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1、第第1212章章 结构的极限荷载结构的极限荷载12-1 12-1 概述概述12-2 12-2 极限弯矩和塑性铰极限弯矩和塑性铰破坏机构破坏机构静定梁的计算静定梁的计算12-3 12-3 单跨静定梁的极限荷载单跨静定梁的极限荷载12-4 比例加载时有关极限荷载的几个定理比例加载时有关极限荷载的几个定理12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法计算极限荷载的穷举法和试算法12-6 连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载12-7 刚架的极限荷载刚架的极限荷载12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念矩阵位移法求刚架极限荷载的概念1、弹性分析方法、弹性分析方法 把结构当作理想弹性体，用容许应力法计算结构的强度。把
2、结构当作理想弹性体，用容许应力法计算结构的强度。 其强度条件为其强度条件为2、塑性分析方法、塑性分析方法 按极限荷载计算结构强度，以结构进入塑性阶段并最后丧失按极限荷载计算结构强度，以结构进入塑性阶段并最后丧失 承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。强度条件为承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。强度条件为12-1 概述 kumaxKFFumax结构的实际最大应力；结构的实际最大应力；材料的容许应力；材料的容许应力； u材料的极限应力；材料的极限应力； k安全系数。安全系数。F结构实际承受的荷载；结构实际承受的荷载；Fu极限荷载；极限荷载；K安全系数。安全系数。12-1 概述 结构塑性分析
3、中，为简化计算，把材料的应力与应变关结构塑性分析中，为简化计算，把材料的应力与应变关系作合理地简化。简化为系作合理地简化。简化为理想弹塑性理想弹塑性材料。如图所示。材料。如图所示。OA段：材料是理想弹性的，应力段：材料是理想弹性的，应力 与应变成正比。与应变成正比。AB段：材料是理想塑性的，应力不段：材料是理想塑性的，应力不 变，应变可以任意增长。变，应变可以任意增长。CD段：应力减为零时，有残余应段：应力减为零时，有残余应 变变OD。 结构的塑性分析中，叠加原理不再适用。只考虑荷载一结构的塑性分析中，叠加原理不再适用。只考虑荷载一次加于结构，且各荷载按同一比例增加次加于结构，且各荷载按同一比
4、例增加比例加载比例加载。 图图a所示梁的横截面有一对称轴，承受位于对称平面内的所示梁的横截面有一对称轴，承受位于对称平面内的竖向荷载作用。随荷载的增大，梁截面应力变化为竖向荷载作用。随荷载的增大，梁截面应力变化为图图(b)：荷载较小时，弹性阶段，截面应力：荷载较小时，弹性阶段，截面应力S。图图(c)：荷载加大到一定值，最外边缘应力达到屈服极限：荷载加大到一定值，最外边缘应力达到屈服极限S， 对应的弯矩称为对应的弯矩称为屈服弯矩屈服弯矩MSWMsS12-2 极限弯矩和塑性铰破坏机构静定 梁的计算12-2 极限弯矩和塑性铰破坏机构静定 梁的计算图图(d)：荷载再增加，截面由外向内有更多部分的应力为
5、：荷载再增加，截面由外向内有更多部分的应力为S， 其余纤维处于弹性阶段其余纤维处于弹性阶段塑性流动阶段。塑性流动阶段。图图(e)：荷载继续增加，整个截面的应力都达到了屈服极限：荷载继续增加，整个截面的应力都达到了屈服极限S， 弯矩达到了最大弯矩达到了最大极限弯矩极限弯矩Mu。此时，截面弯矩不再增。此时，截面弯矩不再增 大，但弯曲变形可任意增长，相当于在该截面处出现了大，但弯曲变形可任意增长，相当于在该截面处出现了 一个铰一个铰塑性铰塑性铰。塑性铰的特点：塑性铰的特点：(1) 可以承受极限弯矩可以承受极限弯矩Mu。(2) 是单向铰，只沿弯矩的方向转是单向铰，只沿弯矩的方向转动。弯矩减小时，材料恢
6、复弹性，动。弯矩减小时，材料恢复弹性，塑性铰消失。塑性铰消失。12-2 极限弯矩和塑性铰破坏机构静定 梁的计算SSuWM由图由图(e)可推得可推得WS塑性截面系数，受压和受拉部分面积对等分截面轴的静矩之和。塑性截面系数，受压和受拉部分面积对等分截面轴的静矩之和。当截面为当截面为bh的矩形时的矩形时42SbhW 故故S2u4bhM 弹性截面系数为弹性截面系数为62bhW 屈服弯矩为屈服弯矩为S2S6bhM 5 . 1SuMM 对矩形截面梁来说，按塑性计算比按对矩形截面梁来说，按塑性计算比按弹性计算截面的承载能力提高弹性计算截面的承载能力提高50%。12-2 极限弯矩和塑性铰破坏机构静定 梁的计算
7、破坏机构破坏机构结构出现若干塑性铰而成为几何可变体系或瞬变体系。结构出现若干塑性铰而成为几何可变体系或瞬变体系。 静定结构静定结构出现一个塑性铰即成为出现一个塑性铰即成为破坏机构。对等截面梁，塑性铰出现破坏机构。对等截面梁，塑性铰出现在在|M|max处。处。 图图a所示截面简支梁，跨中截面弯所示截面简支梁，跨中截面弯矩最大，该处出现塑性铰时梁成为机矩最大，该处出现塑性铰时梁成为机构如图构如图b。同时该截面弯矩达到极限弯。同时该截面弯矩达到极限弯矩矩Mu。 由平衡条件作由平衡条件作M图如图如c。由由uu4MlFlMFuu求得极限荷载为求得极限荷载为超静定梁超静定梁：具有多余联系，只有出现足够多的
8、塑性铰，才能：具有多余联系，只有出现足够多的塑性铰，才能 使其成为破坏机构。使其成为破坏机构。 图图(a)所示等截面梁，梁在弹性阶所示等截面梁，梁在弹性阶段的弯矩图如图段的弯矩图如图b，截面，截面A的弯矩最大。的弯矩最大。12-3 单跨超静定梁的极限荷载 荷载增大到一定值时，荷载增大到一定值时，A先出现塑先出现塑性铰。如图性铰。如图c，A端弯矩为端弯矩为Mu，变成静，变成静定的问题。此时梁未破坏，承载能力未定的问题。此时梁未破坏，承载能力未达到极限。达到极限。 荷载继续增大，跨中截面荷载继续增大，跨中截面C的弯矩的弯矩达到达到Mu，C截面变成塑性铰。如图截面变成塑性铰。如图d，此时梁成为几何可
9、变的机构，达到极限此时梁成为几何可变的机构，达到极限状态。状态。 按平衡条件作出此时的弯矩图，按平衡条件作出此时的弯矩图，如图如图e所示。所示。uuu24MMlF由图可得由图可得得极限荷载得极限荷载lMFuu612-3 单跨超静定梁的极限荷载 静力法静力法求极限荷载求极限荷载超静定梁超静定梁（1）使破坏机构中各塑性铰处的弯矩都等于极限弯矩；）使破坏机构中各塑性铰处的弯矩都等于极限弯矩；（2）按静力平衡条件作出弯矩图，即可确定极限荷载。）按静力平衡条件作出弯矩图，即可确定极限荷载。 机动法机动法求极限荷载求极限荷载超静定梁超静定梁（1）设机构沿荷载正方向产生任意微小的虚位移如图）设机构沿荷载正方
10、向产生任意微小的虚位移如图d；（2）由虚功方程）由虚功方程22uuuMMlF得极限荷载得极限荷载lMFuu612-3 单跨超静定梁的极限荷载例例12-1 试求图试求图a所示两端固定的等截面梁的极限荷载。所示两端固定的等截面梁的极限荷载。解：此梁出现三个塑性铰即进入极限状态。解：此梁出现三个塑性铰即进入极限状态。 塑性铰出现在最大负弯矩塑性铰出现在最大负弯矩A、B截面及截面及 最大正弯矩最大正弯矩C截面。截面。静力法静力法：作极限状态弯矩图如图：作极限状态弯矩图如图b。 由平衡条件有由平衡条件有uuuMMlabF得极限荷载得极限荷载uu2MablF 机动法机动法：作出机构的虚位移图如图：作出机构
11、的虚位移图如图c。baMblMMaFuuuu得极限荷载得极限荷载uu2MablF 12-3 单跨超静定梁的极限荷载例例12-2 试求图试求图a所示等截面梁在均布荷载作用时的极限荷载所示等截面梁在均布荷载作用时的极限荷载qu。解：此梁出现两个塑性铰即达到极限状态。解：此梁出现两个塑性铰即达到极限状态。 一个塑性铰在一个塑性铰在A处，另一个塑性铰在处，另一个塑性铰在 最大弯矩即剪力为零处。最大弯矩即剪力为零处。静力法：如图静力法：如图b，由，由MA=0，有，有lMlqFBuuR20)2(，0uuuuRSxqlMlqxqFFBx)2(uuxllMq得得最大正弯矩为最大正弯矩为Mu，故有，故有u2u8
12、)2(Mxqlx4142.0解得解得2uu66.11lMq 求得极限荷载求得极限荷载12-4比例加载时有关极限荷载的几个定理比例加载比例加载：作用于结构上的各个荷载增加时，始终保持它们：作用于结构上的各个荷载增加时，始终保持它们 之间原有的固定比例关系，且不出现卸载现象。之间原有的固定比例关系，且不出现卸载现象。荷载参数荷载参数F：所有荷载都包含的一个公共参数。确定极限荷载：所有荷载都包含的一个公共参数。确定极限荷载 实际上就是确定极限状态时的荷载参数实际上就是确定极限状态时的荷载参数Fu。 结构处于极限状态时应同时满足：结构处于极限状态时应同时满足：（1）机构条件。结构出现足够数目的塑性铰而
13、成为机构。）机构条件。结构出现足够数目的塑性铰而成为机构。（2）内力局限条件。任一截面的弯矩绝对值）内力局限条件。任一截面的弯矩绝对值|M| Mu。（3）平衡条件。结构的整体或任一局部仍维持平衡。）平衡条件。结构的整体或任一局部仍维持平衡。12-4比例加载时有关极限荷载的几个定理可破坏荷载可破坏荷载：满足机构条件和平衡条件的荷载，用：满足机构条件和平衡条件的荷载，用F +表示。表示。 （不一定满足内力局限条件）（不一定满足内力局限条件）可接受荷载可接受荷载：满足内力局限条件和平衡条件的荷载，用：满足内力局限条件和平衡条件的荷载，用F -表示。表示。 （不一定满足机构条件）（不一定满足机构条件）
14、1、极小定理、极小定理：极限荷载是所有可破坏荷载中的极小者。：极限荷载是所有可破坏荷载中的极小者。2、极大定理、极大定理：极限荷载是所有可接受荷载中的极大者。：极限荷载是所有可接受荷载中的极大者。3、惟一性定理、惟一性定理：极限荷载只有一个确定值。若某荷载既是可破：极限荷载只有一个确定值。若某荷载既是可破 坏荷载，又是可接受荷载，则该荷载即为极限坏荷载，又是可接受荷载，则该荷载即为极限 荷载。荷载。12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法1、穷举法、穷举法：也称机构法或机动法。列举所有可能的破坏机构，：也称机构法或机动法。列举所有可能的破坏机构， 求出相应的荷载，取其求出相应的荷载，取其最小者最
15、小者即为极限荷载。即为极限荷载。2、试算法、试算法：任选一种破坏机构，求出相应荷载，并作弯矩图，：任选一种破坏机构，求出相应荷载，并作弯矩图， 若满足内力局限条件，则该荷载即为极限荷载；如若满足内力局限条件，则该荷载即为极限荷载；如 不满足，则另选一机构再试算不满足，则另选一机构再试算，直至满足。，直至满足。例例12-3 试求图试求图a所示变截面梁的极限荷载。所示变截面梁的极限荷载。解：此梁出现两个塑性铰即成为破坏解：此梁出现两个塑性铰即成为破坏 机构。除最大负弯矩和最大正弯机构。除最大负弯矩和最大正弯 矩所在的矩所在的A、C截面外，截面突截面外，截面突 变处变处D右侧也可能出现塑性铰。右侧也
16、可能出现塑性铰。12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法1、穷举法、穷举法机构机构1：设：设A、D处出现塑性铰处出现塑性铰3223uuMMlF得得lMFu21机构机构2：设：设A、C处出现塑性铰处出现塑性铰3232uuMMlF得得lMFu5 . 7机构机构3：设：设D、C处出现塑性铰处出现塑性铰23uuMMlF得得lMFu9极限荷载为极限荷载为lMFuu5 . 712-5 计算极限荷载的穷举法和试算法2、试算法、试算法作弯矩图如图作弯矩图如图e。选择机构选择机构1：求得相应的荷载：求得相应的荷载lMFu21 截面截面C的弯矩超过了的弯矩超过了Mu。此机。此机构不是极限状态。构不是极限状态。选择机
17、构选择机构2：求得相应的荷载：求得相应的荷载lMFu5 . 7作弯矩图如图作弯矩图如图f。 所有截面的弯矩均未超过所有截面的弯矩均未超过Mu。此时的荷载为可接受荷载，极限荷此时的荷载为可接受荷载，极限荷载为载为lMFuu5 . 7 图图a所示连续梁只可能出所示连续梁只可能出现某一跨单独破坏的机构如图现某一跨单独破坏的机构如图b、c、d。 也可能由相邻各跨联合形也可能由相邻各跨联合形成破坏机构如图成破坏机构如图e。12-6 连续梁的极限荷载 图图e中至少有一跨在中部中至少有一跨在中部出现负弯矩的塑性铰，这是不出现负弯矩的塑性铰，这是不可能出现的。可能出现的。连续梁的极限荷载计算：只需计算各跨单独
18、破坏时的荷载，取连续梁的极限荷载计算：只需计算各跨单独破坏时的荷载，取 其其最小者最小者即为极限荷载。即为极限荷载。例例12-4 试求图试求图a所示连续梁的极限荷载。各跨分别为等截面的，所示连续梁的极限荷载。各跨分别为等截面的， 其极限弯矩如图所示。其极限弯矩如图所示。12-6 连续梁的极限荷载解：第解：第1跨机构如图跨机构如图b。uu28 . 0MMFaaMFu75. 3第第2跨机构如图跨机构如图c。uuu222MMMaaaFaMFu4第第3跨机构如图跨机构如图d。332uuMMaFFaaMFu33. 3 比较以上结果，按极小定理，第比较以上结果，按极小定理，第3跨首先破坏。极限跨首先破坏。
19、极限荷载为荷载为aMFu33. 312-6 连续梁的极限荷载刚架极限荷载计算时忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。刚架极限荷载计算时忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。uuu222MMMFa 图图a所示刚架，各杆分别为等截面所示刚架，各杆分别为等截面杆，由弯矩图的形状可知，塑性铰只可杆，由弯矩图的形状可知，塑性铰只可能在能在A、B、C（下侧）、（下侧）、E（下侧）、（下侧）、D五个截面出现。五个截面出现。 此刚架为此刚架为3次超静定，只要出现次超静定，只要出现4个个塑性铰或一直杆上出现塑性铰或一直杆上出现3个塑性铰即成个塑性铰即成为破坏机构。可能的机构形式有为破坏机构。可能的机构形式有机构机构1（图（
20、图b）：横梁上出现）：横梁上出现3个塑性铰，个塑性铰， 又称又称“梁机构梁机构”aMFu312-7 刚架的极限荷载穷举法穷举法12-7 刚架的极限荷载机构机构2（图（图c）：）：4个塑性铰出现在个塑性铰出现在A、C、 E、B处，整个刚架侧移，处，整个刚架侧移， 又称又称“侧移机构侧移机构”。 u45 . 1MaFaMFu67. 2机构机构3（图（图d）：塑性铰出现在）：塑性铰出现在A、D、 E、 B处，横梁转折，刚架亦处，横梁转折，刚架亦 侧移，又称侧移，又称“联合机构联合机构”。 uuuu222225 . 1MMMMFaaFaMFu29. 212-7 刚架的极限荷载机构机构4（图（图e）：也
21、称联合机构：右柱向左）：也称联合机构：右柱向左 转动，转动，D点竖直位移向下点竖直位移向下 使较大的荷载使较大的荷载2F作正功，作正功， C点水平荷载点水平荷载F作负功。作负功。 uuuu2225 . 12MMMMaFFaaMFu16若所得若所得F为负值，则需将虚位移反方向。为负值，则需将虚位移反方向。 经分析，无其他可能的机构，按极小值定理取上述经分析，无其他可能的机构，按极小值定理取上述F中中的最小者为极限荷载的最小者为极限荷载aMFuu29. 2实际的破坏机构为机构实际的破坏机构为机构3。试算法试算法12-7 刚架的极限荷载选择机构选择机构2（图（图c）求相应的荷载求相应的荷载F=2.6
22、7Mu/a。作弯矩图如图作弯矩图如图a。D点处弯矩为点处弯矩为uuuu267. 24222MMaFMMMD 不满足内力局限条件，荷载不满足内力局限条件，荷载是不可承受的。是不可承受的。12-7 刚架的极限荷载选择机构选择机构3（图（图d）求相应的荷载求相应的荷载F=2.29Mu/a。作弯矩图如图作弯矩图如图b。结点结点C处两杆端弯矩为处两杆端弯矩为MCuuu29. 242222MFaaFMMMCuu42. 0MMMC 满足内力局限条件，此机构即为满足内力局限条件，此机构即为极限状态，极限荷载为极限状态，极限荷载为aMFuu29. 212-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念矩阵位移法适合电算，能
23、解决更复杂的求极限状态的问题。矩阵位移法适合电算，能解决更复杂的求极限状态的问题。增量法或变刚度法增量法或变刚度法从弹性阶段开始，每步增加一个塑性铰，并把该处改为铰结；从弹性阶段开始，每步增加一个塑性铰，并把该处改为铰结；求出下一个塑性铰出现时荷载的增量，直到成为机构，便可求求出下一个塑性铰出现时荷载的增量，直到成为机构，便可求得极限荷载。得极限荷载。（1）令荷载参数）令荷载参数F=1加于结构，用矩阵位移法进行弹性阶段计加于结构，用矩阵位移法进行弹性阶段计 算，其弯矩为算，其弯矩为M1。第一个塑性铰必出现在第一个塑性铰必出现在 处处min1uMM此时荷载值为此时荷载值为min1u1MMF 弯矩
24、为弯矩为111MFM 12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念（2）将第一个塑性铰处改为铰结，结构降低了一次超静定，）将第一个塑性铰处改为铰结，结构降低了一次超静定，相相 应地修改总刚。令应地修改总刚。令F=1进行第二轮计算（弹性），求得弯进行第二轮计算（弹性），求得弯 矩为矩为M2。第二个塑性铰必出现在第二个塑性铰必出现在 处处min21uMMM 此时荷载值为此时荷载值为min21u2MMMF弯矩为弯矩为222MFM第一、二轮累计第一、二轮累计212FFF212MMM12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念（3）将第二个塑性铰处改为铰结，结构又降低了一次超静定，）将第二个塑性铰处改为铰结，结
25、构又降低了一次超静定， 然后修改总刚。令然后修改总刚。令F=1作第三轮计算，求得弯矩为作第三轮计算，求得弯矩为M3。第三个塑性铰出现时荷载及弯矩值为第三个塑性铰出现时荷载及弯矩值为min32u3MMMF333MFM累计荷载及弯矩值为累计荷载及弯矩值为323FFF323MMM12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念（4）如此重复进行下去）如此重复进行下去，若到第，若到第n 轮，总刚成为奇异轮，总刚成为奇异矩矩 阵，则结构已成为机构，上一轮的累计荷载值阵，则结构已成为机构，上一轮的累计荷载值Fn-1即为即为 极限荷载极限荷载Fu。注意注意：每步计算都应计算各塑性铰处的相对转角，若发生：每步计算都应
26、计算各塑性铰处的相对转角，若发生 反方向变形，则恢复为刚结计算。反方向变形，则恢复为刚结计算。人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说古人说“书中自有黄金屋。书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进鼓舞我们前进。