《2022年千题百炼高中数学100个热点问题第100炼利用同构特点解决问题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年千题百炼高中数学100个热点问题第100炼利用同构特点解决问题 .pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 100 炼 利用同构特点解决问题一、基础知识：1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程0f a和0f b呈现同构特征，则,a b可视为方程0fx的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式（3）在解析几何中的应用：如果1122,A x yB xy满足的方程为同构式，则,A B为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB的方程（ 4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于,na n
2、与1,1nan的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解二、典型例题：例 1：（2015 天津十二校联考） 设,x yR， 满足5512sin1312sin11xxxyyy， 则xy（）A. 0B. 2C. 4D. 6思 路 ： 本 题 研 究 对 象 并 非, x y， 而 是1 ,1xy， 进 而 可 变 形 为55121sin11121sin11xxxyyy，观察上下式子左边结构相同，进而可将相同的结构视为一个函数， 而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性质求解解：5512sin1312sin11xxxyyy55121sin11121sin11xxxyyy设5
3、2sinf tttt，可得ft为奇函数，由题意可得：1111fxfy11fxfy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 112xyxy答案： B 例 2：若函数1fxxm在区间,a b上的值域为,12 2a bba，则实数m的取值范围是 _ 思路：注意到fx是增函数，从而得到,22abfafb，即1212aambbm，发现两个式子为,a b的同构式， 进而将同构式视为一个方程，而,a b为该方程的两个根，m的取值只需要保证方程有两根即可
4、解：fx为增函数,22abfafb1212aambbm,a b为方程12xxm在1,上的两个根，即12xmx有两个不同的根令2101txtxt所以方程变形为：221112122mtttt，结合图像可得：10,2m答案：10,2m例 3：设,a bR?，则| “ab”是“a ab b”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充要又不必要条件思路：观察a ab b可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数fxx x，分析其单调性。22,0,0 xxfxx xxx可得fx为增函数。所以( )( )abf af b?，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -
5、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 即aba ab b?，所以是充要条件答案： C 例 4：若1201xx，则（）A. 2121lnlnxxeexxB. 1221lnlnxxeexxC. 1221xxx ex eD. 1221xxx ex e答案： C 思路：本题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将12,x x分居在不等式两侧后都具备同构的特点，所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在0,1的单调性即可解： A 选项：21212121lnlnlnlnxxxxeexxex
6、ex，设lnxfxex11xxxefxexx，设1xg xxe，则有10 xgxxe恒成立，所以g x在0,1单调递增，所以010,110gge，从而存在00,1x，使得00g x，由单调性可判断出：000,00,1 ,00 xxgxfxxxgxfx， 所 以fx在0,1不单调，不等式不会恒成立B选项：12122112lnlnlnlnxxxxeexxexex， 设lnxfxex可知fx单调递增。所以应该12fxfx，B 错误C 选 项 ：12122112xxxxeex ex exx， 构 造 函 数xefxx，21xxefxx， 则0fx在0,1x恒成立。所以fx在0,1单调递减，所以12fx
7、fx成立D 选项：12122112xxxxeex ex exx，同样构造xefxx，由 C 选项分析可知D 错误答案： C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 例 5：已知函数fx是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有11xfxxfx，则20152f的值是（）A. 0B. 12C. 1D. 52思路：观察条件可变形为：11fxfxxx，从而得到等式左右的结构均为ftt的形式，且括号内的数间隔为1。 所以201520
8、1311222220152013112222ffff。 因为fx为偶函数，所以1122ff，由11221122ff可得11022ff，进而20152015200201522ff答案： A 例 6：如果5533cossin7 sincos,0,2，那么的取值范围是_ 思路：本题很难直接去解不等式，观察式子特点可发现若将关于sin,cos的项分居在不等号两侧：5353cos7cossin7sin，则左右呈现同构的特点，将相同的结构设为 函 数537fxxx， 能 够 判 断fx是 奇 函 数 且 单 调 递 增 。 所 以 不 等 式cossinff等价于cossin，即sincos02sin04
9、，所以224kkkZ，结合0,2，可得544，答案：544，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 例 7：如图， 设点00,P x y在直线,01,xm ymmm且为常数上，过点P作双曲线221xy的两条切线,PA PB，切点为,A B，求证：直线AB过某一个定点解：设1122,A xyB xy，PA的斜率为k则11:PA yyk xx，联立方程11221yyk xxxy消去y可得：22111xkxkxy，整理可得：222111112
10、10kxk ykxxykx，因为PA与双曲线相切所以22222111144 14 10kykxkykxk221144 10ykxk2222222111111112101210k xkx yykxkkx yy22111xy222211111,1xyyx代入可得：222111120y kx y kx即2110y kx即11xky111111:1xPAyyxxy yx xy同理，切线PB的方程为211y yx x0,P m y在切线,PA PB上，所以有01102211y ymxy ymx,A B满足直线方程01y ymx，而两点唯一确定一条直线0:1AB y ymx所以当10 xmy时，无论0y为
11、何值，等式均成立精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 点1,0m恒在直线AB上，故无论P在何处，AB恒过定点1,0m例 8：已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为0,1，离心率为255（1）求椭圆C的方程（2） 过右焦点F作直线l交椭圆于,A B， 交y轴于R， 若,RAAF RBBF， 求解： （1）25cea1b2221acb解得5,2ac22:15xCy（2）思路：本题肯定从,RAAF RBBF入手，将向量关系翻译成
12、坐标的方程，但观察发现两个等式除了,A B不同，系数,不同，其余字母均相同。 且1122,A x yB xy也仅是角标不同。 所以可推断由,RAAF RBBF列出的方程是同构的，而,A B在同一椭圆上，所以如果用,表示1212,x xy y，代入椭圆方程中也可能是同构的。通过计算可得：2222105200105200kk， 所以,为方程22105200 xxk的两个不同根，进而利用韦达定理即可得到10解：由（1）得2,0F，设直线:2lyk x，可得0, 2Rk，设1122,A x yB xy可得：1111,2,2,RAxykAFxy，由RAAF可得：111111221221xxxkykyy因
13、为A在椭圆上，221155xy，将代入可得：2222222+5=54205111kk精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 22105200k对于，2222,2,2,RBxykBFxy，RBBF同理可得：22105200k,为方程22105200 xxk的两个不同根10例9 ： 已 知 函 数1axx，a为 正 常 数 ， 若lng xxx， 且 对 任 意1212,0, 2 ,xxxx，都有21211g xg xxx，求a的取值范围思
14、路：观察到已知不等式为轮换对称式，所以考虑定序以便于化简，令21xx，则不等式变形为2112g xg xxx，将相同变量放置一侧，可发现左右具备同构特点，所以将相同结构视为函数h xg xx，从而由21xx且21h xh x可知只需h x为增函数即可。从而只需不等式0hx恒成立即可，从而求出a的范围解：ln1ag xxx，不妨设12xx，则恒成立不等式转化为：21122211g xg xxxg xxg xx设ln1ah xg xxxxx，则由21h xh x恒成立和12xx可得：只需h x在0,2单调递增即可0h x恒成立2111ah xxx21101axx即2211xaxx恒成立所以只需22
15、min11xaxx令2211xp xxx222221112121x xxxxp xxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - p x在10,2单调递减，在1,22单调递增min12722p xp2702a例 10：已知数列na满足123at,1tR t，且112321121nnnnnntattaat求数列na的通项公式思路： 本题递推公式较为复杂，所以考虑先化简分式，观察到分子中含有分母的项，所以想到分离常数简化分式，即1121112
16、1nnnnntaaat，寻求相邻同构的特点，转化为1112111121nnnnnnaatatt，即可设11nnnabt，递推公式变为122nnnbbb，则能够求出nb通项公式，进而求出na解：112321121nnnnnntattaat11122222121112121nnnnnnnnnnntatattaatat11211121nnnnntaaat111112211112121111nnnnnnnnnnnnaaaatatatttt设11nnnabt，则递推公式变为122nnnbbb111211122nnnnnbbbbb，且11111112312ttbat精品资料 - - - 欢迎下载 - -
17、- - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 1nb为公差是12的等差数列11111122nnnbb112nntna，解得211nntan小炼有话说： 同构式在处理数列问题时，通常应用在构造辅助数列求通项公式。当递推公式比较复杂时， 构造出na和1na的同构式， 其中关于n的表达式构造出,1f nfn分别与na和1na相对应，进而寻找到辅助数列。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -