《2022年向量知识点职高 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年向量知识点职高 .pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、向量知识点1.有向线段 : 具有方向的线段叫做有向线段, 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向. 以 A为始点,B 为终点的有向线段记作AB, 应注意 : 始点一定要写在终点的前面, 已知AB, 线段 AB的长度叫做有向线段AB的长( 或模),AB的长度记作AB|. 有向线段包含三个要素 : 始点、方向和长度 . 2.向量: 具有大小和方向的量叫做向量, 只有大小和方向的向量叫做自由向量. 在本章中说到向量 ,如不特别说明 , 指的都是自由向量 . 一个向量可用有向线段来表示, 有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 用有向线段AB表示向量时 , 我们就说向量AB.
2、 另外, 在印刷时常用黑体小写字母 a、b、c、等表示向量 ; 手写时可写作带箭头的小写字母a、b、c、等. 与向量有关的概念有 : (1) 相等向量 : 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. 向量a和b同向且等长 , 即a和b相等, 记作a=b. (2) 零向量 : 长度等于零的向量叫做零向量, 记作0. 零向量的方向不确定 . (3) 位置向量 : 任给一定点 O和向量a, 过点 O作有向线段OAa, 则点 A相对于点 O的位置被向量a所 aaa 唯一确定 , 这时向量a又常叫做点 A相对于点 O的位置向量 . (4) 相 反 向 量 : 与向 量a等 长 且 方向 相 反 的
3、向 量 叫 做向 量a的 相 反向 量 , 记 作a. 显 然 , ()0aa. (5) 单位向量 : 长度等于 1 的向量 , 叫做单位向量 , 记作e. 与向量a同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出 :0aaa . (6) 共线向量 ( 平行向量 ) : 如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 即这些向量的方向相同或相反 , 则称这些向量为共线向量 ( 或平行向量 ). 向量a平行于向量b, 记作ab.零向量与任一个向量共线 ( 平行). 3. 已知向量a、b, 在平面上任取一点A,作ABa,BCb, 作向量AC, 则向量AC叫做向量a与b的和(或和向量 ), 记作a+b
4、, 即abABBCAC. 这种求两个向量和的作图法则, 叫做向量求和的三角形法则 . 4. 已知向量a、b, 在平面上任取一点A,作ABa,ADb, 如果 A、B、D不共线 , 则以AB 、 AD为邻边作平行四边形ABCD, 则对角线上的向量AC=a+b=AB+AD. 这种求两个向量和的作图法则 , 叫做向量求和的平行四边形法则. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 5. 已知向量a、b, 在平面上任取一点O,作OAa,OBb, 则b
5、+BA=a, 向量BA叫做向量a与b的差, 并记作a-b, 即BA=abOAOB. 由此推知 : (1)如果把两个向量的始点放在一起, 则这两个向量的差是减向量的终点到被减向量的终点的向量 ; (2)一个向量BA等于它的终点相对于点O的位置向量OA减去它的始点相对于点O的位置向量OB; (3)一个向量减去另一个向量, 等于加上这个向量的相反向量. 6. 向量加法满足如下运算律 : (1)abba; (2)()()abcabc. 7. 数乘向量的一般定义 : 实数和向量a的乘积是一个向量 , 记作a. 当0时,a与a同方向 ,aa = ; 当0时,a与a反方向 ,aa = ; 当0或0a时,00
6、0a. 8. 数乘向量满足以下运算律 : (1)1a=a,(-1)a=a; (2)()()aa; (3)()aaa; (4)()abab. 9. 平行向量基本定理 : 如果向量0b, 则ab的充分必要条件是 , 存在唯一的实数, 使ab. 该定理是验证两向量是否平行的标准. 10 已知轴, 取单位向量e, 使e与同方向, 对轴上任意向量a, 一定存在唯一实数x, 使axe. 这里的 x叫做a在轴上的坐标 ( 或数量 ),x 的绝对值等于a的长, 当a与e同方向时 ,x 是正数 , 当a与e反方向时,x 是负数 . (1) 设1ax e,2bx e, 则ab=当且仅当12xx; ab+=12()
7、xx e. 这就是说 , 轴上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等; 轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和 . (2) 向量AB的坐标通常用AB 表示, 常把轴上向量运算转化为它们的坐标运算, 得著名的沙尔公式:AB+BC=AC. (3) 轴上向量的坐标运算 : 起点和终点在轴上的向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标. 即在轴 x 上, 若点A 的坐标为1x, 点B 的坐标为2x, 则 AB=21xx. 可得 到数轴上两点的距离公式:21ABxx =. 11. 平面向量的分解定理 : 设1a ,2a 是平面上的两个不共线的向量, 则平面上任意一个向量c能唯一地表示成1a ,2a 的线
8、性组合 , 即112212(,)cx ax ax xR . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 12. 直线的向量参数方程：(t 为参数): APtAB; OPOAt AB; (1)OPt OA tOB. 特别地 , 当12t时,1()2OPOA OB ,此为中点向量表达式 . 12 在直角坐标系 XOY内, 分别取与 x 轴、与 y 轴方向相同的两个单位向量1e 、2e , 在 XOY 平面上任作一向量a, 由平面向量分解定理可知,
9、 存在唯一的有序实数对12(,)x x, 使得1122ax ex e , 则12(,)xx叫做向量a在直角坐标系 XOY 中的坐标 , 记作12(,)ax x. 13向量的直角坐标 : 任意向量AB的坐标等于终点 B的坐标减去起点 A的坐标 , 即若 A11(,)xy、 B22(,)xy,则22112121(,)(,)(,)ABOBOAxyx yxx yy. 向量a的直角坐标12(,)a a, 也常根据向量的长度和方向来求 :12aaaacos ,sin. 14. 向量的坐标运算公式 : 设1212(,),(,)aa abb b, 则: 12121122(,)(,)(,)aba ab bab
10、ab;12121122(,)( ,)(,)aba ab bab ab; 1212(,)(,)aa aaa. 15. 向量的长度 ( 模) 公式: 若12(,)aa a, 则2212aaa; 若 A11(,)xy,B22(,)xy, 则222121()()ABxxyy. 16. 中点公式 : 若 A11(,)xy,B22(,)xy, 点 M(x,y) 是线段 AB的中点 , 则1212,22xxyyxy. 17. 平移是一种基本的几何( 保距) 变换, 它本身就是一个向量 . 教材中有点的平移和坐标轴的平移( 平面解析几何中讲到 ). 18. 在图形 F 上任取一点P(x,y),设平移向量12(
11、,)aa a到图形 F 上的点(,)P x y, 则点的平移公式为:12,xxa yya. 19. 以 x 轴的正半轴为始边 , 以射线 OA为终边的角, 叫做向量a的方向角 . 向量a在轴上的投影数量为 aacos . 20. 两个向量a,b的内积揭示了长度、角度与向量投影之间的深刻联系: (1) 两个向量的内积等于一个向量的长与另一个向量在这个方向上正投影数量的乘积, 即,a baba bbaa b(cos)= (cos ); (2) 两个向量的内积等于这两个向量的模与它们夹角的余弦的积, 即,a ba ba b cos; (3) 两个向量的内积是数量而不是向量. 精品资料 - - - 欢
12、迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 21. 内积运算的性质 : (1) 如果e是单位向量 , 则,a ee aaa e=cos; (2)0aba b; (3)a aa2或 aa a=; (4),a ba ba bcos ; (5)a bab . 22. 向量内积的坐标运算与运算律: (4) 向量内积的坐标运算 : 已知1212(,),( ,)aa abb b, 则1 122a baba b ; (5) 内积的运算律 : 交换律a bb a; 结合律()()()a babba; 分配律()abca cb c. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -