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1、 在材料力学中已介绍过，由单根杆组成的静定梁有在材料力学中已介绍过，由单根杆组成的静定梁有如下三种形式如下三种形式 为了研究杆系结构的内力计算，首先复习以下结构为了研究杆系结构的内力计算，首先复习以下结构内力的分析方法内力的分析方法截面法（材力的内容）。截面法（材力的内容）。 3 悬臂梁悬臂梁在平面杆件的任一截面上，一般有三个内力在平面杆件的任一截面上，一般有三个内力轴力轴力截面上应力沿杆轴向的合力，符号截面上应力沿杆轴向的合力，符号FN；剪力剪力截面上应力沿杆截面切向的合力，符号截面上应力沿杆截面切向的合力，符号FQ ；弯矩弯矩截面上应力对截面形心轴的力矩，符号截面上应力对截面形心轴的力矩，
2、符号M。 1 简支梁简支梁2伸臂梁伸臂梁(1)将结构沿所求内力的截面，用一假想的平面切开将结构沿所求内力的截面，用一假想的平面切开(截截)；(2)取其任一部分为研究对象（称隔离体），把丢弃部分对取其任一部分为研究对象（称隔离体），把丢弃部分对研究的作用用内力代替（取）；研究的作用用内力代替（取）；(3)对研究对象应用平衡方程，即可求出指定截面的内力对研究对象应用平衡方程，即可求出指定截面的内力（列方程求解）。（列方程求解）。在列方程求内力之前，结构的全部外力（荷载及约在列方程求内力之前，结构的全部外力（荷载及约束反力）必须为已知或已求出。束反力）必须为已知或已求出。轴力轴力FN拉力为正；拉力为
3、正；剪力剪力FQ绕隔离体顺时针方向转的为正；绕隔离体顺时针方向转的为正；弯矩弯矩M使梁下部纤维受拉的为正。使梁下部纤维受拉的为正。 下面举例说明截面法及其应注意的事项下面举例说明截面法及其应注意的事项如图示简单梁，求如图示简单梁，求C截面的内力。截面的内力。解解VAVB（1）求约束反力）求约束反力整体分析如图整体分析如图(a)所示所示 得由0)(FMAkN50426812qFVpB得由0)(FMBkN7064281qFVpA（2）截面法求）截面法求C截面的内力截面的内力 取研究对象如图取研究对象如图(b)所示所示 Fp=40kNVBFNCMCFQC图图(b)CB由由X=0得得0NCF由由Y=0
4、得得kN10BpQCVFF得由0)(FMCkN.m12024pBCFVM4m 2m 2mACDBq=20kN/mFp=40kN图图(a) 绘制内力图的基本方法是：写出内力方程，以自变绘制内力图的基本方法是：写出内力方程，以自变量量x表示截面的位置，写出内力与表示截面的位置，写出内力与x之间的函数关系，然之间的函数关系，然后根据内力方程做图。后根据内力方程做图。 做内力图做内力图（FN、FQ和和M图）图）时，通常是以杆的轴时，通常是以杆的轴线为基准线，以垂直杆轴向的竖标代表内力的大小。线为基准线，以垂直杆轴向的竖标代表内力的大小。 对于对于M图，结构力学规定，一律图，结构力学规定，一律，图中，图
5、中不必注明正负号不必注明正负号； 对于对于FN、FQ图，可图，可，但，但。 在结构力学中，一般常用内力图来表示结构分析的在结构力学中，一般常用内力图来表示结构分析的最终结果，下面根据材料力学的知识总结出梁内力图最终结果，下面根据材料力学的知识总结出梁内力图（主要是（主要是M图）的一些特点。图）的一些特点。 若以若以x 轴向右为正，轴向右为正，y ，荷载的集度，荷载的集度q，则，则FQ剪力和弯矩剪力和弯矩M之间具有如下关系（取出一微之间具有如下关系（取出一微段梁易得）段梁易得） qdxMdFdxdMqdxdFQQ22;由上述微分关系可知由上述微分关系可知 (a)， FQ图为水平线图为水平线(或与
6、杆轴线平行线或与杆轴线平行线)，M图为斜直线；图为斜直线；(b)，FQ图为斜直线，图为斜直线，M图为抛物线且其图为抛物线且其凸出方向与荷载指向凸出方向与荷载指向 利用利用FQ 、 M图的这些特征，可简便地做出它们的图图的这些特征，可简便地做出它们的图形。一般而言，形。一般而言， FQ 图比较简单，下面讨论图比较简单，下面讨论 (1)，M图为斜直线，故只需求出该区段任意图为斜直线，故只需求出该区段任意两控制截面的弯矩便可绘出；两控制截面的弯矩便可绘出；(2)，M图为抛物线且其凸出方向与荷载指图为抛物线且其凸出方向与荷载指向相同；向相同；(3)，或在，或在FQ=0处，或在处，或在FQ发生变号处；发
7、生变号处；FQ图图M图图FQ图图aFp/lbFp/lM图图ql/2ql/2ql2/8abFp/l bFp/laFp/l ql/2ql/2lqaFplb(4)在铰接处的一侧截面上，如在铰接处的一侧截面上，如无无集中力偶作用，则该截面集中力偶作用，则该截面的弯矩为的弯矩为零零，如，如有有集中力偶作用，则该截面的弯矩就集中力偶作用，则该截面的弯矩就 (5)在自由端处，如在自由端处，如无无集中力偶作用，则自由端的弯矩为集中力偶作用，则自由端的弯矩为零零，如，如有有集中力偶作用，则自由端的弯矩就集中力偶作用，则自由端的弯矩就； MMMMFplMMlFp 利用叠加法作利用叠加法作M 图是一种较为简便的方法
8、，它适用图是一种较为简便的方法，它适用于梁、刚架等形式的结构。在利用叠加法作于梁、刚架等形式的结构。在利用叠加法作M图时，常图时，常以简支梁的弯矩图为基础，因此，简支梁在简单荷载以简支梁的弯矩图为基础，因此，简支梁在简单荷载（如：均布荷载、集中荷载和集中力偶等）作用下的（如：均布荷载、集中荷载和集中力偶等）作用下的M图应十分熟悉。图应十分熟悉。 例如作图示荷载作用下的简支梁弯矩图时。其步骤例如作图示荷载作用下的简支梁弯矩图时。其步骤如下如下 (1)首先将荷载分成两组首先将荷载分成两组 第一组梁两端集中力偶，第一组梁两端集中力偶，如图如图(b)所示；所示；第二组简支梁受集中力，第二组简支梁受集中
9、力，如图如图(c)所示。所示。分别作其弯矩图。分别作其弯矩图。 a blFpMAMB(a)MBMA(b)Fp(c)(2)叠加两弯矩图，即得两组荷载叠加两弯矩图，即得两组荷载同时作用时的实际弯矩图，如图同时作用时的实际弯矩图，如图(d)所示。所示。 MAMB(d)abFp/l应当注意：应当注意： 弯矩图叠加是指相应的竖标，弯矩图叠加是指相应的竖标，因此，因此，竖标竖标abFp/l，而不是图中的虚线。，而不是图中的虚线。下面把上述叠加法推广应用于直杆的任一区段下面把上述叠加法推广应用于直杆的任一区段。以图示简支梁的以图示简支梁的KJ段为例说明区段叠加法应用过程。段为例说明区段叠加法应用过程。将将K
10、 J 段作为隔离体取出段作为隔离体取出MBMA(b)Fp(c)qJK(a)qlFQJKFQKJMJKMKJ(b)lVJVKMJKMKJ(c)因此二者的弯矩图因此二者的弯矩图。利用简支梁弯矩图的叠加方利用简支梁弯矩图的叠加方法，易得法，易得 K J 段的弯矩图如段的弯矩图如图图(d)所示。所示。 MJKMKJ(d) 象这样，利用相应简支象这样，利用相应简支梁的弯矩图叠加来作直杆某梁的弯矩图叠加来作直杆某一区段弯矩图的方法，一区段弯矩图的方法， ql2/8将其与简支梁图将其与简支梁图(c)比较比较 由于二者均为平衡力系，则必由于二者均为平衡力系，则必有有VJ=FQJK， VK=- -FQKJqJK
11、(a)如图示简单梁，作内力图。如图示简单梁，作内力图。 解解 (1)求约束反力求约束反力 整体分析如图整体分析如图(a)所示所示 kN50426812qFVpBkN7064281qFVpA(2)作作FQ图图VBFp=40kNFNCMCFQC图图(b)CB AC段斜直线；段斜直线； CD段水平线；段水平线； 7010 DB段水平线。段水平线。 50(3)作作M图图 分分AC、CB两段采用区段叠加法两段采用区段叠加法极值点的弯矩极值点的弯矩kN.m12024pBCBCAFVMM4040在剪力图中，利用几何关系得在剪力图中，利用几何关系得 m5 . 3xmkN5 .1225 . 325 . 32ma
12、xqVMAxFQ图图(kN)：M图图(kN.m)：120122.5 4m 2m 2mACDBq=20kN/mFp=40kN图图(a)VAVB作业：作业： 多跨静定梁是各种铁路、公路桥梁常采用的一种结多跨静定梁是各种铁路、公路桥梁常采用的一种结构形式，在房屋建筑中有时也采用这种结构形式。构形式，在房屋建筑中有时也采用这种结构形式。 如如 由此可见，多跨静定梁是由若干根梁用由此可见，多跨静定梁是由若干根梁用铰铰联结而联结而成的成的。屋架上弦屋架上弦懔条懔条懔条懔条屋架上弦屋架上弦计算简图计算简图计算简图计算简图又如：又如： 根据定义，容易判断根据定义，容易判断ABC部分为基本部分，部分为基本部分，
13、CDE部分为附部分为附属部分。属部分。 基本部分与附属部分的区别基本部分与附属部分的区别: (1) 若附属部分被切断或撤除，整个基本部分仍为几何不若附属部分被切断或撤除，整个基本部分仍为几何不变的变的; (2) 若基本部分的几何不变性被破坏，则附属部分的几何若基本部分的几何不变性被破坏，则附属部分的几何不变性也连同遭到破坏。不变性也连同遭到破坏。 从从几何组成几何组成上看，多跨静定梁可分为上看，多跨静定梁可分为基本部分基本部分和和附属附属部分部分能能独立地独立地与基础组成一个几何不变体系的部分与基础组成一个几何不变体系的部分依靠其它部分依靠其它部分才能保证几何不变的部分。才能保证几何不变的部分
14、。ABCDE下面通过例题，说明分析多跨静定梁的一般步骤和原则下面通过例题，说明分析多跨静定梁的一般步骤和原则 本题共有本题共有，整体有，整体有3个平衡方程，及个平衡方程，及2个补个补充方程：充方程：MD=0， MB=0 ，因此该连续梁是静定的。，因此该连续梁是静定的。 求解上述求解上述5个方程，需解联立方程组，比较复杂，在力个方程，需解联立方程组，比较复杂，在力学分析中应尽量避免。下面根据梁的几何组成特点，介绍学分析中应尽量避免。下面根据梁的几何组成特点，介绍一种简便的分析方法。一种简便的分析方法。 Fpa 2a a 2a aE D C B A(a)F 该多跨静定梁由该多跨静定梁由AB、BD和
15、和DF三部分组成，三部分组成，AB为为，BD为支承于为支承于AB上的附属部分，而上的附属部分，而DF为支承为支承于上述组合部分之上的附属部分。它们之间的关系可用于上述组合部分之上的附属部分。它们之间的关系可用图表示出来，这个关系图称为图表示出来，这个关系图称为。 即即。 显然分析时，应先从显然分析时，应先从DF开始开始(因该部分仅因该部分仅3个未知力个未知力)，然后是然后是BD，最后才是，最后才是AB。能否先分析能否先分析ABAB或或BDBD？ Fpa 2a a 2a aE D C B A(a)FAB(b)FD层叠图层叠图层叠图层叠图如如层叠图层叠图 像这样，遵照像这样，遵照先附属先附属后基本
16、后基本的次序进行分析，每次的的次序进行分析，每次的计算都与单跨梁相同，最后把各单跨梁的内力图连在一起，计算都与单跨梁相同，最后把各单跨梁的内力图连在一起，就得到了该多跨静定梁的内力图。总结分析多跨静定梁的就得到了该多跨静定梁的内力图。总结分析多跨静定梁的主要步骤如下主要步骤如下： (1)按照几何组成特点，绘出多跨静定梁的层叠图；按照几何组成特点，绘出多跨静定梁的层叠图；(2)根据层叠图，先从最上层附属部分开始，依次计算根据层叠图，先从最上层附属部分开始，依次计算各梁的内力；各梁的内力；(3)按照绘制单跨梁内力图的方法，分别做各部分梁的按照绘制单跨梁内力图的方法，分别做各部分梁的内力图，然后将其
17、连在一起；内力图，然后将其连在一起；(4)校核校核 (a)反力校核：反力校核： 0Y0M(b)内力校核：内力校核： 若若AB段内除有分布荷载段内除有分布荷载 q(x) 外，还有集中荷载和集外，还有集中荷载和集中力偶，则上式应改写为中力偶，则上式应改写为 iixxQABBAipixxQABQBAMdxxFMMFdxxqFFBABA(3-3)上式中上式中Fp方向方向，M 。 (b)内力校核：内力校核： BABAxxQABBAxxQABQBAdxxFMMdxxqFF(3-2)例例3 3 如图示两跨连续梁，求使该梁的负弯矩与正弯矩峰值如图示两跨连续梁，求使该梁的负弯矩与正弯矩峰值相等的铰相等的铰D D
18、的位置。的位置。 解解 (1) 设铰设铰D距支座距支座B的距离为的距离为x时，该两跨连续梁的负弯矩时，该两跨连续梁的负弯矩与正弯矩峰值相等。与正弯矩峰值相等。 (2)作层叠图，如图作层叠图，如图(b)所示。所示。 (3) 作作M图图，寻求最大负弯，寻求最大负弯矩和最大正弯矩。矩和最大正弯矩。 22)(22qlxxxlqqxMBBC段中点的正弯矩段中点的正弯矩 8)(8)2(2822xlqxlqlMqlMB中MB=qlx/2q(l-x)2/8ql2/8(c)(4) 求铰求铰D的位置的位置得得 llx1716.083MBq(l-x)/2q8)(22xlqqlx令令MB=qlx/2q(l-x)2/8
19、ql2/8(c)D BACll(a)q(b)x2max086. 0qlM若改用若改用双跨简支梁双跨简支梁，如图，如图(e)所示。所示。 其其 M图如图图如图(f)所示所示两者的最大弯矩的比值是两者的最大弯矩的比值是 %8 .68125. 0086. 022qlql 一般而言，多跨静定梁比连续简支梁省材料，但构一般而言，多跨静定梁比连续简支梁省材料，但构造要复杂些。造要复杂些。 (f)0.125ql20.125ql20.086ql2(d)0.086ql20.086ql20.1716l(5) 最终的最终的M图如图图如图(d)所示。所示。 0.086ql2(d)0.086ql20.086ql20.1
20、716l(e)llq例例4 用最简捷的方法绘出图示多跨静定梁的用最简捷的方法绘出图示多跨静定梁的M图。图。 解解40kN.m204lFMpGkN.m40IM33.33kN.m403260JM.67kN.m64403160KMmkN40EMmkN6020EEMM33.3346.67(c)M图图(kN.m)206040A B C D E F G H I J K L2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 210kN/m 50kN.m 10kN 40kN 30kN 30kN(a)(长度单位长度单位:m)(b)层叠图层叠图606010kN/m 50kN.m 60kNFQBEFQEB(d)kN15)521
21、06050(61QBEFkN.m10221022QBECFMBA段：段： mkN302QBEAFM102525505304033.3346.67(c)M图图(kN.m)2060406030550206033.3346.6740(c)M图图(kN.m)1060A B C D E F G H I J K L2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 210kN/m 50kN.m 10kN 40kN 30kN 30kN(a)(长度单位长度单位:m)作业：作业： 刚架是由刚架是由相互相互组成的结构。它的组成的结构。它的是把梁柱形成一个刚性的整体，增大了是把梁柱形成一个刚性的整体，增大了，并使内力分布并使内
22、力分布，此外，还使结构具有较大的，此外，还使结构具有较大的，便于使用。本节的内容学习主要为后面的超静定，便于使用。本节的内容学习主要为后面的超静定刚架分析奠定基础。刚架分析奠定基础。 因刚架中的杆件主要承受弯矩，故有时把刚架中的因刚架中的杆件主要承受弯矩，故有时把刚架中的杆件称为杆件称为。在内力计算时，与前面的梁分析过程。在内力计算时，与前面的梁分析过程相同，只是多了一个内力相同，只是多了一个内力FN 。 下面举例说明。下面举例说明。由由Y=0 得得 由由X=0得得 得由0Y例例5 如图示刚架作内力图。如图示刚架作内力图。 解解 得由0FMAkN604220240412CV得由0XkN8042
23、0AHkN2040CAVVAB杆：杆：BC 杆：杆： 由由X=0 得得由由Y=0得得 得由0FMB0NBCFkN2040CQBCVF 得由0FMBkN.m1602404CBCVM0420AQBAHFkN20ANBAVFkN.m160422042ABAHM20kN/mVAHAFQBAFNBAMBA图图(b)VC40kNFQBCMBCFNBC图图(c)2m 2m20kN/m4mABC题题5图图40kNVCHAVAM图如图图如图(d)所示，采用区段叠加法；所示，采用区段叠加法； M图图(kN.m)图图(d)1601604040FQ图如图图如图(e)所示；所示； FN图如图图如图(f)所示。所示。 F
24、Q图图(kN)图图(e) 806020(4) 校核：校核： B结点满足平衡结点满足平衡条件，如图条件，如图(g)所所示。示。 160kN.m图图(g)20kN20kN160kN.m 20FN图图(kN)图图(f)M图图(kN.m)图图(d)1601604040FQ图图(kN)图图(e)806020FN图图(kN)图图(f)2020kN/mABC40kN解解 得由0FMAlqfVB22得由0YlqfVA22得由0XqfHHAB如图如图(c)所示所示 得由0FMC42qfVflHBB43qfqfHHBA所以HCVCHBVB图图(c)CFBCl/2 l/2qf题题6图图ABEFVBHAVAHB如图如
25、图(d)所示所示 得由0FME4222qffqfHMAEA如图如图(e)所示所示 得由0FMF42qffHMBFBqf 2/4qf 2/4qf 2/4qf2/8VAEAHA图图(d)FNEAMEAFQEAHBVB图图(e)BFFNFBFQFBMFB图图(f)M图图图图(f)M图图qf 2/4qf 2/4qf 2/4qf2/8Cl/2 l/2qfABEF例例7 如图示刚架作内力图。如图示刚架作内力图。 解解 得由0FMAkN75. 84245 . 12412BV 得由0FMBkN25. 74245 . 12412AV得由0XkN2BH如图如图(b)所示，所示， 得由0FMDkN.m35 . 12
26、DAM得由0XkN2QDAF得由0YkN25. 7ANDAVFMDA2kNFNDAFQDA图图(b)VAAD1.5m2kNABD4kN/mC题题7图图(a)4m1.5mVAVBHB 0FMD0YkN.m3424342BBDBHVM8 . 0cos6 . 0sin,0XkN75. 2sin44cosBBNDBVHFkN7cos44sinBBQDBVHF0Y0XkN85. 6sincosBBNBDVHFkN8 . 5cossinBBQBDVHFDHB4kN/mFNDBFQDBMDB图图(c)VBByx B (g)VBxHBFNBDFQBDy弯矩图如图弯矩图如图(d)所示。所示。 M图图(kN.m)
27、 (d)38剪力图如图剪力图如图(e) 所示。所示。 轴力图如图轴力图如图 (f) 所示。所示。 FQ图图(kN) (e)75.82FN 图图(kN) (f)7.252.256.85(4)校核校核，如图，如图(h)所示所示 0X0Y0M全部满足。全部满足。 D7kN7.25kN2kN3kN.m3kN.m (h)2.75kNM图图(kN.m) (d)38FN图图(kN) (f)7.252.756.85FQ图图(kN) (e)75.82解解(1) 求约束反力求约束反力附属部分如图如图附属部分如图如图(b)所示。所示。 0FME由由 得得kN5420CV0X由由 得得 0EH0Y由由 得得 kN20
28、15CEVV4mEB15kN20kN.m20kN.mADCF3m3m4m4m题题8图图VCVAVBHBVC20kN.mCF15kN图图(b)VEHEE基本部分如图如图基本部分如图如图(c)所示。所示。 0FMB由由 得得0X由由 得得 0Y由由 得得 kN25204341EEAVHV0EBHHkN45AEBVVVCF杆杆如图如图(d)所示所示 CVCFFNFCFQFCMFC图图(d)0X由由 得得 0QFCF0Y由由 得得 kN5CNFCVF 0FMF由由 得得0FCMEF杆的杆的E端端如图如图(e)所示所示 E20kN.m15kNVEHE=0MEFFNEFFQEF图图(e)yx0X由由 得得
29、 kN3NEFNFEFF0Y由由 得得 kN4QEFQFEFF 0FME由由 得得kN.m20EFMkN5kN250CEEVVHAEBVAVBHB20kN.mD图图(c)VEHE4mEB15kN20kN.m20kN.mADCF3m3m4m4m0X由由 得得 0Y由由 得得 0FMF由由 得得EF杆的杆的F端端如图如图(f)所示所示 FMEFFQEFFNEFFNFEMFEFQFE图图(f)ExykN3NEFNFEFFkN4QEFQFEFF0520QEFFEFMED杆的杆的E端端如图如图(g)所示所示 E20kN.mVEHE=0FNEDMEDFQED图图(g)xy0X由由 得得 0Y由由 得得 0
30、FME由由 得得kN.m20EDMkN1253ENEDVFkN1654EQEDVFED杆的杆的D端端如图如图(h)所示所示 DFNDEMDEFQDEMEDFQED图图(h)ExyFNED0X由由 得得 kN12NEDNDEFF0Y由由 得得 kN16QEDQDEFF 0FMD由由 得得-100kN.m520QEDDEFM4mEB15kN20kN.m20kN.mADCF3m3m4m4mAD杆杆如图如图(i)所示所示 FNDAVAMDAFQDA图图(i)DA0X由由 得得 0NDAF0Y由由 得得 kN25AQDEVF 0FMD由由 得得-100kN.m4 ADAVMBD杆杆如图如图(j)所示所示
31、 DVBFNDBFQDBMDB图图(j)B0X由由 得得 0QDBF0Y由由 得得 kN45BNDBVF 0FMD由由 得得0DBM4mEB15kN20kN.m20kN.mADCF3m3m4m4m(3)作内力图作内力图 M图图如图如图(k)所示所示 1001002020FQ图如图图如图( l )所示所示 25164 FN图如图图如图(m)所示所示 451235EB15kN20kN.m20kN.mADCF201001002025164 312455100kN.mD12kN100kN.m16kN45kN25kN20kN.mE15kN20kN.m20kN.m12kN16kN3kN4kN20kN.m容易计算：对于容易计算：对于D结点和结点和E 结点结点 0X0Y0M全部满足。全部满足。 EB15kN20kN.m20kN.mADCF