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1、第9章 多元函数微分学6（偏导数的应用）偏导数的应用偏导数的应用 一、偏导数在几何上的应用一、偏导数在几何上的应用 1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 设空间曲线设空间曲线 的参数方程为：的参数方程为：则曲线则曲线 在在 点处的切线方程为：点处的切线方程为：在该点的法平面方程为：在该点的法平面方程为：0tt 0)()()(000000zztyytxxt)()()(000000tzztyytxxC)(),(),(tztytxC例例 求曲线求曲线 在对应于在对应于 的点的的点的切线及法线方程。切线及法线方程。解：解： 于是于是 得过得过 时的点时的点 的曲线切线方程为：的曲线切线方程
2、为： 曲线的发平面方程为：曲线的发平面方程为： 即即 2,1,1tzttyttx0) 1( 2) 2)(1()21(41zyx)1 ,2,21(,)1 (1)1 ()1 (22ttttxtz221124121zyx1t,1)1 (22tttty,411tx, 11ty21tz1t011682zyx8142121zyx，即练习（练习（P266）1.求下列曲线的切线及法平面方程：求下列曲线的切线及法平面方程：曲线曲线 在点在点 处；处；32,tztytx)1 ,1 ,1( 2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设曲面设曲面 的方程为：的方程为：则过曲面上点则过曲面上点 的法线方程为：的法线方程
3、为：过该点的曲面切平面方程为：过该点的曲面切平面方程为：0),(zyxF),(0000zyxP),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx例例 求旋转椭球面求旋转椭球面 上的点上的点 处处的切平面方程与法线方程。的切平面方程与法线方程。解：令解：令 于是于是 得曲面在点得曲面在点 处的切平面方程为：处的切平面方程为： 即即 曲面的发线方程为：曲面的发线方程为： 即即 163222zyx0) 3( 6)2()4()1()6(zyx163),(222zyxzyxF63
4、4)2(6) 1(zyx)3 , 2, 1(332231zyx,6),(xzyxFx,2),(yzyxFyzzyxFz2),(, 6) 3 , 2, 1(xF, 4) 3 , 2, 1(yF6) 3 , 2, 1(zF)3 , 2, 1(016323zyx练习（练习（P266）2.求下列曲面的切平面及法线方程：求下列曲面的切平面及法线方程：曲面曲面 在点在点 处；处；16222zyx)3,2,1( 二、多元函数的极值二、多元函数的极值 定义定义 设函数设函数 在点在点 的某的某 邻域邻域内有定义，对于该邻域内异于点内有定义，对于该邻域内异于点 的点的点 ：如果总有如果总有 ，则称函数在点，则称
5、函数在点 处有处有极大值极大值；如果总有；如果总有 ，则称函数，则称函数在点在点 处有处有极小值极小值；函数取得极值的点称为；函数取得极值的点称为极值点极值点。 定理定理 设函数设函数 在点在点 可微，且在可微，且在点点 处有极值，则：处有极值，则： 若点若点 能使函数能使函数 的偏导数的偏导数 同时为零，则称该点为函数同时为零，则称该点为函数 的的驻点驻点。),(000yxP0),(,0),(0000yxfyxfyx),(yxfz 0P),(yxP),(000yxP),(),(00yxfyxf),(000yxP),(),(00yxfyxf),(00yx),(yxfz ),(00yx),(00
6、yx),(yxfz ),(yxfz yxff、 定理定理 设函数设函数 在点在点 的某一邻域的某一邻域内有一阶及二阶连续偏导数，内有一阶及二阶连续偏导数， 是函数的驻点，是函数的驻点，令令则：则： 当当 时，函数具有极值；当时，函数具有极值；当 时有时有极大值极大值 ；当；当 时有极小值时有极小值 ； 当当 时，函数没有极值；时，函数没有极值； 当当 时，是否为极值，需另行判别。时，是否为极值，需另行判别。求极值的步骤：求极值的步骤： 确定函数的定义域；确定函数的定义域； 找出函数的全部驻点；找出函数的全部驻点； 求出二阶偏导数；求出二阶偏导数； 利用极值判断定理求出极值。利用极值判断定理求出
7、极值。),(00yxf0A),(yxfz CyxfByxfAyxfyyxyxx ),(,),(,),(000000),(00yx),(00yx02 ACB0A),(00yxf02 ACB02 ACB例例 求函数求函数 的极值的极值解：解：函数的定义域：函数的定义域： 得函数的驻点得函数的驻点 求出二阶偏导数值；求出二阶偏导数值； 在点在点 处，处，所以点所以点 不是函数的极值点；不是函数的极值点； 在点在点 处，处，且且 ，所以点，所以点 处有极小值：处有极小值：1126),(32yyxxyxfyx，, 62),(xyxfx)2,3()2,3(、123),(2yyxfy01230622yx,
8、2),( yxfxx, 0),( yxfxyyyxfyy6),( 0242)6(2022 ACB)2,3()2,3()2,3(024)2()6(2022 ACB02A)2,3(1) 2(12) 2(363) 2, 3 (32f2623yx练习（练习（P266）5.求函数求函数 的极值。的极值。2933),(2233xyxyxyxf 三、多元函数的最值三、多元函数的最值 我们知道有界闭区域上连续函数，在该区域上必我们知道有界闭区域上连续函数，在该区域上必有最大值和最小值；有最大值和最小值； 函数的最值只能出现在极值点和区域边界上，所函数的最值只能出现在极值点和区域边界上，所以欲求多元函数的最值，
9、可以先求函数所有驻点的以欲求多元函数的最值，可以先求函数所有驻点的值，以及区域边界上的最值，最终比较求出最值。值，以及区域边界上的最值，最终比较求出最值。 在实际中，如果知道最大值（或最小值）一定在在实际中，如果知道最大值（或最小值）一定在区域内部取得，而函数在区域内只有一个驻点，可区域内部取得，而函数在区域内只有一个驻点，可以肯定该点函数取得最大值（或最小值）。以肯定该点函数取得最大值（或最小值）。 如果自变量附加一定的约束条件后，求函数的极如果自变量附加一定的约束条件后，求函数的极值，此称为值，此称为条件极值条件极值。拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数 在条件在条件 下的可能极
10、下的可能极值点，可先构造函数值点，可先构造函数其中其中 为某一常数（称为拉格朗日乘数），然后求为某一常数（称为拉格朗日乘数），然后求自变量的一阶偏导数，组成方程组自变量的一阶偏导数，组成方程组则解出的则解出的 为函数为函数 的可能条件极值点。的可能条件极值点。),(yxfz0),(yx),(),(),(yxyxfyxF0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxxyx、),(yxfz例例 要造一容积为要造一容积为4m2的无盖长方形水箱，问水箱的的无盖长方形水箱，问水箱的长、宽、高各为多少时，所用材料最省？长、宽、高各为多少时，所用材料最省？解：设水箱的长、宽、高分别为解：设水箱的长、宽、高分别为 则水箱表面积为：则水箱表面积为： 约束条件为：约束条件为： 构造函数：构造函数： 求偏导数得非常组：求偏导数得非常组： 由实际知一定有最小值，即当长、宽、高分别为由实际知一定有最小值，即当长、宽、高分别为2m、2m、1m时，用料最省。时，用料最省。040220202xyzxyyxxzzxyzzy04xyz)4(22),(xyzyzxzxyzyxf)(mzyx、yzxzxyA22122zyx练习（练习（P266） 8.要做成一个体积为要做成一个体积为 V的有盖长方体的水箱，问的有盖长方体的水箱，问长、宽、高取怎样的尺寸能使材料最省长、宽、高取怎样的尺寸能使材料最省?