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1、第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分一一.偏导数偏导数1.偏导数的定义定义 设z=f(x,y) 在点 的某邻域内有定义,当y固定在 时,得一元函数 , ),(00yx0y),(0yxfxyxfyxxfx),(),(lim00000z=f(x,y)在点 处对x的偏导数 ),(00yx),(00yxfx),(00yxxz),(00yxxf类似的, z=f(x,y)在点 处对y的偏导数 ),(00yxyyxfyyxfy),(),(lim00000),(00yxfy),(00yxyz),(00yxyf注:(1).若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数,则此偏 导数也是 x,y 的函数-
2、偏导函数.,.,yxyxzzff,.,yfyzxfxz(2).二元函数偏导数定义可以推广到更多元.例如: u=f(x,y,z)xzyxfzyxxfzyxfxx),(),(lim),(0000000000(3).由偏导数定义,一元函数的求导法则可用于求偏导数.例如:求 时,只要将y视为常数,求 f(x,y)关于 x 的导数.xf例1.22),(yxyxyxf求)2 , 0(yf) 1 , 0(xf221yxxfx221yxyfy, 1) 1 , 0(xf0)2 , 0(yf例2.xyzu 求偏导数yuzuxuyzzxy)(lnxzzxy)(ln1xyxyz0, 00,),(222222yxyxy
3、xxyyxf例3.求)0 , 0(yf)0 , 0(xf分段点处偏导分段点处偏导数要用定义求数要用定义求)0 , 0(xf0)0 , 0()0 ,0(lim0 xfxfx)0 , 0(yf0)0 , 0()0 , 0(lim0yfyfy例4.|),(yxyxf在(0,0)点是否连续?是否有偏导数?)0 , 0(0),(lim00fyxfyx故在(0,0)点连续.由定义易知在(0,0)点偏导数不存在.注意:对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数,从以上两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系.2. 偏导数的几何意义),(00yxfx表示曲面z=f(x,y)与平面 的交线L在点 处的切线 对
4、x 轴的斜率0yy ),(,(00000yxfyxMxTM0tan),(00yxfy表示曲面z=f(x,y)与平面 的交线L在点 处的切线 对y 轴的斜率0 xx ),(,(00000yxfyxMyTM0tan二二.高阶偏导数高阶偏导数二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 仍为 x, y 的函数.yxff ,它们的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数.;)(22xxxxfzxzxzx;)(2xyxyfzyxzxzy;)(2yxyxfzxyzyzx.)(22yyyyfzyzyzy混合偏导数类似的定义三阶以上偏导数定理若 z=f(x,y)的二阶混合偏导数 在(x,y)连续,则yxxyff,y
5、xxyff(适用于三阶以上)例5.xyzarctan求yxzxyz22,)()(1122xyxyxz222222)(yxxyxyzyxz2xxyyz1)(112,22yxy,22yxx例6.13323xyxyyxz求33222222,xzyzyxzxyzxz,33322yyyxxzxxyyxyz23922226 xyxzxyxyz182322196222yyxxyz2336 yxzyxz2三三. 全微分的概念全微分的概念1.全增量: 设 z=f(x,y) 在点P(x,y) 的某邻域内有定义,),(),(yxfyyxxfz全增量2.定义:如果 z=f(x,y) 在点 (x,y) 的全增量),()
6、,(yxfyyxxfz可以表示为)(yBxAz仅与x,y有关22)()(yx则称 z=f(x,y) 在点 (x,y) 可微分yBxA称为 z=f(x,y) 在点(x,y) 的全微分dz注: (1).若函数在区域D内处处可微分,则称它在D内可微分.(2).可微分一定连续.0)(limlim0000yBxAzyxyx(3).全微分特征:全微分是自变量增量的线性函数;全微分与全增量之差是比 高阶的无穷小)0(注: (1).与一元函数类似:dyyzdxxzdz(2).此定理反之不然,这是与一元函数的区别.例如:0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf0)0 , 0()0 , 0(yxff但
7、是函数在(0,0)不可微.22)()()0 , 0()0 , 0(yxyxyfxfzyx)0).(四四. 全微分与偏导数的关系全微分与偏导数的关系定理1(可微的必要条件)若函数 z=f(x,y) 在点(x,y)可微分,则称它在该点的偏导数必存在,且yyzxxzdz以上所有的全微分定义及定理都可以推广到二元以上定理2(可微的充分条件)若函数 z=f(x,y) 的偏导数在点 (x,y) 连续,则函数在该点可微.注意:反之不然.例如:0, 00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf在点(0,0)处可微,但偏导数不连续.(证明略)例6.求 在(2,1)点的全微分xyez ,xyye
8、xz例7.求 的全微分yzeyxu2sinxyxeyz,212exzyx,2212eyzyxdyedxedz222, 1xu,2cos21yzzeyyuyzyezudzyedyzeydxduyzyz)2cos21(注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别一元函数一元函数:可导可微连续多元函数多元函数:可偏导可微连续偏导数连续练习22222222222222322232222222232cos)(2sin3,cos2sin2,cos2sinzyxyxxyzyxzxyzuzyxzxyzyxxyzyuzyxzyxzyxzyxuzuyuxuzyxzxyu,sin. 122232求.cossin1sin,sincossin,cos1sin1,sin1cos32222222xyxyxyxxyxyyxzxyxyxyxyxyxzxyxxyxyzxyxxyyzyxzyzxyxyxz222,cossin. 2求精品课件精品课件！精品课件精品课件！.dlnddd.ln,1121122111zyxyxyyxyxzxyxyzzyxyxzuyxyxzyxyxzyuyxyzyyxzxuzzzzzzzzzyxzzd,. 3求