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1、第十九章 一次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结19.1.1 变量与函数第2课时 函数情境引入学习目标1.了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系2.能根据简单的实际问题写出函数解析式，并确定自变量的取值范围（重点、难点）3.会根据函数解析式求函数值.导入新课导入新课游戏：数青蛙一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿；三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿.1.青蛙的眼睛数和只数有关系吗？能用数学式子表达吗？2.青蛙的腿数和只数有关系吗？能用数学式子表达吗？这里有变化的量吗？如果有,是什么？它们之间有什么关系？观察与思考讲授新课讲授新课函数的相关概念一想一想，如果
2、你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？情景一下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.t/分012345 h/米(1)根据左图填表：(2)对于给定的时间t ，相应的高度h能确定吗？1137 45 373 10 瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 填写下表： 12345 1361015对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？有几个y值和它对应？层数 n物体总数y唯一一个y值情景二 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273，则气体的压强为零.因此，物理学把-273作为热力学
3、温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t()之间有如下数量关系：T=t+273，T0.(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？（2）给定任一个大于-273 的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？230K、246K 、273K、291K唯一一个T值解：当t=-43时， T=-43+273 =230（K）情景三思考：上面的三个问题中，各变量之间有什么共同特点？时间 t 、相应的高度 h ；层数n、物体总数y；摄氏温度t 、热力学温度T.共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值. 一般地，在某个变化过程中，
4、如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.要点归纳练一练下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量.（1）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化； （2）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积 y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化； （3）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它对应的实数为 y，y 随 x 的变化而变化 解：（1）S 是x的函数，其中x是自变量.（2）y 是n的函数，其中n是
5、自变量.（3）y 不是x的函数.例如，到原点的距离为1的点对应实数1或-1,典例精析例1 下列关于变量x ，y 的关系式：y =2x+3；y =x2+3；y =2|x|； ；y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.方法yx 一个x值有两个y 值与它对应例2 已知函数42.1xyx(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；(2)求当x取什么值时，函数的值为0.解：（1）当x=2时，y= ; 当x=3时，y= ; 当x=-3时，y=7; （2）令 解得x= 即当x= 时，y=0.5212把自变
6、量x的值带入关系式中，即可求出函数的值.4 2-2=22+142=01xx，12问题：请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系： （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单位：h），行驶的路程为 s（单位：km）； （2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y 问题（1）中，t 取-2 有实际意义吗？ 问题（2）中，n 取2 有意义吗？确定自变量的取值范围二根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量
7、取值范围例3 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.（1）写出表示y与x的函数关系的式子.解:(1) 函数关系式为: y = 500.1x0.1x表示的意义是什么？叫做函数的解析式（2）指出自变量x的取值范围；(2) 由x0及500.1x 0得0 x 500自变量的取值范围是 0 x 500 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.归纳汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？(3)当 x = 200
8、时,函数 y 的值为y=500.1200=30.因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L想一想：下列函数中自变量x的取值范围是什么？2(5)1xyx(1)31yx1(2)2yx(3)5yx21xx 且5x 20 x50 x10 x 20 x12xx 即312)4(xy.0.-1.-2x -2x取全体实数x取全体实数使函数解析式有意义的自变量的全体.当堂练习当堂练习1.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=60时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中， 是常量， 是变量， 是 的函数.60s=60t t和sst2.油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q（k
9、g）与流出时间t（min）之间的函数关系式是 ，自变量t的取值范围是 . 1302Qt060t 3.下列各表达式不是表示y是x的函数的是( )A. B.C. D.23xy xy1(0)yx xxy18C4.求下列函数中自变量x的取值范围： 3(2)48yx(3)3yx1(4)11yxx 2)1 (2xxy2x 3x 11xx 且480 x30 x10 x10 x 11xx 即.1.0.-1x取全体实数 5.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）.
10、（1）请分别写出当0 x3和x3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值； （2）当0 x3和x3时，y都是x的函数吗？为什么？解：（1）当0 x3时，y=8； 当x3时，y=81.8（x3）=1.8x2.6. 当x=2时，y=8；x=6时，y=1.862.6=13.4. （2）当0 x3和x3时，y都是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.课堂小结课堂小结函数函数及自变量的概念函数值自变量的取值范围1.使函数解析式有意义2.符合实际意义见本课时练习课后作业课后作业19.1 19.1 函数函数第十九章 一次函数 第第2 2课时课时 函数函数19
11、.1.1 19.1.1 变量与函数变量与函数情景情景导入导入合作合作探究探究课堂课堂小结小结随堂随堂训练训练自主自主学习学习学习目标学习目标1.1.经过练习经过练习, ,观察观察, ,认识变量中的自变量与函数认识变量中的自变量与函数. .2.2.会写出函数关系式会写出函数关系式, ,会求函数值会求函数值. .3.3.会确定自变量取值范围会确定自变量取值范围. . 1.国家为了提高农村学生营养水平，每天补助学生营养午国家为了提高农村学生营养水平，每天补助学生营养午餐费餐费3元元/人人.某中学八（某中学八（2）班有学生）班有学生60人，则每天国家需补人，则每天国家需补助助 元；该中学共有学生元；该
12、中学共有学生325人，则每天国家补助了人，则每天国家补助了 元元.设学生数为设学生数为x（人），国家补助金额为（人），国家补助金额为y（元），（元），则则y= . 在这个变化过程中，通过计算可以发现：在这个变化过程中，通过计算可以发现： （1） 随随 的变化而变化的变化而变化; （2）每当学生数）每当学生数x取定一个值时，国家补助金额取定一个值时，国家补助金额y就就 .1809753x国家补助金额国家补助金额y学生数学生数x有唯一确定的对应值有唯一确定的对应值情景导入情景导入首页首页 2.因营养午餐产生了大量垃圾，学校要新建一个垃圾池因营养午餐产生了大量垃圾，学校要新建一个垃圾池.规划中的垃圾
13、池平面图是周长为规划中的垃圾池平面图是周长为10米的长方形，设长方形一米的长方形，设长方形一边长为边长为x米，则另一边长为（米，则另一边长为（5-x）米）米，面积，面积S（米米2）与长方）与长方形的一边长形的一边长x的关系式的关系式为为S=x(5-x),完成下表：完成下表：一边长一边长x/米米432.52面积面积S=x(5-x)/米米2466.256 在这个变化过程中，通过填表可以发现：在这个变化过程中，通过填表可以发现： （1） 随随 的变化而变化的变化而变化; （2）每当长方形一边长）每当长方形一边长x取定一个值时，面积取定一个值时，面积S就就 .面积面积S一边长一边长x有唯一确定的对应值
14、有唯一确定的对应值时间时间xo（x，0）数形结数形结合思想合思想 3.患有患有“乳糖不耐症乳糖不耐症”的同学不能饮用某些品种的牛奶的同学不能饮用某些品种的牛奶.有位有位同学饮用某品种牛奶后感到不适，下图是该同学体检时的心同学饮用某品种牛奶后感到不适，下图是该同学体检时的心电图电图.图中点的横坐标图中点的横坐标x表示时间，纵坐标表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量物电流，它们是两个变量.生物电流生物电流y 在这个变化过程中，通过观察图形可以发现：在这个变化过程中，通过观察图形可以发现： （1） 随随 的变化而变化；的变化而变化； （2）每当时间）每当时间x取定
15、一个值时，心脏的生物电流取定一个值时，心脏的生物电流y就就 .有唯一确定的对应值有唯一确定的对应值生物电流生物电流y时间时间x在上面的每个问题中：在上面的每个问题中： 1 1. .每个变化的过程中都存在着（每个变化的过程中都存在着（ ）变量；）变量； 2 2. .两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就时，另一个变量就( ).( ).两个两个 有唯一确定的对应值有唯一确定的对应值自主学习自主学习首页首页 最早给出最早给出函数概念函数概念明确定义的是明确定义的是詹姆斯詹姆斯格雷戈里格雷戈里。1667年，他的函数年，他的函数定义为：定义为
16、：“它是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的，或者是经它是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的，或者是经过任何其它可以想象的运算而得到的。过任何其它可以想象的运算而得到的。” 1775年数学家年数学家欧拉欧拉又给出一个新的函数定义：如果一个变量依赖于另又给出一个新的函数定义：如果一个变量依赖于另一个变量，使当后一个变量变化时，前一个量也随着变化，那么称第一个一个变量，使当后一个变量变化时，前一个量也随着变化，那么称第一个量是第二个量的函数。量是第二个量的函数。 函数概念从提出到完成，用了二百多年的时间，经历了由不全面到全函数概念从提出到完成，用了二百多年的时间，经历了由不全面到全面，不
17、严密到严密的发展过程，才逐步形成了今天的面，不严密到严密的发展过程，才逐步形成了今天的函数概念函数概念。 1859年我国清代数学家年我国清代数学家李善兰李善兰翻译翻译代数学代数学一书一书 时首先用时首先用“函数函数”一词翻译一词翻译“function”一词，他解释说：一词，他解释说： “凡此变数函彼变数，则此为彼之函数凡此变数函彼变数，则此为彼之函数”。中国古代用天、。中国古代用天、 地、人、物表示未知数。李善兰译地、人、物表示未知数。李善兰译代数学代数学中有中有“凡式凡式 中含天，为天之函数中含天，为天之函数”这样的语句。这样的语句。 函数思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、，是
18、指用函数的概念和性质去分析问题、 转化问题和解决问题。转化问题和解决问题。李善兰李善兰 例如，例如，在在“营养午餐营养午餐”问题中，国家补助金额问题中，国家补助金额 y（y=3x）随学生数随学生数x的变化而变化，其中学生数的变化而变化，其中学生数x是自变量是自变量，补助金额补助金额y是是x的函数的函数.当当x=60时的函数值时的函数值y=180，当当x=325时的函数值时的函数值y=975.据统计，赣县农村中小学学生数约为据统计，赣县农村中小学学生数约为70000人，那么人，那么国家每天大约需补助国家每天大约需补助 元元.210000 注意：注意： 其中在变化过程中居于主导地位的变量叫做自变量
19、，其中在变化过程中居于主导地位的变量叫做自变量，随之变化的另一个变量叫做自变量的函数（因变量）随之变化的另一个变量叫做自变量的函数（因变量）.函数与函数值的区别：函数是变量，函数值是确定了自变量时函数函数与函数值的区别：函数是变量，函数值是确定了自变量时函数所取的某个具体数值，一个函数可能有许多不同的函数值所取的某个具体数值，一个函数可能有许多不同的函数值.知识要点知识要点 例例1 下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数?试写出用自变量表示函数的式子试写出用自变量表示函数的式子. （1）改变正方形的边长）改变正方形的边长x，正方形的面积，正
20、方形的面积S随之改变随之改变.（2）秀水村的耕地面积是）秀水村的耕地面积是106m2 ,这个村人均占有耕地面积这个村人均占有耕地面积y随这个村人数随这个村人数n的变化而变化的变化而变化._是自变量，是自变量，_是是_的函数，的函数，关系式是关系式是 ._是自变量，是自变量，_是是_的函数，的函数，关系式是关系式是 . xSxS=x2 (x0)nyn106nY=(n为正整数）为正整数） 2.2.在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义值必须使解析式有意义. .1. 1. 函数关系式函数关系式 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之用关于自
21、变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数关系式函数关系式, ,也称为也称为函数的解析式函数的解析式. .合作探究合作探究活动：探究活动：探究函数的关系式及自变量的取值范围函数的关系式及自变量的取值范围首页首页分式有意义的条件是：分式有意义的条件是： 分母不等于零；分母不等于零；整式有意义的条件是：整式有意义的条件是： 字母取全体实数；字母取全体实数；二次根式有意义的条件是：二次根式有意义的条件是： 被开方数为非负数被开方数为非负数.知识要点知识要点（1） y3x （2） yx29 （3） y= （4） y（1）
22、x为任意实数（或全体实数）为任意实数（或全体实数）；（3）由）由x-30 得得x x3；（4）由由2x-80得得x4. .解：解：（2） x为任意实数为任意实数；83x 28x 例例2 求下列函数关系式中自变量求下列函数关系式中自变量x的取值范围的取值范围： 例例3 为了让学生吃上放心、健康的营养午餐，某贫困为了让学生吃上放心、健康的营养午餐，某贫困县营养办要求食品公司必须用专车定期配送县营养办要求食品公司必须用专车定期配送.该公司的一辆该公司的一辆配送专车油箱中有汽油配送专车油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中，如果不再加油，那么油箱中的油量的油量y（单位：（单位：L）随行驶里程）随
23、行驶里程x（单位：单位：km）的增加而）的增加而减少，平均耗油量为减少，平均耗油量为0.1L/km.（1）写出表示）写出表示y与与x的函数关系的式子；的函数关系的式子； （2）指出自变量）指出自变量x的取值范围；的取值范围；（3）县城至某乡村中学路程为）县城至某乡村中学路程为50 km，该汽车从县城往返，该汽车从县城往返该县乡村中学配送一次牛奶后油箱中还有多少油？该县乡村中学配送一次牛奶后油箱中还有多少油？（4）汽车行驶多少）汽车行驶多少km时，油箱中还有时，油箱中还有15L油？油？解解:(1) 函数关系式为函数关系式为: y = 500.1x (2) 由由x0及及500.1x 0得得0 x
24、500自变量自变量x的取值范围是的取值范围是: 0 x 500(3)当当 x = 100时时,函数函数 y 的值为的值为:y=500.1100=40 因此因此,该汽车配送一次牛奶后油箱中还有该汽车配送一次牛奶后油箱中还有40L油油.（4）当函数）当函数y=15时，有时，有15= 500.1x ，解得自变量，解得自变量x=350， 所以当汽车行驶所以当汽车行驶350km时，油箱中还有时，油箱中还有15L油油.表示函数关系表示函数关系的式子叫函数的式子叫函数解析式解析式1.1.怎样列函数解析式怎样列函数解析式? ?(1)(1)对于一些简单问题的函数解析式，往往可以对于一些简单问题的函数解析式，往往
25、可以通通过利用已有的公式列出过利用已有的公式列出. .例如例如: :底边一定底边一定, ,三角形的面积随高的变化而变化三角形的面积随高的变化而变化. . ( (a已知已知) ). .S ah12怎样列函数解析式怎样列函数解析式?(2)一些实际问题的函数解析式一些实际问题的函数解析式先找出自变量先找出自变量x与函数与函数y之间的等量关系之间的等量关系列出关于列出关于x, y的二元一次方程的二元一次方程然后用然后用x表示表示y最后还要考虑数量的实际意义最后还要考虑数量的实际意义2.本题函数计算问题有两种：本题函数计算问题有两种：第一种已知自变量的值求函数值；第一种已知自变量的值求函数值；第二种反过来已知函数值求自变量的值，实质第二种反过来已知函数值求自变量的值，实质上是解方程的问题上是解方程的问题.函数是函数是描述变化中的数量关系的数学工具描述变化中的数量关系的数学工具. .三、思想方法三、思想方法1 1. .函数思想；函数思想；2 2. .数形结合思想；数形结合思想；3 3. .观察思考、比较归纳观察思考、比较归纳. .课堂小结课堂小结首页首页见本课时练习见本课时练习随堂训练随堂训练首页首页