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1、离散数学函数第1页，本讲稿共15页5.1 5.1 函数的定义和性质函数的定义和性质高高高高等等等等数数数数学学学学课课课课程程程程中中中中详详详详细细细细研研研研究究究究了了了了函函函函数数数数的的的的概概概概念念念念和和和和性性性性质质质质，但但但但这这这这些些些些函函函函数数数数概概概概念念念念一一一一般般般般不不不不好好好好直直直直接接接接应应应应用用用用地地地地计计计计算算算算机机机机科科科科学学学学。如如如如数数数数据据据据结结结结构构构构，开开开开关关关关理理理理论论论论，自自自自动动动动机机机机等等等等。计算机科学要求推广以往的函数概念。计算机科学要求推广以往的函数概念。计算机科
2、学要求推广以往的函数概念。计算机科学要求推广以往的函数概念。第2页，本讲稿共15页函数：函数：设设F为二元关系，为二元关系，如 F1=,是函数F2=,不是函数若对任意的若对任意的x domF都都存在唯一的存在唯一的y ranF，使得，使得xFy成立，则成立，则F为函数，为函数，y是是F在在x的函数值。的函数值。第3页，本讲稿共15页从从从从A A到到到到B B的函数的函数的函数的函数：设A、B是集合，如果函数f 满足以下条件(1)domf=A(2)ranf B则称 f 是从A到B的函数，记作：f：AB集集集集A 在在在在 f 下的象：下的象：下的象：下的象：设 f：AB，A A，则f A是A在
3、f 下的象。则f(A)=f(x)|xA=f A，第4页，本讲稿共15页设函数 f：AB(1)若ranf=B，则说f 具有满射性；(2)若对于任何x1,x2A，x1x2都有 f(x1)f(x2)，则说f具有单射性；(3)若f 既具有满射性，又具有单射性，则说f 具有双射性。函数的性质第5页，本讲稿共15页例例5.1 判断以下函数的单射、满射和双射性。(1)f：R R R R，R为实数集 f()=x+y,xy解：解：(1)先说f 是单射的。这要证明对任取，R R。反证，如果=，则，x+y=u+v 且xy=uv。时,；第6页，本讲稿共15页解关于x,y的方程组知：x=u 且 y=v，故=与已知矛盾。
4、再说f是满射的。这只要让对任意的(u,v)R R，可以找到R R,使得f()=就可以了。由f 的定义有 x+y=u 和 xy=v综上所述，f 是双射的。第7页，本讲稿共15页(2)f：N NN，N为自然数集(0N)f()=|x2 y2|解：解：f 不是单射，因为f()=f()=0；f 不是满射，因为找不到自然数x和y满足|x2y2|=2，所以2ranf 第8页，本讲稿共15页特征函数：特征函数：设设A为集合，为集合，XA(a)=1 aA0 aAA如A=a,b,c，A=a，则XA(a)=1，XA(b)=XA(c)=0对于任意的对于任意的A A，A的特征函数的特征函数XA：A0，1 定义为：定义为
5、：第9页，本讲稿共15页自然映射：自然映射：设设R是是A上的等价关系，上的等价关系，如：A=1,2,3，R=,IA则有 g(1)=g(2)=1,2，g(3)=3称称g为从为从A到到A/R的自然映射。的自然映射。定义一个从定义一个从A到到A/R的函数的函数g：AA/R 且且 g(a)=a，它把，它把A中的元素中的元素a映到映到a的等价类的等价类a。第10页，本讲稿共15页5.2 5.2 函数的运算函数的运算由定义可知：只有当 f：AB是双射函数时，它才有逆函数.函函数数的的逆逆：关关系系 f 是是从从A到到B的的一一个个函函数数，如如果果 f 的的逆逆关关系系f 1也也是是一一个个函函数数(B到
6、到A的的)，这这个个函函数数称称之之为为f 的的逆逆函函数数，记作记作f 1：B A。第11页，本讲稿共15页函数的合成：设f：AB 和 g：BC都是函数，则合成关系g f =|aAcC b(b B f g)称为f与g的合成函数：g f：AC第12页，本讲稿共15页例例5.2 设函数f：RR,f(x)=3x+2,求 f 2,f 3,f 4解：解：f 2=f f f 2(x)=f(f(x)=f(3x+2)f 3=f f 2 f 3(x)=f(f 2(x)f 4=f f 3 f 4(x)=f(f 3(x)=3(3x+2)+2=9x+8=3f 2(x)+2=3(9x+8)+2=27x+26=3f 3
7、(x)+2=3(27x+26)+2=81x+80 第13页，本讲稿共15页合成运算的性质合成运算的性质(1)若f:AB,g:BC都是满射，则g f 也是满射；(2)若f:AB,g:BC都是单射，则g f 也是单射；(3)若f:AB,g:BC都是双射，则g f 也是双射；第14页，本讲稿共15页掌掌掌掌握握握握单单单单射射射射，满满满满射射射射，双双双双射射射射等等等等的的的的含含含含义义义义；善善善善于于于于在在在在给给给给定定定定集集集集合合合合上上上上根根根根据据据据需需需需要要要要建建建建立立立立具具具具有有有有特特特特殊殊殊殊性性性性质质质质的的的的函函函函数数数数；熟熟熟熟练练练练掌掌掌掌握握握握函函函函数数数数的的的的运运运运算算算算，并并并并清清清清楚楚楚楚函函函函数数数数与与与与关关关关系系系系的的的的区区区区别别别别和和和和联联联联系系系系。为为为为学学学学习习习习代代代代数数数数系系系系统统统统打打打打好好好好基基基基础。础。础。础。第15页，本讲稿共15页