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1、第第 页页13.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换 图形的输入和输出都是在定的坐标系中进行的。为了提高图形处理的效率和便于用户理解，在输入输出的不同阶段需要采用不同的坐标系。图形学常用到的坐标系基本上有以下三级。世界坐标系世界坐标系(World Coordinate System，WC) 设备坐标系设备坐标系(Device Coordinate System，DC)规格化设备坐标系规格化设备坐标系(Normalized Device Coordinate System，NDC) 第第
2、 页页23.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】世界坐标系世界坐标系世界坐标系可以是二维的，也可以是三维的。世界坐标系各坐标轴的取值范围为整个实数域。世界坐标系是与设备无关的坐标系，它不受输入输出有效幅面的限制。世界坐标系有右手坐标系和左手坐标系之分。 在实际应用中，用户针对不同的实际问题而定义的原始坐标系称为用户坐标系。最常用的用户坐标系有直角坐标系，也称为世界坐标系。此外还有极坐标系、球坐标系、柱坐标系等。第第 页页33.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【
3、结束结束】【首页首页】设备坐标系设备坐标系设备坐标系是指图形系统对图形进行输出的坐标系。设备坐标系都是二维的。设备坐标系的数据类型只能是整型。设备坐标系坐标轴的取值范围受输出设备有效幅面的限制。设备坐标系的坐标原点因设备而异。绘图机坐标系显示器坐标系第第 页页43.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】规格化设备坐标系规格化设备坐标系YXO1.01.0 规格化设备坐标系是介于世界坐标系与设备坐标系之间的一种坐标系，它是与设备无关的坐标系，约定坐标轴的取值范围是从0.0到1.0。用户坐标系的取值范围因实际问题而异，而设备
4、坐标系的取值范围又因设备而异，所以，引入规格化设备坐标系可提高图形应用程序的可移植性。第第 页页53.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】 窗口在用户坐标系中预先选定的将产生图形显示的区域。 设定窗口的位置和大小来选取图形的方法称为开窗。 一般地，把窗口定义成矩形，该矩形区域的左下角点和右上角点的坐标用来确定矩形窗口的大小和位置。OXY(Xw ,Yw )(Xw ,Yw )窗口窗口第第 页页63.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】 视区是在
5、图形设备上定义的区域，用于输出所要的图形和文字。视口的大小可以小于或等于屏幕输出域。 通常把视区定义成与窗口同样纵横比的矩形。以视区域的左下角点和右上角点的坐标来确定矩形窗口的大小和位置。OXY(Xv ,Yv )(Xv ,Yv )第第 页页73.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】窗口窗口视区的变换视区的变换 由于窗口和视区是在不同的坐标系中定义的，它们的大小和单位都不相同，因此，在把窗口中的图形信息送到视区去输出之前，必须把用户坐标系的坐标值转化为图形设备(如图形显示器)坐标系的坐标值，这个变换即是窗口视区变换。O
6、XY(Xv ,Yv )(Xv ,Yv )(Xw ,Yw )(Xw ,Yw )窗口与视区的变换可以归结为坐标点的变换。XY第第 页页83.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】窗口与视区的变换公式窗口与视区的变换公式(Xw1,Yw1)(Xw,Yw)(Xw2,Yw2)(Xv1,Yv1)(Xv2,Yv2)(Xv,Yv)窗口视区第第 页页93.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】视口与窗口水平和垂直方向的比例因子分别为： Sx= Sy= 窗口内点Pw
7、映射到视区内Pv的计算公式为：XV= XV1+Sx(XW XW1 ) YV= YV1+Sy(YW YW1 ) XV1-XV2XW1-XW2YV1-YV2 YW1-YW2窗口与视区的变换公式窗口与视区的变换公式第第 页页103.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】当视区大小不变时，窗口缩小或放大时，则显示的图形会放大或缩小；当窗口大小不变时，视区缩小或放大时，则显示的图形会缩小或放大；当窗口与视区大小相同时，则显示的图形大小比例不变。若视区纵横比不等于窗口的纵横比时，则显示的图形会有失真现象。窗口视区 讨论讨论第第 页
8、页113.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】3.1.2 3.1.2 二维图形变换二维图形变换第第 页页123.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】变换矩阵的概念变换矩阵的概念 在二维空间里，点可以用坐标来表示，比如，一个点的位置可表示为(x，y)，同样，也可以写成矩阵形式x y或x yT。行矩阵x y或列矩阵x yT 通常称为向量（行向量或列向量）。二维图形则可用点集来表示：点的变换通过矩阵运算实现：旧点（集）x变换矩阵新点（集）x1 y
9、1 x2 y2x3 y3 xn yn第第 页页133.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】变换矩阵变换矩阵设点P(x,y)绕原点O逆时针旋转角后，变换到P*(x*,y*)位置。X*=OP*cos(+) =OP(coscos-sinsin) =xcos-ysinX*=OP*sin(+) =OP(sincos-cossin) =ycos+xsin第第 页页143.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】即可得点 的旋转变换公式为：x*=xcos-y
10、sin y*=xsin+ycos 写成矩阵运算的形式：x* y*=x ycossinsincoscossinsincos令 T= 称为旋转变换矩阵。第第 页页153.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】 若令T= 为变换矩阵，可见，变换后点的位置取决于T内各元素a,b,c,d（又称算子）的值。 图形的每一种变换，首先要推导出其变换矩阵T，并弄清各元素的赋值规律及其对图形变换的实际影响，就能主动地改变它们的值，使之与图形点集矩阵相乘，以达到各种不同的变换效果。二维基本变换包括：二维基本变换包括：比例变换、对称变换、旋转
11、变换、错切变换、平移变换a bc d变换矩阵变换矩阵第第 页页163.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】齐次（坐标）变换矩阵 五种基本变换都可以用二维图形变换的一般表达式，即齐次坐标变换矩阵表示： 按矩阵中各元素的功能，把矩阵T分成四个部分：第第 页页173.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】 对图形进行比例、对称、旋转、错切等变换。 l m对图形进行平移变换，l、m分别为x、y方向的平移量。 s是对整个图形作缩放变换（全比例变换），当
12、s=1时为恒等变换。当s1图形产生整体比例缩小。 对图形进行投影变换，p的作用是在x轴的1/p处产生一个灭点，q的作用是在y轴的1/q处产生一个灭点。a bc dp q 第第 页页183.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】二维组合变换二维组合变换 在实际应用中，为了达到某种图形效果，有时需要对图形连续进行几次基本变换才能满足要求。我们把几次基本变换的变换矩阵组合到一起，构成一个用一次矩阵运算就能完成特定功能的新矩阵，从而减化运算量。这种新的矩阵称之为组合矩阵或复合矩阵组合矩阵或复合矩阵，这种多个基本变换组成复杂变换
13、的方法叫做变换的级联变换的级联，或称组合变换组合变换。第第 页页193.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】 如图，可理解为由两个连续发生的基本变换组合而成的个组合变换，变换过程为原图形首先作对y轴的对称变换，再作沿x轴方向的45度错切变换。这组合变换，可用矩阵形式表示为： T = =-1 0 1 11 01 1-1 0 0 1 由此可见，若干个基本变换的连乘(级联)，可获得一个组合变换。显然，连乘的变换顺序不能颠倒连乘的变换顺序不能颠倒。因因为矩阵乘法不满足交换律（为矩阵乘法不满足交换律（如图如图）。第第 页页20
14、3.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】例：如图示三角形abc，求其绕任意P 点旋转角的变换图形。1)将旋转中心P 点平移到原点,其变换矩阵为2) 将图形绕原点旋转，变换矩阵为：3)将旋转后的图形平移回P(xP,yP ) 点。变换矩阵为：P (xp,yp )abcabcdefghi10100011ppyxT1000cossin0sincos2T10100013ppyxT第第 页页213.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】 将三次变换的矩阵
15、按顺序依次乘到一起，得到图形绕平面上任意一点P（xP、yP）旋转角的组合变换矩阵为： 当xP=0，yP =0时，为绕原点的旋转变换矩阵。1)cos1 (sinsin)cos1 (0cossin0sincos321ppppyxyxTTTT结论：复合变换矩阵通常是若干基本变换矩阵的乘积，由于矩阵乘法不符合交换律，因此，复合变换的求解顺序不能随意变动如图第第 页页223.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】例： 关于任意直线的对称变换 设直线的方程为AX+By+C=0，直线与x、y轴的截距分别-C/A和-C/B。该变换要经
16、过下述几个步骤来实现：1、平移x=C/A，使直线通过原点；2、逆时针方向旋转， 使直线与y轴重合；3、关于Y轴对称变换；4、顺时针方向旋转；5、从原点反平移x=c/a， 使直线回到原来的 位置。第第 页页233.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】 变换矩阵分别为： 将五次基本变换依次相乘构成一个组合矩阵：第第 页页243.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】例：正方形ABCD各顶点坐标为A（0，0）、B（10，0）、C（10，10）、D（
17、0，10），求其沿x正向平移10，沿 y正向平移20再绕原点逆时针旋转90后的图形A*B*C*D*。解： 变换矩阵第第 页页253.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】如图：ABCDABCDA*B*C*D*第第 页页263.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】编程：如果abc的顶点坐标为(40,40;90,90;40,60)，P点坐标为(20,30)，旋转角为90o ，用C语言编程实现该图形变换。main() float degree=90
18、,x3=40,90,40,y3=40,40,60; float x13,y13; int I,m,n,xa=20,ya=30; m=DETECT; initgraph(&m,&n,“c:); degree=degree*PI/180; for(i=0;i3;i+) x1i=(xi*cos(degree)-yi*sin(degree)-xa*cos(degree) +ya* sin(degree)+xa; y1i=(xi*sin(degree)+yi*cos(degree)-xa*sin(degree) -ya* cos (degree)+ya; line(x10,y10,x11,y11); l
19、ine(x10,y10,x12,y12); line(x11,y11,x12,y12); getch(); closegraph(); #include #include #include #define PI 3.1415926第第 页页273.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】C语言编程注意：1、程序开始必须加入：、程序开始必须加入：#include2、图形系统初始化、图形系统初始化Int gdriver=DETECT,gmode;initgraph(&gdriver,&gmode,“:”);/自动检测所用适配
20、器类型，并将相应的驱动程序装入，将其最高的显示模式作为当前显示模式closegraph();/关闭图形系统，恢复到文本方式.3、基本图形函数、基本图形函数Void far line(int x0,int y0,int x1,int y1);/从(x0,y0)点到(x1,y1)点画一直线。Void far lineto (int x,int y);/从当前画笔位置到(x, y)点画一直线。Void far outtextxy(int x,int y,char far *textstring);getch();第第 页页283.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下
21、页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】3.1.33.1.3三维图形变换三维图形变换第第 页页293.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】三维基本变换三维基本变换 以二维变换为基础，很容易引伸到三维变换。 二维点的位置向量其齐次坐标是用三个分量x y 1来表示的，三维点的位置向量则要用四个分量x y z 1来表示了。相应的变换矩阵也要用T4X4方阵的形式。第第 页页303.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】 将矩阵分为四部分，则每个子
22、矩阵对图形的变换作用为：3X3方阵 产生三维图形的比例、对称、旋转、错切等基本变换。l m n产生沿X、Y、Z方向的平移变换。p q rT产生图形的透视变换。s产生图形的总比例变换。第第 页页313.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】比例变换比例变换 与二维比例变换类似，主对角线上的元素a e j起局部比例变换的作用，而元素s则起整体比例变换的作用。 例如令非对角线上的元素全为零，s=1，对空间点的位置向量进行变换，即：比例变换矩阵第第 页页323.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下
23、页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】当a=e=j=1，s1时，产生整体等比例变换。整体等比例变换矩阵等比例变换等比例变换第第 页页333.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】平移变换平移变换平移变换矩阵第第 页页343.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】旋转变换旋转变换1） 绕X轴旋转角 空间立体绕x轴旋转时,立体上各点的x坐标不变,只有y、z坐标改变。变换矩阵为：第第 页页353.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的
24、变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】2） 绕Y轴旋转角3） 绕Z轴旋转角第第 页页363.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】错切变换错切变换 错切变换是指三维立体沿x、y、z三个方向产生错切，错切变换是画斜轴测图的基础，其变换矩阵的一般形式为： 按X、Y、Z轴三个不同的方向，可分为6种情况 ：第第 页页373.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】 1） 沿x含y错切变换矩阵为：所以：x y z 1 T x
25、(y)=x+dy y z 1=x* y* z* 1第第 页页383.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】沿y含x错切变换矩阵为：沿z含x错切变换矩阵为：沿y含z错切变换矩阵为：沿y含z错切变换矩阵为：沿z含y错切变换矩阵为：同理：沿x含z错切变换矩阵为：延其它方向错切第第 页页393.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】1）对称于xoz面 若对称于xoz面，则图形点集的x、z坐标不会改变，仅y坐标改变符号，故只须将产生恒等变换的单位矩阵中主
26、管y向变化的第二列元素异号，即可得到对称于xoz面的变换矩阵Txoz为：变换后点的坐标为：x* y* z* 1=x y z 1 Txoz=x -y z 1 对称变换对称变换三维最简单的对称变换是对称于坐标平面的变换，即变换前后的两个图形对称于某一坐标平面。第第 页页403.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】 同理，可建立对xoy、yoz面对称的变换矩阵分别为：第第 页页413.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】三维图形的投影变换三维图形
27、的投影变换 在工程设计中，产品的几何模型通常是用三面投影图来描述，即用二维图形表达三维物体。 投影就是把空间物体投影到投影面上而得到的平面图形，利用变换矩阵，可方便地实现三维图形的正投影变换（三视图），正轴测投影变换（轴测图）和透视变换（透视图）。第第 页页423.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】投影变换的类型投影变换的类型第第 页页433.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】一、 三视图 机械工程图中的三视图是对三维空间的物体以垂直于
28、坐标平面的投影线分别作正投影而获得的。第第 页页443.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】 1、主视图变换矩阵 取xoz平面上的投影为主视图， 只须将立体的y坐标变为零，变换矩阵为：第第 页页453.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】 将形体的点集向yoz面（W面）投影，即令x坐标为0；绕z轴逆转90度，使与V 面在同一平面，再沿x负方向平移L，使与V面投影保持间距L 。则变换矩阵： 2、侧视图的变换矩阵第第 页页463.1.13.1.
29、1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】 取xoy平面（即H面）上的投影，即令z坐标为0；再绕x轴逆转90度，使与V面在同一平面，然后再沿z轴负方向平移N，使与V面投影保持间距N。则变换矩阵：3、俯视图变换矩阵第第 页页473.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】 由此我们可以看到，3个视图中y均为0，这是由于变换后，3个视图均落在XOZ平面上的缘故。这样，可用x*, z*坐标直接画出3个视图。第第 页页483.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变
30、换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】例 ：画出所示形体的三面投影图解：设n=10 l=10, 则主视图（V面）投影为第第 页页493.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】第第 页页503.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】二、透视投影变换透视投影从一个视点透过一个平面(画面)观察物体，其视线(投影线)是从视点(观察点)出发，视线是不平行的。视线与画面相截交得到的图形就是透视图。 第第 页页513.1.13.
31、1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】 如图所示，空间一点P(x，y，z)，设S为视点，并在Y轴上，投影面垂直Y轴且交于O点。投影面距坐标系原点的距离为y1，视点距原点的距离为y2，由相似三角形的关系有： 当O、O重合时，投影面与XOZ重合，即y1=0，则：第第 页页523.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】 即：x* y* z* 1=x y z 1 =x y z 1 =x 0 z 1-y/y2 1 0 0 00 1 0 -1/y20 0 1 00
32、0 0 11 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 00 0 0 -1/y20 0 1 00 0 0 1一点透视变换矩阵规格化第第 页页533.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】令q=-1/y2，则主灭点在Y轴上y=1/q处，投影面为XOZ平面的一点透视变换矩阵为：T单y对点进行一点透视投影变换:x* y* z* 1=x y z 1 T单y =x 0 z 1+qy规格化第第 页页543.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】透视变换示意图1第第 页页553.1.13.1.1窗口和视区的变换窗口和视区的变换【上页上页】 【下页下页】 【返回返回】 【结束结束】【首页首页】组合变换顺序对图形的影响