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1、函数：函数：设设F为二元关系，为二元关系，如 F1 = , , 是函数F2 = , , , 不是函数若对任意的若对任意的x domF都都存在唯一的存在唯一的y ranF，使得，使得xFy成立，则成立，则F为函数，为函数，y是是F在在x的函数值。的函数值。设A、B是集合，如果函数f 满足以下条件(1) domf = A(2) ranf B则称 f 是从A到B的函数，记作：f：ABA f 设 f ：AB，A A，则f A是A在f 下的象。则f (A) = f (x) | xA= f A，设函数 f：AB(1) 若ranf = B，则说f 具有满射性；(2) 若对于任何x1, x2A，x1x2都有
2、f (x1)f (x2)，则说f具有单射性；(3) 若f 既具有满射性，又具有单射性，则说f 具有双射性。函数的性质例例5.1 判断以下函数的单射、满射和双射性。(1) f：R R R R，R为实数集 f () = x+y, xy解：解： (1) 先说f 是单射的。这要证明对任取，R R。反证，如果 = ，则， x+y = u+v 且xy = uv。 时, ；解关于x, y的方程组知：x = u 且 y = v，故 = 与已知矛盾。 再说f是满射的。这只要让对任意的(u,v)R R，可以找到R R, 使得f () = 就可以了。由f 的定义有 x+y = u 和 xy = v2,2vuyvux
3、从而vuvuvuf,)2,2(就是说综上所述，f 是双射的。(2) f：N NN，N为自然数集(0N)f () = | x2 y2 |解：解： f 不是单射，因为f ()= f () = 0；f 不是满射，因为找不到自然数x和y满足| x2y2 | = 2，所以2ranf 特征函数：特征函数：设设A为集合，为集合，XA (a) =1 aA0 aAA如A = a,b,c，A = a，则XA(a) = 1，XA(b) = XA(c) = 0对于任意的对于任意的A A，A的的特征函数特征函数XA：A0，1 定义为：定义为：自然映射：自然映射：设设R是是A上的等价关系，上的等价关系，如：A = 1,2
4、,3，R = ,IA则有 g(1) = g(2) = 1,2，g(3) = 3称称g为从为从A到到A/R的自然映射。的自然映射。定义一个从定义一个从A到到A/R的函数的函数g：AA/R 且且 g(a) = a，它把它把A中的元素中的元素a映到映到a的等价类的等价类a。由定义可知：只有当 f ：AB是双射函数时，它才有逆函数.函数的逆：函数的逆：关系关系 f 是从是从A到到B的一个函数，如的一个函数，如果果 f 的逆关系的逆关系f 1也是一个函数也是一个函数(B到到A的的)，这个函数称之为，这个函数称之为f 的逆函数，的逆函数，记作记作f 1 ：B A。函数的合成：设f： AB 和 g： BC都
5、是函数，则合成关系g f = | aAcC b (b B f g)称为f与g的合成函数： g f：AC例例5.2 设函数f：RR, f (x) = 3x+2,求 f 2, f 3, f 4解：解： f 2 = f f f 2(x)=f (f (x)=f (3x+2) f 3 = f f 2 f 3(x)=f (f 2(x) f 4 = f f 3 f 4(x)=f (f 3(x)=3(3x+2)+2=9x+8 =3f 2(x)+2=3(9x+8)+2=27x+26 =3f 3(x)+2=3(27x+26)+2=81x+80 合成运算的性质合成运算的性质(1) 若f : AB, g: BC都是满射，则g f 也是满射；(2) 若f : AB, g: BC都是单射，则g f 也是单射；(3) 若f : AB, g: BC都是双射，则g f 也是双射；小结与学习要求小结与学习要求