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1、河北威县第二中学河北威县第二中学张俊辉张俊辉（第1课时）情境导入情境导入儿时的风筝著名的赵爽玄图这是在北京召开这是在北京召开的第届国际的第届国际数学家大会会数学家大会会标标颜色的明暗颜色的明暗使它看上去象一使它看上去象一个风车，代表中个风车，代表中国人民热情好客。国人民热情好客。ADBCEFGHba22ab思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：这会标中含有怎样的几何图形？ 你能否在这个图案中找出一些相等关系你能否在这个图案中找出一些相等关系 或不等关系？或不等关系？ ADBCEFGHba22ab试比较4个直角三角形的面积之和与正方形ABCD的面积大小，我们会得到一个不等式： 玄图变化 当ab
2、时 我们再次观察4个直角三角形面积之和与大正方形的面积，我们发现此时ADBCEFGHba22abACBE(FGH)abD 一一般地，对于任意实数般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立222aba b试一试：你能给出它的证明吗试一试：你能给出它的证明吗于是得重要不等式于是得重要不等式(,)002ababab即于是我们得到2baab基本不等式：基本不等式：)0, 0(ba当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立 为a、b的算术平均数， 为几何平均数，2ba ab 代数意义代数意义 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正
3、数的算术平均数不小于它们的几何平均数.如图如图,AB,AB是圆是圆o o的直的直径，径，D D是是ABAB上任一上任一点，点，AC=AC=a a,BC,BC= =b b, ,过过点点C C作垂直于作垂直于ABAB的的弦弦DCDC，连，连AD,BDAD,BD, ,则则DC=_,DC=_, DO=AO=_ DO=AO=_你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?DABCoabDODO与与DCDC的的大小关系怎样大小关系怎样? ?当当C与与O重合时呢？重合时呢？如图如图,AB,AB是圆是圆o o的直的直径，径，D D是是ABAB上任一上任一点，点，AC=AC=
4、a a,BC,BC= =b b, ,过过点点C C作垂直于作垂直于ABAB的的弦弦DCDC，连，连AD,BDAD,BD, ,则则DC=_,DC=_, DO=AO=_ DO=AO=_DABCoabab2ba 几何意义：几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长圆的半径不小于圆内半弦长 为a、b的算术平均数， 为几何平均数， 那么2ba ab代数意义：代数意义：两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不 小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数. 基本不等式2abab小结：例1. x0,当x取什么值时， 的值最小？ 最小值是多少？1xx解：当x0时，由基本不等式，得 当且仅当x=1时等号成立，所以当x为
5、1时有最小值，最小值为221xxxx12两两个正数积为定值，则和有最小值个正数积为定值，则和有最小值学以致用学以致用例2.设a、b是正实数，且ab8，当a,b满足 什么条件时，ab有最大值？最大值是多少？解：因为a,b均为正实数 所以 当且仅当a=b=4时成立即 ab 16所以 当a=b=4时，ab有最大值，最大值为1642baab1、当、当x0时，时， 的最小值为的最小值为 ，此时，此时x= 。xx142、已知、已知则则x y 的最大值是的最大值是 。)0, 0(232 yxyx 3、若实数、若实数 ，且，且 ，则，则 的最小的最小值是（值是（ ） A、10 B、 C、 D、yx,5 yxy
6、x33 3664318当堂检测当堂检测461D21本课小结本课小结 a0，b0 ab 正数正数a,b的算术平均数不小于它的几何平均数的算术平均数不小于它的几何平均数 圆的半径不小于圆内半弦长圆的半径不小于圆内半弦长 感恩有您感恩有您 谢谢指导谢谢指导02 ）（ba0222babaabba222证明：证明：222aba b证明不等式： 学校计划一段长为学校计划一段长为36m36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？是多少？解：设矩形菜园的长为xm,宽为ym, 则2x+2y=
7、36, 即x+y=18，矩形菜园的面积为xy m2 当且仅当x=y,即x=9，y=9时等号成立。 因此，这个矩形的长为9m、宽为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2 。我来试一试我来试一试ADBCEFGHba22ab（1）正方形的边长为_面积为_ （2）4个全等的直角三角形面积之和为_（3）比较4个直角三角形的面积之和与正方形的 面积大小，我们就得到了一个不等式：数学家的最高荣誉数学家的最高荣誉菲尔兹奖菲尔兹奖奖章正面是阿基米德头像奖章正面是阿基米德头像,并并用拉丁文写有：用拉丁文写有：“超越人类超越人类极限，做宇宙主人极限，做宇宙主人”的格言的格言奖章的背面用拉丁文写着奖章的背面用拉丁文写着“全世界的数学家们：为知全世界的数学家们：为知识作出新的贡献而自豪识作出新的贡献而自豪”