增区间；（2）设的内角， ， 所对的边分别为， ， ，且， ， 成等比数列，求的取值范围【练习2】已知， ，记函数（1）求函数的最小正周期；（2）如果函数的最小值为，求的值,并求此时的最大值及图像的对称轴方程.七、课后自我检测 1.函数 的部分图象如图所示,则_；函数
10、在区间上的零点为_2.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）已知在中， 的对边分别为，若， ，求面积的最大值.3.已知函数部分图象如图所示.（1）求值及图中的值；（2）在中，角的对边分别为，已知 ，求的值 4.，函数.（1）求的对称中心；（2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的值.5.函数 的最大值是_6.已知函数，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（ ）A B C D 7.已知函数对任意都满足，则函数的最大值为A 5 B 3 C D 8将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法不正确的是AB在区间上是增函数C是图象的一条对称轴D是图象的一个对称中心9已知,将的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的得到的图象，下列关于函数的说法中正确的个数为（ ）函数的周期为;函数的值域为;函数的图象关于对称;函数的图象关于对称.ABCD10.函数ysin xcos xsin xcos x，x0，的值域为_11.已知向量， ， ，且为锐角（1）求角的大小；（2）求函数 ()的值域12.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，且满足|m+n|=3（1）求角A的大小；（2）若b+c=3a，试判断ABC的形状