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1、精品办公文档二次函数的图像与性质一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（ abc， ， 是常数，0a）的函数，叫做二次函数。【说明】这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而 bc， 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数2yaxbxc 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2abc， ， 是常数，a是二次项系数，b 是一次项系数，c是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2yax 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 2yaxc 的性质：上加下减。3. 2ya xh的性质：左加右减。4.
2、2ya xhk 的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值 0 0a向下00，y轴0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值 0 a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值c0a向下0c，y轴0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值ca的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h xh 时，y随x的增大而增大；xh 时，y随
3、x的增大而减小；xh 时，y有最小值 0 0a向下0h，X=h xh 时，y随x的增大而减小；xh 时，y随x的增大而增大；xh 时，y有最大值 0 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品办公文档5. 二次函数2yaxbxc的性质1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随x的增大而减小； 当2bxa时，y随x的增大而增大； 当2bxa时，y有最小值244acba2. 当0a时
4、，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax 的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“ h值正
5、右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：cbxaxy2沿y轴平移 :向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h xh 时，y随x的增大而增大；xh 时，y随x的增大而减小；xh 时，y有最小值 k 0a向下hk，X=h xh 时，y随x的增大而减小；xh 时，y随x的增大而增大；xh 时，y有最大值 k 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精
6、品办公文档mcbxaxy2（或mcbxaxy2）cbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）四、二次函数2ya xhk 与2yaxbxc的比较从解析式上看，2ya xhk 与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，五、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc （a， b，c为常数，0a） ；2. 顶点式：2()ya xhk （a， h ， k 为常数，0a） ；3. 两根式：12()()ya xxxx（0a，1x ，2
7、x 是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 六、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小2. 一次项系
8、数 b在二次项系数a确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品办公文档当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴
9、的左侧总结起来，在a确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0 ； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负/ 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要abc， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的4.利用二次函数与x轴的交点的个数来确定判别式的符号， 利用特殊点的坐标确定特殊代数式的值的范
10、围。有时还要利用等量代换来判断特殊代数式的值的范围。二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式二次函数的图像与性质应用举例：例 1： 小强从如图所示的二次函数2yaxbxc的图象中， 观察得出了下面五条信息： （ 1）0a； （2）1c； （3）0b；
11、 （4）0abc； （5）0abc. 你认为其中正确信息的个数有（C）A2 个B3 个C4 个D5 个例 2：已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：0abc；/1abc；0abc；420abc；1ca其中所有正确结论的序号是（C ）AB CD1 1 1O x y 21012yx13x1211O1xy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品办公文档例 3：小明从图所示的二次函数2yaxbxc的图象中，观察得出了下面五条信
12、息：0c；0abc；0abc；230ab；40cb，你认为其中正确信息的个数有（C ）A2 个B3 个C4 个D5 个分析：错误 .由123ba得230ab；由前面的分析知32ab，又由题图知当2x时，420yabc，将2x代入420abc中得40cb. 【练】已知二次函数)0(2acbxaxy的图象如图所示，有下列5个结论： 0abc；cab；024cba； bc32；)(bammba， （1m的实数）其中正确的结论有（C ） A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个分析： 由图可知，0,1,02baca，从而20,0baabc，错误；又当1x时0yabc，错误；由抛物线的对称轴为直
13、线1x知，当0 x与2x时函数值相等，所以正确；因为23222222()0cbcbbcbaabc ，所以正确；因为二次函数的对称轴为直线1x，所以当1x时，函数取得最大值，即当1,mxm时 的 函数 值 小于 当1x时 的函 数 值， 所 以2abcambmc， 得)(bammba，所以正确 . 例 4：如图，是二次函数yax2bxc （a0 ）的图象的一部分，给出下列命题：a+b+c= 0；b2a；ax2+bx+c=0 的两根分别为 -3和 1； a-2b+c0其中正确的命题是（只要求填写正确命题的序号）分析：由图知正确且12ba，所以20ba，所以错误；由正确得cab，所以223abcab
14、abb，所以错误 . 【练】 1. 已知二次函数20yaxbxc a的部分图象如图所示，它的顶点的横坐标为1，由图象可知关于x的方程2=0axbxc的两根为121,xx3 2.二次函数图象的对称轴是直线1x，其图象的一部分如图所示对于下列说法：abc0；abc0；3ac0； 当1x3 时，y精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品办公文档0其中正确的是（把正确的序号都填上）分析：由图可知，抛物线的对称轴为直线1x，与x轴的一个交点为3
15、,0，得12ba，2ba，与x轴的另一个交点为1,0，所以0abc，30acabc. 例 5：在同一直角坐标系中，函数ymxm和222ymxx（m是常数， 且0m）的图象可能是（C ）例 6： （1）已知二次函数的图象以 A（ 1，4）为顶点，且过点B（2， 5）求该函数的关系式；求该函数图象与坐标轴的交点坐标；答：223yxx，交点坐标1,0 , 3,0（2）抛物线过（1，0） ， （3， 0） ， （1， 4）三点，求二次函数的解析式；答：223yxx例 7：已知函数24281mmymxx是关于x的二次函数，求：（1）求满足条件的m的值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？最低点坐标是多少？
16、当x 为何值时， y 随 x 的增大而增大？（3）m 为何值时， 抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时， y 随 x 的增大而减小？答： （1）3m或2m；例 8： （1）利用配方求函数2144yxx的对称轴、顶点坐标。21254yx（2）利用公式求函数216172yxx的对称轴、顶点坐标。661222ba，2214176434362114242acbax y Ox y Ox y Ox y O精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - -
17、 精品办公文档例 9：已知二次函数2224ymxmxn的图象的对称轴是2x，且最高点在直线112yx上，求这个二次函数的解析式。答：242yxx例 10.如图，二次函数24yaxxc的图象经过坐标原点，与x 轴交于点A（ 4，0） （1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足8AOPS，请直接写出点P 的坐标答：24yxx，P 的坐标为22 2,2或22 2,2例 11.如图， 抛物线2yxbxc经过直线3yx与坐标轴的两个交点 A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使APCS：ACDS5 ：4的点
18、 P的坐标。答：223yxx，C1,0， D1, 4，8ACDS，所以10APCS，P 的坐标为4,5或2,5. 二次函数练习试题一、选择题1. 二次函数247yxx的顶点坐标是 ( )A.(2,11) B.（ 2，7）C.（2，11）D. （2， 3）2. 函数2ykxk和(0)kykx在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 3. 已知二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图所示,则下列结论 : a,b 同号 ;当1x和3x时,函数值相等 ;40ab当2y时, x的值只能取 0.其中正确的个数是( ) A.1 个B.2 个C. 3 个D. 4 个精品资料 - - - 欢迎下载 - - -
19、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品办公文档4. 已知二次函数2(0)yaxbxc a的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象 (如图),由图象可知关于x的一元二次方程20axbxc的两个根分别是121.3xx和（） .B.-2.3 C.-0.3 D.-3.35. 已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0), 与y轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为（）A. 22yxxB. 22yxxC. 22yxx或22yxxD. 22yxx或22yxx二、填空题6. 二次
20、函数23yxbx的对称轴是2x，则b_。7. 已知抛物线2235yx，如果 y 随 x 的增大而减小，那么x 的取值范围是. 8. 一个函数具有下列性质：图象过点（1，2） ，当x0 时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可） 。9. 抛物线22(2)6yx的顶点为 C，已知直线3ykx过点 C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。三、解答题：10. 已知二次函数图象的对称轴是30 x,图象经过 (1,-6),且与y轴的交点为 (0,52). (1)求这个二次函数的解析式; (2)当 x 为何值时 ,这个函数的函数值为0? (3)当 x 在什么范
21、围内变化时,这个函数的函数值y随 x 的增大而增大 ? 11. 如图，抛物线2yxbxc经过直线3yx与坐标轴的两个交点 A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使APCS：ACDS5 ：4 的点 P的坐标。第 15 题图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -