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1、小结与复习第3章 一次方程与方程组要点梳理考点讲练当堂练习课堂小结要点梳理要点梳理一、方程的有关概念 1.方程：含有未知数的等式叫做方程2.一元一次方程的概念：只含有_个未知数，未知数的次数都是_，等式两边都是_，这样的方程叫做一元一次方程3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根4.解方程：求方程解的过程叫做解方程一1整式二、二（三）元一次方程组的有关概念 1.二元一次方程的概念：含有_未知数的_方程，叫做二元一次方程.2.二元一次方程组的概念：由两个_方程组成的含有_未知数的方程组叫做二元一次方程组.3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程
2、都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.4.三元一次方程组的概念：由三个_方程组成的含有_未知数的方程组叫做三元一次方程组.两个一次一次两个一次三个等式的性质：(1)等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等如果ab，那么a_bc.(2)等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等如果ab，那么ac_或_(c0)（3）如果a=b，那么b=a.（对称性）（4）如果a=b，b=c，那么a=c.（传递性）三、等式的基本性质 bccacbc解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘(2)去括号：注意括号前的系数与符号(3)移项：把含有未知数的
3、项移到方程的左边，常数项移到方程右边，移项注意要改变符号(4)合并同类项：把方程化成axb(a0)的形式(5)系数化为1：方程两边同除以x的系数，得xm的形式三、一元一次方程的解法 四、二元一次方程组的解法 （1）代入法：从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减法：把方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法.五、三元一次方程组的解法 消元法：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组转化为简单易解的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程称为用消元法解三元一次方程组.1.列方程
4、(组)的应用题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量设：设未知数.列：根据题意寻找等量关系列方程解：解方程（组）验：检验方程的解是否符合题意答：写出答案(包括单位)注意 审题是基础，找等量关系是关键.六、用一次方程与方程组解决实际问题2.常见的几种方程类型及等量关系：(1)行程问题中基本量之间的关系： 路程速度时间；相遇问题：全路程甲走的路程乙走的路程；追及问题：甲为快者，被追路程甲走路程乙走路程；流水问题：v顺v静v水，v逆v静v水（2）等积变形问题中基本量之间的关系： 原料面积=成品面积； 原料体积=成品体积.（4）销售问题中基本量之间的关系： 实际售价-进价（成本）=利润；
5、利润进价100%=利润率； 进价（1+利润率）=售价；标价折扣数10=进价.（5）和、差、倍、分问题中基本量之间的关系： 增长率=原有量增长率； 现有量=原有量+增长量. 降低量=原有量降低率； 现有量=原有量-降低量.（3）储蓄问题中基本量之间的关系： 本金利率年数=利息； 本金+利息=本息和.（6）百分率问题中基本量之间的关系： 浓度问题：浓度=溶质质量溶液质量； 增长率问题：原量（1+增长率）=增长后的量； 原量（1-减少率）=减少后的量.考点讲练考点讲练考点一 方程（组）的有关概念【解析】将x2代入方程得1a1，得a2. C针对训练1.若(m3)x| m|221是关于x的一元一次方程，
6、则 m的值为_3为什么m的值不能为3？例2.若(a-3)x+y|a|-2|9是关于x,y的二元一次方程，则 a的值为_【解析】由题意，未知数x的系数为a-3,所以a-3 0. 由未知数y的次数为|a|-2,所以|a|-2=1,即a= 3.但a 3.所以a=-3. -3针对训练2.若xm-yn+2=3是二元一次方程，则 mn的值为_-1考点二 等式的基本性质【解析】选项A的变形是在等式左边减去x，等式右边减去(x2)是错误的；B的变形是在方程两边都除以x，是错误的；C在依据规则将系数化为1中出错；D正确D针对训练B注意：a可能为0考点三 一元一次方程的解法【解析】对于第(1)题，将方程的两边同乘
7、以12，约去分母，然后求解；对于第(2)题，先用分配律、去括号简化方程，再求解较容易例4 解下列方程,1211014121xxx）（.238)4121(34432xx）（针对训练考点四 二（三）元一次方程组的解法例5 解下列方程组23,13813.xyxy（）41) 312.2 3x yyxy （）-2，（2）3,6101.610 xyxyxyxy（3）53413,27319,3218.xyzxyzxyz（4）23,13813.xyxy（）解：由得，x=3+2y. 将代入中，3(3+2y)-8y=13 解得y=-2. 将y=-2代入中，得 x=-1.所以原方程组的解为1,2.xy41) 312
8、.2 3x yyxy （）-2，（2）解：原方程组可化简为由2+，得11x=22,所以x=2.将x=2代入中，得8-y=5，解得y=3.所以原方程组的解为2,3.xy45,3212.xyxy3,6101.610 xyxyxyxy（3）,.610 xyxymn解：设3,1.mnmn解得1,2.mn所以1,62.10 xyxy即6,x y20.xy解得13,7.xy则原方程组可化为方程组中有分数形式，这类方程组可以利用设参数的方法进行消元.53413,27319,3218.xyzxyzxyz（4）解：+4，得17x+5y=85. 3-,得7x-y=35. 解由组成的方程组，得x=5,y=0. 把x
9、=5,y=0代入中，得15-z=18，即 z=-3.所以，原方程组的解为5,0z3.xy针对训练解：将代入中，得1+y+2y=10,解得y=3.将y=3代入中，得 所以，原方程的解为4.3x4,33.xy3210,13x1 y.xy （）5 解下列方程组,23445.xyzxyz（2）解：设 得x=2k,y=3k,z=4k.将其代入方程中，得2k+3k+4k=45.即k=5.所以，原方程组的解为k.234xyz 210,315,420.xkykzk考点四 实际问题与一次方程（组）例6.一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中速度为7 km/h，水流速度为2 km/h，往返一次共用28 h
10、，求甲、乙两码头之间的距离解：设甲、乙两码头之间的距离是x km，相等关系：顺水航行时间逆水航行时间往返一次共用时间依题意得28,727 2xx解得 x=90 答：甲、乙两码头之间的距离是90km一 行程问题方法技巧（1）顺水航行所用时间+逆水航行所用时间=总时间.（2）顺流速度=船在静水中的速度+水流速度. 逆流速度=船在静水中的速度-水流速度.针对训练 6.小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15千米，可早到10；每小时骑12千米，就会迟到5，则他家到学校的路程是多少千米？解：设他家到学校的路程是x千米，依题意得10515601260 xx解得 x=15 答：他家到学校的路程是15 千米.二
11、 等积变形问题例7. 用直径90mm的援助形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125125mm2,内高81mm的长方体铁盒倒满水时，玻璃杯中的水的高度下降了多少mm?(结果保留整数）解：设玻璃杯中的水的高度下降了x mm.相等关系：玻璃杯中倒出水的体积=长方体铁盒的体积依题意得 290()125 125 81.2x解得 x199. 答：玻璃杯中的水的高度下降了199mm.针对训练7. 已知一圆柱形容器底面积为0.5m,高为1.5m,里面盛有1m深的水，将底面半径为0.3m，高为0.5m的圆柱形铁块沉入水中，问容器内水面将升高多少？解：设容器内的水面将升高x m.相等关系：圆柱内升高部分的体积=
12、元形铁块的体积依题意得 20.50.3()() 0.5.22x 解得 x=0.18. 答：容器内的水面将升高0.18m.例8. 某农户把手头一笔钱买了年利率为2.89%的3年期国库券.如果他想3年后得到2万元，现应买这种国库券多少？三 储蓄问题解：设现应购买这种国库券x元.相等关系：本息和=本金+利息=本金+本金利率年数依题意得 x+ 2.89%3x=20000. 解得 x=18404 .答：现应买这种国库券18404元.针对训练8. 小红的父亲在停征利息税后存入了一种年利率为2.43%的两年储蓄，到期后，所得利息正好给小红买了一个价格为121.5元的计算器，那么小红的父亲存入了多少元钱？解：
13、设小红的父亲存入了x元钱.相等关系：利息=本金年利率年数依题意得 2.43%2x=121.5 . 解得 x=2500 .答：小红的父亲存入了2500元.例9. 某种商品零售价每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的9折降价并让利40元，仍可获利10%，则这种商品的进货每件多少元？四 销售问题解：设这种商品进货每件为x元.相等关系：标价折扣10-40=进价（1+10%）依题意得 （1+10%）x=900910-40 . 解得 x=700 .答：这种商品进货每件为700元.方法技巧（1）售价=标价折扣10.（2）售价=进价+利润=进价（1+利润率）.针对训练9. 一件衣服按标价的6折出售，店
14、主可赚22元.已知这件衣服的进价是50元，这件衣服的标价是多少元？解：设这件衣服的标价为x元.相等关系：标价折扣10=进价+利润.依题意得 . 650 22.10 x解得 x=120 .答：这件衣服的标价为120元.五 比例问题例10. 三个正整数的比为1:2:4，它们的和是84，那么这三个数分别是多少？解：设一份为x，则三个数分别为x,2x,4x.相等关系：三数之和=84.依题意得 x+2x+4x=84 . 解得 x=12 .所以，x=12,2x=24,4x=48.答：这三个数分别为12,24和48.方法技巧比例问题一般采用间接设元法，通常设每一份为x.比例问题中等量关系为：各部分之和=总量
15、.针对训练10.A、B、C三个公司合作一项工程，计划派出91名技术人员，按公司的投入比例3:4:6，则A、B、C三个公司分别派出的技术人员的人数各是多少？解：设一份为x人，则A、B、C三个公司分别派出的技术人员为3x人、4x人、6x人.相等关系：三个公司派出的技术人员之和=91.依题意得 3x+4x+6x=91 . 解得 x=7 .所以，3x=21,4x=28,6x=42.答：A、B、C三个公司分别派出的技术人员为21人、28人、42人.六 和、差、倍、分问题例11. 旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1
16、公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？解：设油箱中原有的汽油x公斤.相等关系：两次所用汽油之和=剩余汽油-1. 两次所用汽油之和+剩余汽油=原有汽油.依题意得 25%x+(1-25%)x40%2-1=x . 解得 x=10.答：油箱中原有汽油10公斤.针对训练11.把一个减法算式里的被减数，减数与差相加，得数是592，已知减数比差的2倍还大2，问减数是多少？解：设差为x,则减数为2x+2.相等关系：被减数=减数+差.被减数+减数+差=592.依题意得 (x+2x+2)2=592 . 解得 x=98. 所以减数2x+2=198答：减数为198.七 百分率问题例12. 已知现有含盐20%与含盐8%的盐水
17、，若需配置含盐15%的盐水300千克，求这两种盐水各需多少千克？解：配置300千克含盐15%的盐水，需含盐20%的盐水x千克，需含盐8%的盐水y千克.相等关系：含盐20%的盐水质量+含盐8% 的盐水质量=300. 两种盐水中的含盐量之和=30015%.依题意得 300,20%8%300 15%.xyxy解方程组得：x=175,y=125. 答：需含盐20%的盐水175千克，需含盐8%的盐水125千克.针对训练12.某学校去年有学生1000人，今年比去年总的人数增加3.4%，其中寄宿生增加了6%，走读生减少了20%，问该校去年寄宿生与走读生各是多少人？解：设该校去年寄宿生x人，走读生y人.相等关
18、系：去年寄宿生人数+去年走读生人数=1000.寄宿生增加的人数-走读生减少的人数=增加的人数.依题意得 1000,6%20%1000 3.4%.xyxy解方程组得：x=900,y=100. 答：该校去年寄宿生900人，走读生100人.八 配套问题例13. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制成盒身25个，或制盒底40个，一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？解：设用x张制盒身，y张制盒底，可使盒身与盒底正号配套.相等关系：制作盒身的铁皮+制作盒底的铁皮=36. 盒底的数量=2盒身的数量.依题意得 36,40y2 25 .xyx 解方
19、程组得 16,20.xy答：用16张制盒身，20张制盒底，可使盒身与盒底正号配套.针对训练13.某工地需要派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应该怎样安排人员，正好能使挖的土及时运走？解：设用x人挖土，y人运土，正好使挖的土及时运走.相等关系：挖土的人员+运土的人员=48. 挖土的数量=运土的数量.依题意得 48,53 .xyxy解方程组得 18,30.xy答：设用18人挖土，30人运土，正好使挖的土及时运走.课堂小结课堂小结一次方程与方程组概念与性质应用一元一次方程等式的性质二元一次方程一元一次方程组一元一次方程组方程的解性质1性质2性质3性质4解方程方程(组)的解二元一次方程组一元一次方程实际问题方程(组)消元代入法加减法见本课时练习课后作业课后作业