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1、立体几何复习作作(找找)-证证-指出指出-算算-结论结论在三角形在三角形中计算中计算（一）异面直线所成的角（一）异面直线所成的角：范围是（范围是（0 0，/2/2 . .平移直线成相交直线平移直线成相交直线: :(1)(1)利用中位线利用中位线, ,平行四边形平行四边形; ;(2)(2)利用线段成比例利用线段成比例; ;(3)(3)补形法补形法. .作作(找找)-证证-指出指出-算算-结论结论关键关键在三角形中计算在三角形中计算作作(找找)-证证-指出指出-算算-结论结论关键关键在三角形中计算在三角形中计算sABCEF 例例1.正四面体正四面体S-ABC中中,如如果果E、F分别是分别是SC、A
2、B的的中点中点,那么异面直线那么异面直线EF和和SA所成的角所成的角=_.G空间角空间角(线线角线线角,线面角线面角,二面角二面角)作作(找找)-证证(指出指出)-算算-结论结论在正方体在正方体AC1中，求中，求(1)直线直线A1B和和B1C所成的角所成的角;(2)直线直线D1B和和B1C所成的角所成的角ABDCA1B1D1C1空间角空间角(线线角线线角,线面角线面角,二面角二面角)作作(找找)-证证(指出指出)-算算-结论结论在正方体在正方体AC1中，求中，求(1)直线直线A1B和和B1C所成的角所成的角;(2)直线直线D1B和和B1C所成的角所成的角ABDCA1B1D1C1OFE空间角空间
3、角(线线角线线角,线面角线面角,二面角二面角)作作(找找)-证证(指出指出)-算算-结论结论在正方体在正方体AC1中，求中，求(1)直线直线A1B和和B1C所成的角所成的角;(2)直线直线D1B和和B1C所成的角所成的角ABDCA1B1D1C1EPABCMN空间四边形空间四边形P-ABC中，中，M，N分别是分别是PB，AC的中点，的中点，PA=BC=2，MN= ，求，求PA与与BC所成的角？所成的角？E3,:ENEMEAB连连结结中中点点取取解解.,的的中中点点分分别别是是ACPBNMBCENPAEM/,/)(,或或其其补补角角所所成成的的角角是是直直线线BCPAMEN ,3, 1, MNEN
4、EMMEN中中在在232sin MEN0602 MEN0120 MEN060,所所成成的的角角为为直直线线BCPA (二二)直线与平面所成的角：直线与平面所成的角：范围是范围是00，/2./2.确定射影的方法确定射影的方法( (找斜足和垂足找斜足和垂足):): (1)如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的
5、平分线上平分线上.(2)(2)两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上平面上的射影一定落在这两个平面的交线上. .作作(找找)-证证-指出指出-算算-结论结论关键在三角形中计算在三角形中计算(3)(3)利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：在底面上的射影的位置：a.a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心 b.b.如果顶点到底面各边距离
6、相等或侧面与底面如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心底面三角形的内心( (或旁心或旁心) )； c.c.如果侧棱两两垂直或二组对棱互相垂直（必如果侧棱两两垂直或二组对棱互相垂直（必可推出第三组也垂直），那么顶点落在底面上可推出第三组也垂直），那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心的射影是底面三角形的垂心. . 当点的射影位置不易确定时，可用等体积法当点的射影位置不易确定时，可用等体积法直接求垂线长直接求垂线长. .,2,111111所所成成的的角角与与平平面面求求直直线线长长为为侧侧棱棱的的底
7、底面面边边长长为为正正三三棱棱柱柱BBAAACaaCBAABC ABCA1B1C1D;)2(;)1(.60,45,00所所成成的的角角的的正正弦弦值值与与平平面面所所成成的的角角与与平平面面求求两两两两垂垂直直中中四四面面体体ABCSCSABBCSBCSBASCSBSAABCS ABCSaa3a2aa2a2D（2）PAPA、PBPB、PCPC是从是从P P点出点出发的三条射线，每两条射线发的三条射线，每两条射线的夹角均为的夹角均为 ，那么直线，那么直线PCPC与平面与平面PABPAB所成角的余弦值所成角的余弦值是（是（ ）A. B. C. D. A. B. C. D. 06021223336P
8、ACB0O例例1：（：（1）直三棱柱直三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1,BCA= ,BCA= ，点，点D D1 1、F F1 1 分别是分别是A A1 1B B1 1、A A1 1C C1 1的中点，的中点，BC=CA=CCBC=CA=CC1 1，则，则BDBD1 1与与AFAF1 1所成角所成角的余弦值是（的余弦值是（ ） A. B. C. D.A. B. C. D.10302115301015090AC例例2：在正四面体在正四面体ABCDABCD中，中，E E、F F分别为分别为ADAD、BCBC 的中点的中点. .（1 1）求）求CDCD与与AFAF所成的角的余弦值
9、；所成的角的余弦值；（2 2）求直线）求直线CECE与平面与平面BCDBCD所成的角的正弦值所成的角的正弦值. . ACDBEFGH思维点拨：思维点拨：准准确作出线线、确作出线线、线面角是关键，线面角是关键，熟记正四面体熟记正四面体中的一些量对中的一些量对解题有帮助解题有帮助. . 6332 (三三)二面角：二面角：范围是范围是00，.作作(找找)-证证-指出指出-算算-结论结论关键在三角形中计算在三角形中计算 棱上一点定义法棱上一点定义法：常取等腰三角形底边：常取等腰三角形底边( (棱棱) )中点中点. . 面上一点垂线法面上一点垂线法：自二面角的一个面上一点向另一：自二面角的一个面上一点向
10、另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线面引垂线，再由垂足向棱作垂线 空间一点垂面法空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角截二面角得两条射线，这两条射线所成的角. .斜面面积和射影面积的关系公式斜面面积和射影面积的关系公式： ( ( 为原斜面面积为原斜面面积, , 为射影面积为射影面积, , 为斜面与射影所为斜面与射影所成二面角的平面角成二面角的平面角) )这个公式对于斜面为三角形这个公式对于斜面为三角形, ,任意多任意多边形都成立边形都成立. .cosSSSSABCOD当当二面角的二面角的平面角平面角不易作出时，可用面积法不易
11、作出时，可用面积法直接求平面角的余弦值直接求平面角的余弦值. 例例1.如图，四面体如图，四面体ABCD的棱的棱BD长为长为2，其余，其余各棱的长均是各棱的长均是 , 求二面角求二面角A-BD-C的大小。的大小。2ABCDO.,:BOAOOBD连结连结的中点的中点取取解解CDBCADAB ,BDCOBDAO ,.的的平平面面角角是是二二面面角角CBDAAOC 0902, 1, AOCACOCOAAOC中中在在.900的大小为的大小为二面角二面角CBDA （作）（作）)(证证 （指出）（指出）)(算算 （结论）（结论）作作(找找)-证证(指出指出)-算算-结论结论正方体正方体ABCDA1B1C1D
12、1中中,求求:(1) 二面角二面角A-BD-A1的正切值的正切值;(2) 二面角二面角A1-AD-B的大小的大小.ABCDA1B1C1D1O解解: :连结连结AC,AC,交交BDBD于于O,O,连结连结OAOA1 1由正方体的性质可知由正方体的性质可知,BDOA,BDAA,BDOA,BDAA1 1OAOA和和AAAA1 1是平面是平面AOAAOA1 1内两条相交直线内两条相交直线BDBD平面平面AOAAOA1 1BDOABDOA1 1AOAAOA1 1是二面角是二面角A-BD-AA-BD-A1 1的平面角的平面角. .2tan,22, 1, 1 1111 AOAAAOAAOAAAOARt中中在
13、在设设正正方方体体的的棱棱长长为为作作(找找)-证证(指出指出)-算算-结论结论在正方体在正方体AC1中，中，E为为BC中点中点,(1)求证求证:D1B/平面平面C1DE;(2)求二面角求二面角C1-ED-C的正切值的正切值.ABDCA1B1D1C1EO在正方体在正方体AC1中，中，E为为BC中点中点,(1)求证求证:D1B/平面平面C1DE;(2)求二面角求二面角C1-ED-C的正切值的正切值.ABDCA1B1D1C1EH例例3：（：（1）如图所示的正方如图所示的正方体体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，过顶中，过顶点点B B、D D、C C1 1作截面，则二
14、面作截面，则二面角角B-DCB-DC1 1-C-C的正切值是的正切值是_._.OABCDA1B1C1D1COA（2）在一个在一个45450 0的的二面角的一个平面二面角的一个平面内有一条直线与二内有一条直线与二面角棱成面角棱成45450 0角，角，则此直线与二面角则此直线与二面角的另一个面所成的的另一个面所成的角为角为 （ ） A)300 B)450 C)600 D)900 2NABCB1C1A1Q例例4：在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中， BAC=90BAC=900 0，AB=BBAB=BB1 1=1=1，直线，直线B B1 1C C与平面与平面A
15、BCABC成成30300 0角，求二面角，求二面角角B-BB-B1 1C-AC-A的正弦值。的正弦值。 思维点拨：三三垂线定理法求垂线定理法求二面角二面角. . 36例例5: 如图，如图，ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正方体，是正方体，E E是是CCCC1 1的中点，的中点，求二面角求二面角B-BB-B1 1E-DE-D的正切值的正切值. . BACDD1A1B1C1E分析：图中二面角的图中二面角的二个半平面分别为二个半平面分别为DEBDEB1 1所在的半平面所在的半平面和和BEBBEB1 1所在的半平所在的半平面，即正方体的右侧面，即正方体的右侧面，它们
16、的交线即二面，它们的交线即二面角的棱面角的棱B B1 1E.E.不难找不难找到到DCDC即为从其中的一即为从其中的一个半平面出发，并且个半平面出发，并且垂直于另一个半平面垂直于另一个半平面的直线的直线. . 5F例例6: 如图，在平面角为如图，在平面角为60600 0的二面角的二面角 -l- -l- 内有一点内有一点P P，P P到平面到平面 、 的距离分别为的距离分别为PC=2cm,PD=3cm,PC=2cm,PD=3cm,求垂足的连线求垂足的连线CDCD的长的长PEDCl分析：分析：对于本题很多同学可能会这么做：过C在平面内作棱l的垂线，垂足为E，连DE，则角CED即为二面角的平面角。这么
17、作辅助线看似简单，这么作辅助线看似简单，实际上在证明实际上在证明CEDCED为二面为二面角的平面角时会有一个很角的平面角时会有一个很棘手的问题，就是要证明棘手的问题，就是要证明P P、D D、E E、C C四点共面四点共面. .故不妨通过作垂面的方法来作二面角的平面角故不妨通过作垂面的方法来作二面角的平面角. .例例7： 在四棱锥在四棱锥P-ABCD中，中，ABCD为正方形，为正方形，PA平平面面ABCD，PAABa，E为为BC中点中点. .( (1) )求平面求平面PDE与平面与平面PAB所成二面角的正切值大小；所成二面角的正切值大小；( (2) )求平面求平面PBA与平面与平面PDC所成二
18、面角的正切值大小所成二面角的正切值大小 .PADCBEFOPADCBMNQCDEA例例8：在 的二面角角 , ，已知点A和B到棱的距离分别为2和4，且AB=10。求（1）直线AB与棱a所成的角的正弦值；（2）直线AB与平面所成的角的正弦值. aBA,0120例例 9 ： 在 棱 长 为 的 正 方 体在 棱 长 为 的 正 方 体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1，E E、F F分别为分别为BCBC与与A A1 1D D1 1的中点的中点, ,（1 1）求直线）求直线A A1 1C C与与DEDE所成的角；（所成的角；（2 2）求）求直线直线ADAD与平面与平面B B1 1EDFEDF所成的角；所成的角；(3)(3)求面求面B B1 1EDF EDF 与与 面面ABCDABCD所所成的角。成的角。 POHM第（第（3 3）小题也可以应用面积射影法）小题也可以应用面积射影法. .