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1、高数多元函数的偏导高数多元函数的偏导数与全微分数与全微分第1页，本讲稿共46页（1）邻域）邻域一、多元函数的概念一、多元函数的概念第2页，本讲稿共46页（2）区域）区域例如，例如，即为开集即为开集第3页，本讲稿共46页第4页，本讲稿共46页（5）二元函数的定义）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数第5页，本讲稿共46页例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为第6页，本讲稿共46页（6）二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）第7页，本讲稿共46页二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.第8页，本讲稿共4
2、6页二、多元函数的极限二、多元函数的极限第9页，本讲稿共46页说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似第10页，本讲稿共46页例例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立第11页，本讲稿共46页例例3 3 求极限求极限 解解其中其中第12页，本讲稿共46页例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在第13页，本讲稿共46页确定极限确定极限不存在不存在
3、的方法：的方法：第14页，本讲稿共46页三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性定义定义3 3第15页，本讲稿共46页例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续第16页，本讲稿共46页例例解解第17页，本讲稿共46页多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义第18页，本讲稿共46页2、偏导数的定义及其计算法、偏导数的定义及其计算法第19页，本讲稿共4
4、6页第20页，本讲稿共46页第21页，本讲稿共46页偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 第22页，本讲稿共46页习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况第23页，本讲稿共46页多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导
5、、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导第24页，本讲稿共46页解解第25页，本讲稿共46页证证原结论成立原结论成立第26页，本讲稿共46页有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用定求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；义求；解解第27页，本讲稿共46页、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，第28页，本讲稿共4
6、6页纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.4、高阶偏导数、高阶偏导数第29页，本讲稿共46页解解第30页，本讲稿共46页解解第31页，本讲稿共46页问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？第32页，本讲稿共46页解解第33页，本讲稿共46页偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）三、小结三、小结第34页，本
7、讲稿共46页思考题思考题第35页，本讲稿共46页思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,第36页，本讲稿共46页3、复合函数链式法则、复合函数链式法则第37页，本讲稿共46页上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.第38页，本讲稿共46页 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：函数的情况：第39页，本讲稿共46页链式法则如图示链式法则如图示第40页，本讲稿共46页第41页，本讲稿共46页解解第42页，本讲稿共46页解解第43页，本讲稿共46页1、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结三、小结第44页，本讲稿共46页思考题思考题第45页，本讲稿共46页思考题解答思考题解答第46页，本讲稿共46页