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1、2022基本不等式及其应用篇一：基本不等式及其应用 基本不等式及其应用 一、知识结构 二、重点叙述 1. 基本不等式模型 一般地,如果a>0,b>0,则 立。 我们常把 叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数, ,或 ,当且仅当a=b时等号成 即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。 拓展: 若a、bR,则 2. 基本不等式证明方法 ,当且仅当a=b时等号成立。 3.基本不等式的应用 利用基本不等式证明不等式或比较大小; 利用基本不等式求最值或求范围; 利用基本不等式解决实际问题。 三、案例分析 案例1：(1)（2022天
2、津理）设 的最小值为 A 8 B 4 C 1D (2) （2022海南、宁夏理7）已知 ， ， 成等差数列， 若 成等比数列，则 的最小值是（ ） 分析：（1）由是与的等比中项，得 。用“1代换法”，把 看成，进而利用基本不等式求得最小值。 （2）可用直接法解之。根据等差、等比数列的“等距离”性质，把多元函数 转化为x、y的二元函数，由二元的基本不等式求其最小值。也可以用 特殊值法解决。 解：（1） 是 与 的等比中项， ，得 。 ， 当且仅当即时，“=”成立。故选择C。 成等差数列， 成等比数列， （2）（直接法） ， ，当且仅当时，等号 成立。 。故选D。 成等差数列， 成等比数列分别都为
3、 另解： （特殊值法）令 ，则 ，故选D。 案例2：(1) （2022重庆文）已知A2 B ，则C4 的最小值是（ ） D5 (2)（2022山东理16）函数y=loga (x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n0，则 的最小值为_. 分析：(1)用基本不等式解之，由于两次使用基本不等式，两次的“等号”成立应该“同时”。 (2)抓住函数图象过定点，求得定点A的坐标，建立m、n的线性关系，两次应用基本不等式求得最小值，同样注意两次的“等号”成立是否“同时”？只有“同时”，最小值才存在。 (1)C；（2）8 解：(1)因为， 当且仅当(2)
4、函数 。 点A在直线 ，且，即时，取“=”号。故选C。 的图象恒过定点A， 的坐标为 上，。 m，n0， 当且仅当，且，即时，等号成立。 所以的最小值为8。 的最大值。 ，求ab的取值范围。 案例3：(1)求函数(2)已知正数a、b满足 (3)已知a,b0，求的最大值。 分析：(1)对于无理函数，先平方，再用基本不等式“和定值积最大”求之，注意“等号”成立的条件；(2) 不等式 转化为 是a与b的和与积的等式，利用基本 的二次不等式，解二次不等式可得ab的取值范 围；(3)把化为，按的“和定值”的模型设计基 本不等式，可求得存在性。 解：(1)函数 的最大值，应用基本不等式都要注意“等号”成立
5、的 的定义域为 ， ，。 当且仅当所以函数(2) ， ，即时，等式成立。 的最大值是 。 ，。 ， ，令 ，解得，即 ，。 ，当且仅当 ，则。 ，当且仅当 时，等号成立。 。 时，等号成立。 所以ab的取值范围是 (3) a,b0，且， ， 当且仅当，且， 即时，取得最大值。 所以的最大值为。 案例4：（2022湖北文17） 围建一个面积为360m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x，围建总费用为y(单位：元)。
6、 （）将y表示为x的函数： （）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 分析；画图，理解题意，建立总费用的函数 ，显然 篇二：基本不等式及应用 基本不等式及应用 一、考纲要求： 1.了解基本不等式的证明过程 2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 3了解证明不等式的基本方法综合法 ab222 (1)ab2ab(a，bR) (2)ab(a，bR) 2abab2ba(3)()(a，bR) (4)2(a，b同号且不为零) 22ab上述四个不等式等号成立的条件都是ab. 四、算术平均数与几何平均数 ab设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，
7、基本不等式可叙述为：两个正数的 2算术平均数不小于它们的几何平均数 2 2 2ab 四个“平均数”的大小关系；a，bR+ ： ? a?b当且仅当a b时取等号. 五、利用基本不等式求最值：设x，y都是正数 a?b ?2 (1)如果积xy是定值P，那么当xy时和xy有最小值2P. 12 (2)如果和xy是定值S，那么当xy时积xy有最大值 . 4 强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为
8、定值。 等：等号成立的条件必须存在. 2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性） 3想一想:错在哪里？ (x?2)，已知函数f(x)?x?1 x?2已知函数f(x)?x?，求函数的 最小值和此时x 的取值x求函数的最小值 3 解：f(x)?x?21x?2 解:f(x)?x?x?2?2 ?x?2 当且仅当x?1即x?1时函数? 当且仅当?3即x?3时，函数xx? x?2? 取到最小值 2. 的最小值是6大家把x?2?最小值？ 入看一看，会有 什么发现？用什么方法求该函数的 11 3、已知两正数x，y满足xy1，则z(x)的最小值为_ xy 111
9、 解一：因为对a>0，恒有a2，从而z(x)(y)4，所以z的最小值是4. axy2xy2xy2 解二：zxy)22 xyxy 22 2 xy22(21)，所以z的最小值是21) xy 【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的 2 111yx1?xy?2xy2 【正确解答】 z(x)xyxyxy2， xyxyxyxyxyxy xy212112 令txy，则0<txy()f(t)t(0上单调递减，故当t时， f(t)t24t44t33125 xyz有最小值. 424 误区警示： (
10、1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件3 的满足，这是造成解题失误的重要原因如函数y12x(x<0)有最大值16而不是有最小值1 x26. (2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错 课堂纠错补练： 4 若0<xf(x)sinx_ 2sinx 4 解析：令sinxt,0<tt(0,1，此时yt在(0,1单调递减，t1时ymin5. 2t答案：5 考点1 利用基本不等式证明不等式 1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式
11、入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果” 2证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立同时也要注意应用基本不等式的变形形式 例1：（1）已知a,b,c均为正数，求证：ab?bc?ca?abc(a?b?c) （2）已知a,b,c为不全相等的正数，求证：ab(a?b)?bc(b?c)?ac(c?a)?6abc 2 2 22 2 2 11 （3）已知a>0，b>0，ab1，求证：4. ab 【证明】 (1)a>0，b>0，ab1， 11ababba2 ababab2ba1 4(当且仅当ab时等号
12、成立) ab2 11 4.原不等式成立 ab 111 练习：已知a、b、c为正实数，且abc1，求证：1)(1)(1)8. abc 证明：a、b、c均为正实数，且abc1， 111 1)(1)(1) abc ?1a?1b?1c? abc ?bc?ac?ab?2bc2ac2ab 8. abcabc 1 当且仅当abc时取等号 3 考点2 利用基本不等式求最值 (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值 (2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本
13、不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法 例4： (1)设0<x<2，求函数y? 2x(2?x)的最大值 【分析】 由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件 【解】 (1)0<x<2，2x>0， yx?42x2x?2x? x2x 22， 2 当且仅当x2x即x1时取等号， 当x1时，函数yx?42x2. 12 (2) x>0，求f(x)3x的最小值； x （3）已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,求 xy的最大值. （4）已知y? 4 a，求y的取值范围 a2 4 a
14、2?26， a2 44 显然a2，当a>2时，a2>0a(a2)22 a2a2 当且仅当a2，即a4时取等号， a2当a<2时，a2<0， 444a(a2)2(2a)2 a2a22a 4 2a?22， 2a 4 当且仅当2a，即a0时取等号， 2a 34 (5)已知x>0，y>0，且xy1，求的最小值 xy x>0，y>0，且xy1， 3434 ()(xy) xyxy3y4x 772 xy 3y4x 743， xy 4 a的取值范围是(，26，) a2 3y4x 当且仅当，即2x3y时等号成立， xy34 73. xy 练习： 求下列各题的最值
15、25 (1)已知x>0，y>0，lgxlgy1，求z的最小值； xy解：(1)由x>0，y>0，lgxlgy1，可得xy10. 252y5x210xy则2.zmin2.当且仅当2y5x，即x2，y5时等号成立 xy101012 (2)x?0，求f(x)3x的最大值； x12 x>0，f(x)3x2 xf(x)的最小值是12. 4 (3)x<3，求f(x)x的最大值 x3 44 x<3，x3<0，3x>0，f(x)x(x3)3 x3x34 (3x)32 3x 4 3x?31， 3x 1212 3x123x，即x2， xx 当且仅当3x，即x1
16、时，等号成立故f(x)的最大值为1. 3x（4）a?0,b?0,4a?b?1，求ab的最大值。 考点3 利用基本不等式求最值的解题技巧 1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值 例3：（1）已知a,b?R?,a?b?3?ab，求ab的最小值。 （2）已知y?2x?x2(0?x?1)，求y的最大值。 b2 ?1，求a?b2的最大值。 （3）已知a,b?R，a?2 ? 2 （4）求函数y? （5）设a>b>c>0，求2a 2 2x?1?5?2x的最大值。 11210ac25c的最小值。 aba?ab? A2 B4 C5 D5 【分析】 通过
17、拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件 11222 【解析】 原式(a10ac25c)aba(ab)aaba(ab) aba?ab? 112 (a5c)aba(ab) aba?ab?01 abab 1 a?ab?4， a?ab? 22 c时，等号成立【答案】 B 25 ab1? 当且仅当?a?ab?1 ?a5c ，即a2，b 练习： （1）(2022年浙江)设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_ 2222 解析：4xyxy1，4x4xyy3xy1 332xy22 (2xy)13xy2xy() 22238222 (2xy)1y) (2xy) 85 篇
18、三：基本不等式及其应用教案(精心整理) 基本不等式及其应用 一知识结构（博闻强记，是一项很强的能力） a?b?(a?0，b?0)，当且仅当_时，等号成立 1.ab?2 a?b其中和ab分别称为正数a，b的_和_ 2 2.基本不等式的重要变形： a2?b2?_(a，b?R)?ab?_； a?b?_(a，b?R?)?ab?_ 2 a?b222?a?b? 2 经典例题：下列不等式在a、b>0时一定成立的是_ 2aba? b2aba?b （1） （2 a?b2a?b2a?b2ab2aba?b （3 （42a?ba?b23均值定理 已知x，y?R，则： ? S2 （1）若x?y?S（和为定值），则
19、当x?y时，积xy取得最_值； 4 （2）若x?y?P（积为定值），则当x?y时，和x?y取得最_值2P 利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。 二题型选编(熟能生巧,在有限时间内提高解题效率的最佳方法) 题组一：利用不等式求最值 例1：求下列各题的最值： 4?x的最小值； x?3 52（2）x?R，求f(x)?sinx?1?的最小值； sin2x?1 4（3）0?x?，求f(x)?x(4?3x)的最大值； 3（1）x?3，求f(x)? （4）已知x?0,y?0,且 变式练习： 1设a,b?R，且a?b?3，
20、则2?2的最小值是 第- 1 页 ab19?1,求x?y的最小值。 xy A6 B42 C22D26 2下列不等式中恒成立的是 A x2?214x2?4?2 Bx?2 C?2 D2?3x?2 xxx2?2x2?5 B当x?0时,x?1?2 x3下列结论正确的是 A当x?0且x?1时,lgx?1?2 lgx C当x?2时,x?11的最小值为2 D当0?x?2时,x?无最大值 xx 4若x,y是正实数， 则(x?y)(?1 x4)的最小值为 y A6 B 9 C 12 D 15 5若正数a、b满足ab?a?b?3，则a?b的取值范围是 A9,?) 6,?) C(0,9 D(0,6) 6设y?R，且
21、4y2?4xy?x?6?0，则x的取值范围是 A?3?x?3 B?2?x?3Cx?2或x?3 Dx?3或x?2 7下列函数中最小值是4的是 44 By?sinx? xsinx 12?3,x?0 Cy?21?x?21?x Dy?x?2x?1Ay?x? 8若关于x的方程9?(4?a)?3?4?0有解，则实数a的取值范围是 A(?,?8?0,?)B(?,?4C(?8,4D(?,?8 9已知x?xx51，则函数y?4x?2?的最大值 。 44x?5 2a2?2a?110已知a?2，p?，q?2?a?4a?2则 a?2 Ap?q Bp?q Cp?q Dp?q 11已知函数f(x)?lg(5?x4?m)的
22、值域为R，则m的取值范围是（ ） 5x A.(?4,?) B. ?4,?)C.(?,?4)D. (?,?4 xy12.设x,y?R,a?1,b?1，若a?b? 3，a?b?11?的最大值为。 xy 13若ab1，P lga?lgb，Q?lga?lgb?，Rlg?第- 2 页 12?a?b?，则P、Q、R的大小关系?）2? 是 ； 题组二：利用基本不等式解应用题 例2：某造纸厂拟建一座平 面图形为矩形且面积为162平 的 三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示), 如果 周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔 墙建造单价为248 池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.
23、（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出 总造价； 方米池四元/米,最低 （2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求 出 最低总造价. 变式练习： 1某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x的函数关系为y?(x?6)2?11(x?N?),则每辆客车营运多少年，其运营的年平均利润最大 2一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达B市。已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于(v2)km （货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最
24、快需要多20 少小时？ 3某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需 运费101元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为 4某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房 子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用 （1）把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域； （2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多
25、少？ 25某校要建一个面积为392 m的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4 m的小路（如图所 示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值。 6速度?（千米/小时）之间的函数关系为：y?（1）在该时段内，当汽车的平均速度?0.1千 辆/小时） （2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/ 7如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米， 第- 3 页 （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内? (2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的
26、面积最小?并求最小面积； (3)若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积 8某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅， 每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求： （1）仓库面积S的最大允许值是多少？ （2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 8解：设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为S?xy 依题设，40x?2?45y?20xy?3200，由基本不等式得 3200?240x?90y?20xy?xy?20xy?S?20S，
27、?S?6S?160?0，即(S?10)(S?6)?0，故S?10，从而S?101 所以S的最大允许值是101平方米， 取得此最大值的条件是40x?90y且xy?101，求得x?15，即铁栅的长是15米。 第- 4 页 基本不等式及其应用出自：百味书屋链接地址： 转载请保留,谢谢!本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第30页 共30页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页第 30 页 共 30 页