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1、1 向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为0的向量单位向量：长度等于1个单位的向量平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零 向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同 的向量2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：ababab运算性质：交换律：abba；结合律：abcabc；00aaa坐标运算：设11,ax y，22,bxy，则1212,abxxyy3、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设11,ax y，22,bxy，则1212,
2、abxxyy设、两点的坐标分别为11,x y，22,xy，则1212,xx yy4、向量数乘运算：实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作aaa；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a运算律：aa；aaa；abab坐标运算：设,ax y，则,ax yxy5、向量共线定理：向量0a a与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba设11,axy，22,bxy， 其中0b， 则当且仅当12210 x yx y时， 向量a、0b b共线6、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，
3、使1122aee （ 不共线 的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底）baCabCC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页7、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,x y，22,xy，当12时，点的坐标是1212,11xxyy （当时，就为中点公式。）18 平面向量的数量积：cos0,0,0180a ba bab零向量与任一向量的数量积为0性质：设a和b都是非零向量， 则0aba b 当a与b同向时，a ba b；当a与b反向时，a ba b；22a aaa或aa aa ba b运算律：
4、a bb a；aba bab；abca cb c坐标运算：设两个非零向量11,axy，22,bxy，则1212a bx xy y若,ax y，则222axy，或22axy设11,axy，22,bxy，则12120abx xy y设a、b都 是 非 零 向 量 ，11,ax y，22,bxy，是a与b的 夹 角 ， 则121222221122co sx xy ya ba bxyxy1.下列各量中不是向量的是（）A浮力B风速C位移D密度2下列命题正确的是（）A向量AB与BA是两平行向量B若 a、b 都是单位向量 ,则 a=bC若AB=DC,则 A、B、C、D 四点构成平行四边形D两向量相等的充要条
5、件是它们的始点、终点相同3在 ABC 中， D、E、F 分别 BC、CA 、AB 的中点，点M 是 ABC 的重心，则MCMBMA等于（）AOBMD4CMF4DME44已知向量ba与反向，下列等式中成立的是（）A|babaB|babaC|babaD|baba5在 ABC 中,AB=AC,D、E 分别是 AB、AC 的中点 ,则（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页AAB与AC共线BDE与CB共线CAD与AE相等DAD与BD相等6已知向量e1、e2不共线 ,实数 x、y 满足 (3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6
6、e1+3e2,则 x-y 的值等于 ( ) A3 B 3 C0 D2 7. 设 P（3，6） ，Q（5，2） ，R 的纵坐标为9，且 P、Q、R 三点共线，则R 点的横坐标为( ) A9 B6 C9 D 6 8. 已知a3，b2 3,ab=3，则a与b的夹角是( ) A150B120C60D 309.下列命题中，不正确的是( ) Aa=2aB(ab)=a( b) C （ab）c=acbcDa与b共线a b=a b10下列命题正确的个数是( ) BAAB00AB0BCACAB（ab）c=a（bc）A1 B2 C3 D4 11已知 P1（2，3） ，P2（1，4） ，且12PP2 PP，点 P 在
7、线段 P1P2的延长线上，则P点的坐标为( ) A （34，35）B （34，35）C （4，5）D （4，5）12已知a3，b4，且（a+kb）（akb） ，则 k 等于( ) A34B43C53D54二、填空题13已知点A( 1,5)和向量a=2,3, 若AB=3a,则点 B 的坐标为. 14若3OA1e，3OB2e， 且 P、 Q 是 AB 的两个三等分点，则OP，OQ. 15若向量a=（2，x）与b=（x, 8）共线且方向相反，则x= . 16已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120O,而a在e方向上的投影为2，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
8、- - - - - -第 3 页，共 8 页a. 一、选择题1若三点(2,3),(3, ),(4, )ABaCb共线，则有（）A3,5abB10abC23abD20ab2设20，已知两个向量sin,cos1OP，cos2,sin22OP，则向量21PP长度的最大值是（）A.2B.3C.23D.323下列命题正确的是（）A单位向量都相等B若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量（）C|baba，则0a bD若0a与0b是单位向量，则001ab4已知,a b均为单位向量，它们的夹角为060，那么3ab（）A7B10C13D45已知向量a，b满足1,4,ab且2a b,则a与b的夹角
9、为A6B4C3D26若平面向量b与向量) 1 ,2(a平行，且52|b，则b( ) A)2,4(B)2,4(C)3,6(D)2,4(或)2,4(二、填空题1若| 1,| 2,abcab，且ca，则向量a与b的夹角为2已知向量(1,2)a，( 2,3)b，(4,1)c，若用a和b表示c，则c=_。3 若1a,2b，a与b的夹角为060， 若( 35)ab()mab， 则m的值为4若菱形ABCD的边长为2，则ABCBCD_。5若a=)3,2(，b=)7,4(，则a在b上的投影为 _。6已知向量(cos ,sin)a，向量( 3, 1)b，则2ab的最大值是精选学习资料 - - - - - - -
10、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页7若(1,2),(2,3),( 2,5)ABC，试判断则 ABC 的形状 _8若(2,2)a，则与a垂直的单位向量的坐标为_。9若向量| 1,|2,| 2,abab则|ab。10平面向量ba,中，已知(4, 3)a，1b，且5a b，则向量b_。1以下说法错误的是（）A零向量与任一非零向量平行B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2下列四式不能化简为AD的是（）A；）（BCCDABB）；）（CMBCMBADC；BMADMBD；CDOAOC3已知a=（3，4），b=（ 5，12），a与b则
11、夹角的余弦为（）A6563B65C513D134 已知 a、b 均为单位向量 ,它们的夹角为60 ,那么 |a+ 3b| =（）A7B10C13D4 5已知 ABCDEF 是正六边形，且ABa，AEb，则BC（）（A）)(21ba（B）)(21ab（C）ab21（D）)(21ba6设a，b为不共线向量，ABa+2b,BC 4ab,CD5a3b, 则下列关系式中正确的是（）（A）ADBC（B）AD2BC（C ）ADBC（ D）AD 2BC7设1e与2e是不共线的非零向量，且k1e2e与1e k2e共线，则 k 的值是（）（A） 1 （B） 1 （C ）1（ D） 任意不为零的实数8在四边形ABC
12、D中，ABDC，且ACBD0，则四边形ABCD 是（）（A） 矩形（B） 菱形（C） 直角梯形（D） 等腰梯形9已知 M（ 2， 7） 、N（10， 2） ，点 P 是线段 MN 上的点，且PN 2PM，则 P 点的坐标为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页（A）（ 14，16） （B） （22， 11） （C） （6，1） （D） （2，4）10已知a（ 1，2） ，b（ 2，3） ，且 ka+b与akb垂直，则k（）（A）21（B ）12（C）32（D）2311、若平面向量(1, )ax和(23,)bxx互相平
13、行，其中xR.则ab（）A. 2或 0；B. 2 5；C. 2 或2 5；D. 2或10. 12、下面给出的关系式中正确的个数是（）00 aabba22aa)()(cbacbababa(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 13若),4, 3(AB点的坐标为（，），则点的坐标为14已知(3, 4),(2,3)ab，则2| 3aa b15、已知向量)2 , 1 (, 3 ba，且ba，则a的坐标是 _。16、 ABC中， A(1,2),B(3,1),重心 G(3,2) ，则 C点坐标为 _。17如果向量与 b 的夹角为 ，那么我们称 b 为向量与 b 的“向量积”，b是一个向量，它的长度
14、| b|=| |b|sin，如果 | |=4, |b|=3, b=-2，则 | b|=_ 。18、 （14 分) 设平面三点A（1，0） ，B（0， 1） ，C（2，5） （1）试求向量2ABAC的模；（2）试求向量AB与AC的夹角；（3）试求与BC垂直的单位向量的坐标19 （12 分） 已知向量= , 求向量 b，使|b|=2| | ，并且与 b 的夹角为。20. （13 分)已知平面向量).23,21(),1,3(ba若存在不同时为零的实数k 和 t,使.,) 3(2yxbtakybtax且（1）试求函数关系式k=f（t）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
15、- - - - - -第 6 页，共 8 页（2）求使 f（t）0 的 t 的取值范围 . 21 （13 分)如图，=(6,1), ，且。(1)求 x 与 y 间的关系；(2)若，求 x 与 y 的值及四边形ABCD 的面积。22 （13 分)已知向量a、b 是两个非零向量，当a+tb(tR)的模取最小值时，（1）求 t 的值（2）已知 a、b 共线同向时，求证b 与 a+tb 垂直1化简ACBDCDAB得（）AABBDACBCD02 在ABC 中，222abcbc，则 A 等于（）A 60B120C 30D 1503向量 a，b 满足 |a| 1，|b|2，(ab)(2ab)，则向量a与 b
16、 的夹角为 () A45B60C 90D1205、如图所示，已知2ABBC，OAa，OBb，OCc，则下列等式中成立的是( ) ( A) 3122cba(B) 2cba(C) 2cab(D) 3122cab6. 若yCBA三点共线，则)2, 6(),2, 5(),6, 3(（） , A13 B13C9 D97 已知,a b均为单位向量，它们的夹角为060，那么3ab（）A7B10C13D4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页9已知非零向量AB与AC满足 (AB|AB|+AC|AC|)BC=0 且AB|AB|AC|AC|=12, 则 ABC 为( ) A. 等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形A34B89C.14D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页