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基本不等式及其应用
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)； (4)≥2(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
(1)设a≥0，b≥0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为.
(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
选择题：
设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77 C．81 D．82
解析 ∵x>0，y>0，∴≥，即xy≤()2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81
若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
A. B. C．2 D.
解析 由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2(2x)(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2
若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析 2≤2x＋2y＝1，∴2x＋y≤，即2x＋y≤2－2，∴x＋y≤－2
若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为( )
A．2－ B．2＋ C．4＋2 D．4－2
解析 ＋＝＝＝1＋＝1＋≤1＋＝4－2，当且仅当＝，即x2＝2y2时取等号
若函数＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
解析 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3
已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，若＋(m>0)的最小值为3，则m等于( )
A．2 B．2 C．3 D．4
解析 由2x－3＝()y得x＋y＝3，＋＝(x＋y)(＋)＝(1＋m＋＋)≥(1＋m＋2)，(当且仅当＝时取等号)，∴(1＋m＋2)＝3，解得m＝4
已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( )
A．9 B．8 C．4 D．2
解析 圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，∴圆心为C(0,1)
∵直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，∴a0＋b1＋c－1＝0，即b＋c＝1
∴＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5
∵b，c>0，∴＋≥2＝4，当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝时，＋取得最小值9
已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为( )
A. B. C. D.
解析 由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，
∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)
∵＝4a1，∴qm＋n－2＝16，∴2m＋n－2＝24，∴m＋n＝6
∴＋＝(m＋n)(＋)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝
当且仅当＝时，等号成立，故＋的最小值等于
在等差数列{an}中，an>0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5a6的最大值是( )
A．3 B．6 C．9 D．36
解析 ∵a1＋a2＋…＋a10＝30，∴5(a1＋a10)＝30，即a1＋a10＝a5＋a6＝6，∵a5＋a6≥2，∴6≥2，即a5a6≤9，当且仅当a5＝a6时取等号，∴a5a6的最大值为9
若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2 C．2 D．4
解析 依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立．
∵＋＝，∴≥，即ab≥2，∴ab的最小值为2
已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析 由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4
若a，b都是正数，则的最小值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
解析 ∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号
已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9 B．12 C．18 D．24
解析 由＋≥，得m≤(a＋3b)(＋)＝＋＋6
又＋＋6≥2＋6＝12，∴m≤12，∴m的最大值为12
已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )
A．4 B．2 C．8 D．16
解析 由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立
已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4 C. D．5
解析 依题意，得＋＝(＋)(a＋b)＝[5＋(＋)]≥(5＋2)＝，
当且仅当即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是
若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4
解析 由题意得∴
又log4(3a＋4b)＝log2，∴log4(3a＋4b)＝log4ab，∴3a＋4b＝ab，故＋＝1.
∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号
若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值是( )
A．1 B．6 C．9 D．16
解析 ∵正数a，b满足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1，同理可得b>1，∴＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6，当且仅当＝9(a－1)，即a＝时等号成立，
∴最小值为6
设＝lnx,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
A．q＝r＜p B．q＝r＞p C．p＝r＜q D．p＝r＞q
解析 ∵0＜a＜b，∴＞，
又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故f＞f()，即q＞p.
又r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝lna＋lnb＝ln(ab)＝f()＝p，故p＝r＜q
已知函数＝x＋(p为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为( )
A．1 B．2 C. D.
解析 由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1，当且仅当x＝＋1时取等号，
∵f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，∴2＋1＝4，解得p＝
填空题：
已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________
解析 1＝x＋4y≥2＝4，∴xy≤()2＝，当且仅当x＝4y＝，即时，(xy)max＝
已知实数m，n满足mn>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为________
解析 ∵mn>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，∴＋＝－(m＋n)＝－≤－2－2＝－4，当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4
已知x<，则＝4x－2＋的最大值为________
解析 ∵x<，∴5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1
函数y＝(x>1)的最小值为________
解析 y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2
当且仅当(x－1)＝，即x＝＋1时，等号成立
函数y＝的最大值为________
解析 令t＝≥0，则x＝t2＋1，∴y＝＝
当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t>0，即x>1时，y＝，
∵t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，∴y＝≤，即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值)．
若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________
解析 由x＋3y＝5xy可得＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)(＋)＝＋＋＋≥＋＝5
已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________
解析 由已知得x＝，∵x>0，y>0，∴y<3，
∴x＋3y＝＋3y＝＝＝＋(3y＋3)－6≥2－6＝6，
当且仅当＝3y＋3，即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6
已知函数＝(a∈R)，若对于任意x∈N＋，≥3恒成立，则a的取值范围是______
解析 对任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－(x＋)＋3
设g(x)＝x＋，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝，∴－(x＋)＋3≤－，∴a≥－，故a的取值范围是[－，＋∞)
已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________
解析 ∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)(＋)＝3＋＋≥3＋2(当且仅当y＝x时取等号)，
∴当x＝＋1，y＝2＋时，(x＋y)min＝3＋2
函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________
解析 ∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋(－)≥1＋2＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故y的最小值为1＋2
若关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________
解析 分离变量得－(4＋a)＝3x＋≥4，得a≤－8
设a＋b＝2，b>0，则＋取最小值时，a的值为________
解析 ∵a＋b＝2，∴＋＝＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1，
当且仅当＝时等号成立
又a＋b＝2，b>0，∴当b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值
若当x>－3时，不等式a≤x＋恒成立，则a的取值范围是________
解析 设f(x)＝x＋＝(x＋3)＋－3，
∵x>－3，所以x＋3>0，故f(x)≥2－3＝2－3，
当且仅当x＝－3时等号成立，∴a的取值范围是(－∞，2－3]
若对于任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________
解析 ＝，∵x＞0，∴x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，
则≤＝，即的最大值为，故a≥.
解答题：
已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；
(2)求＋的最小值．
解 (1)∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.
∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1，∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，∴＋＝＝≥＝，
当且仅当＝时，等号成立．由解得
∴＋的最小值为
专项能力提升
设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为( )
A．4 B．4 C．9 D．16
解析 由＋＝1得xy＝8＋x＋y，
∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，
即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，∴xy的最小值为16
设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0 B．1 C. D．3
解析 由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，∴＋－＝＋－＝－2＋1≤1
已知m>0，a1>a2>0，则使得≥|aix－2|(i＝1,2)恒成立的x的取值范围是( )
A．[0，] B．[0，] C．[0，] D．[0，]
解析 ∵＝m＋≥2(当且仅当m＝1时等号成立)，∴要使不等式恒成立，
则2≥|aix－2|(i＝1,2)恒成立，即－2≤aix－2≤2，∴0≤aix≤4，
∵a1>a2>0，∴即0≤x≤，∴使不等式恒成立的x的取值范围是[0，]
已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________
解析 ∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤，∴6－(x2＋4y2)≤，
∴x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号)．
又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12(当且仅当x＝－2y时取等号)
综上可知4≤x2＋4y2≤12
设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为________
解析 由题意知3a3b＝3，即3a＋b＝3，∴a＋b＝1，∵a>0，b>0，
∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立
点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，则ab的最大值为________
解析 由题意知a>0，b>0，且(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，化简得a2＋b2＋2(a＋b)＝6，则6≥2ab＋4(当且仅当a＝b时取等号)，令t＝(t>0)，则t2＋2t－3≤0，解得0
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