第三章力学量用算符表达课件.ppt

《第三章力学量用算符表达课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章力学量用算符表达课件.ppt（80页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、代表对波函数进行某种运算或变换的符号代表对波函数进行某种运算或变换的符号 u = v 表示表示 把函数把函数 u 变成变成 v， 就是这种变就是这种变 换的算符。换的算符。1）du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用就是算符，其作用 是对函数是对函数 u 微商，微商， 故称为微商算符。故称为微商算符。2）x u = v， x 也是算符。也是算符。 它对它对 u 作用作用 是使是使 u 变成变成 v。由于算符只是一种运算符号，所以它单独存由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义

2、，例如：对波函数做相应的运算才有意义，例如：算符定义算符定义3.1 算符的运算规则算符的运算规则 )()(dxdxdxdxxdxdxdxd 原原式式() sincos cos ddxxxxxxxdxdxxxxcos2sin xxsin)( 22() ?ddxxdxdx设波函数设波函数，求，求 解：解： 例题例题 1（1 1）线性算符）线性算符(c11+c22)= c11+c22其中其中c1, c2是任意复常数，是任意复常数， 1, 1是任意两个波函数。是任意两个波函数。满足如下运算规律的满足如下运算规律的 算符算符 称为线性算符称为线性算符（2 2）算符相等）算符相等 若两个算符若两个算符 、

3、对体系的任何波函数对体系的任何波函数 的运算结果都相的运算结果都相 同，即同，即= ，则算符，则算符 和算符和算符 相等记为相等记为 = 。是是线线性性算算符符。单单位位算算符符动动量量算算符符Iip 例如：例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。例题例题 2指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。 2224dxdx 2 nK 1 ； ； 解：2224dxdx是线性算符是线性算符2222212

4、2212222211222221122244 )(4)(4)(4 udxdxcudxdxcucdxdxucdxdxucucdxdx 2 不是线性算符不是线性算符22221122222121212122211 2 ucucucuuccucucuc nK 1是线性算符是线性算符 NKNKNKNKnKucucucucucuc12211112211112211（3 3）算符之和）算符之和 若两个算符若两个算符 、 对体系的任何波函数对体系的任何波函数 有：有： ( + ) = + = 则则 + = 称为算符之和。称为算符之和。显然，算符求和满足交换率和结合率。显然，算符求和满足交换率和结合率。之之和和

5、。势势能能算算符符和和体体系系动动能能算算符符等等于于算算符符表表明明VTHHamiltonVTH 例如：体系例如：体系Hamilton 算符算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 - - = = + + （- -）。）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。很易证明线性算符之和仍为线性算符。（4 4）算符之积）算符之积若若 ( ) = () = 则则 = 其中其中是任意波函数。是任意波函数。一般来说算符之积不满足一般来说算符之积不满足 交换律，即交换律，即 这是算符与通常数运算这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。规则的唯一不同之处。（

6、5 5）对易关系）对易关系若若 ，则称，则称 与与 不对易。不对易。不不对对易易。例例如如：算算符符 xxipx xxxxiixpx )() 1 (证证：显然二者结果不相等，所以显然二者结果不相等，所以:ixppxixppxxppxxxxxxx 所所以以是是任任意意波波函函数数，因因为为）（而而 xxxxiixixp )() 2 (对易对易关系关系 izppziyppyzzyy与与共共轭轭动动量量满满足足同同理理可可证证其其它它坐坐标标算算符符000000000 zxxzyzzyxyyxyyxxzzxxzzyyppppppppppppzppzzppzyppyyppyxppxxppxzyxppp

7、pixppx,0 量子力学中最基本的量子力学中最基本的 对易关系。对易关系。对对易易。与与对对易易，而而与与对对易易，与与不不对对易易；与与对对易易，但但是是与与对对易易，与与zpzpppIIxpxpppIxyyxxyyx)()(若算符满足若算符满足 = - ， 则称则称 和和 反对易。反对易。写成通式写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。对易，各动量之间相互对易。注意：注意： 当当 与与 对易，对易， 与与 对易，不能推知对易，不能推知 与与 对易与否。对易与否。例如：例如：（6 6）对易括号）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子为了表

8、述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号：对易括号： , - 这样一来，这样一来， 坐标和动量的对易关系坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：可改写成如下形式：不难证明对易括号满足如下对易关系：不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) , = - , 2) ,+ = , + , 3) , = ,+ , 4) , + , + , , = 0 上面的第四式称为上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。恒等式。 ipx ,例题例题 3, ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( ), ( )xxxxpxx

9、pxx pxixxixxxixixixxxxixxpxix （1）2222, ( ), ( ) , ( )()()xxxxxxxxpxppxpx ppiipxxipxx （2）,zyxzpxpzpzpy 角动量算符的对易关系角动量算符的对易关系,zxyzyxpxpzpzpyLL 证：证：yxzxzyLiLLLiLL, 同同理理,zxyzxzpxpzpzpxpzpy ,zyxyzzxzpxpzpzpzpxpypzpy zyxLiLL, yzzyzxxzppxzpxpzppzypzpy , , yzxzppxzpzpy , yzyzxzxzppxzppzxpzpyppyz , , , , yxpi

10、xpiy)()( xypypxi zLi zyxCivitaLeviLiLL,3211,123或或，其其中中其其意意义义如如下下：符符号号，称称为为合合记记之之： （7 7）逆算符）逆算符1. 1. 定义定义: : 设设= , = , 能够唯一的解出能够唯一的解出 , , 则可定义则可定义 算符算符 之逆之逆 -1-1 为为: : -1-1 = = 并不是所有算符都存并不是所有算符都存 在逆算符在逆算符, ,例如投影例如投影 算符就不存在逆算符就不存在逆. .2.2.性质性质 I: I: 若算符若算符 之逆之逆 -1-1 存在存在, ,则则 -1-1 = = -1-1 = I = I , ,

11、, , -1-1 = 0 = 0 证证: = : = -1-1 = = -1-1 ( ) = ( ) = -1-1 因为因为是任意函数是任意函数, ,所以所以 -1-1 = I = I成立成立. . 同理同理, , -1-1 = I = I 亦成立亦成立. .3.3.性质性质 II: II: 若若 , , 均存在逆算符均存在逆算符, , 则则 ( )( )-1-1 = = -1-1 -1-1nnFnxxFn!)0(0)()( 设给定一函数设给定一函数 F(x), F(x), 其各阶导数均存在其各阶导数均存在, , 其幂级数展开收敛其幂级数展开收敛则可定义算符则可定义算符 的函数的函数 F()F

12、()为为: :nnFnUUFn)(!)0(0)( ninntHitHe!10 算符算符 的复共轭算符的复共轭算符 * *就是把就是把 表达式中表达式中 的所有量换成复共轭的所有量换成复共轭. .piip*)(* 例如例如: : 坐标表象中坐标表象中（8 8）算符函数）算符函数是是两两个个任任意意函函数数。和和式式中中定定义义为为：的的转转置置算算符符算算符符 *UdUdUUxx 1 ：例例 xdx*证证：利用波函数标准条件利用波函数标准条件: : 当当|x| |x| 时时, 0 0。0)(* xxdxxxxx 0)(xxpp 由于由于、是是 任意波函数任意波函数, , 所以所以 * xdx x

13、dx*|* xdx*同理可证同理可证: :ABBA)( 可可以以证证明明：（1010）转置算符转置算符(11)(11)厄密共轭算符厄密共轭算符 *)(*OdOd *)(*OdOd由此可得：由此可得：:转置算符转置算符 的定义的定义*OO 厄密共轭厄密共轭 算符亦可算符亦可 写成：写成：算符算符 之厄密共轭算符之厄密共轭算符 + + 定义定义: :可以证明可以证明: ( )+ = + + + ( .)+ = . + + + *)(* Od * Od *Od(12) (12) 厄密算符厄密算符1. 定义定义: 满足下列关系满足下列关系 的算符称为的算符称为 厄密算符厄密算符.OOOdOd*)(*

14、或或 2. 性质性质性质性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符两个厄密算符之和仍是厄密算符。 即即 若若 + = , + = 则则 (+)+ = (+) 性质性质 II: 两个厄密算符之积一般不是两个厄密算符之积一般不是厄密厄密 算符算符, 除非二算符对易。除非二算符对易。 因为因为 ( )+ = + + = 仅当仅当 , , = 0 成立时成立时, ( )+ = 才成立。才成立。 *)(*OdOd指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。例题例题 4224 dxddxdidxd，不是厄米算符不是厄米算符，当当解：解：dxddxdxddxdxddxdxddxdxdxdxdxddxdxd *)(

15、 *)( * * 00 * * * - *()*dOdO是厄米算符是厄米算符dxdidxdxdidxdxdidxdxdiidxdxdi *)( *)( * * * - 2-222222222* *4 4* 4 * 4 44 4* (4)* 4dddddxdxdxdxdxdxdddddxdxdxdxdxdxdddxdxdxdxddx 是厄米算符例题例题 5证明证明 是厄米算符。是厄米算符。xp*()()()xxpdidxidxidxidxpd 所以所以xp是厄米算符，同理是厄米算符，同理ypyp p都是厄米算符都是厄米算符AB证明：如果算符证明：如果算符和和都是厄米的，那么都是厄米的，那么也是厄

16、米的也是厄米的AB+（） dBdAdBA2*12*12*1)( dBdA*)(*)(1212 dBA*)(12证：证： 也是厄米的。也是厄米的。AB+（）例题例题 6问下列算符是否是厄米算符：问下列算符是否是厄米算符：例题例题 7xpx ) (21xppxxx dpxdpxxx)( ) (2*12*1 dxpdpxxx2121*)(*)（ xxp xxpxpx 解：解： 因为因为 不是厄米算符。不是厄米算符。 dxpdpxdxppxxxxx2*12*12*1) (21) (21) (21 dpxdxpxx2*12*1) (21)(21 dxppxxx2*1) (21 dpxxpxx2*1) (

17、21 ) (21xppxxx 是厄米算符。是厄米算符。 定理定理I I：体系任何状态：体系任何状态下，其厄密算符的平均值下，其厄密算符的平均值必为实数必为实数。证：证： FdF* *)(Fd* Fd*F 逆定理：在任何状态下，平均值逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄密算符。均为实数的算符必为厄密算符。根据假定在任意态下有根据假定在任意态下有：证：证： *)(*FdFdFF即即取取=1 1+c+c2 2 ，其中，其中 1 1 、2 2 也是任意态的波函数，也是任意态的波函数，c c 是任意常数。是任意常数。 )(*)(*2121 cFcdFd式式左左 *)(Fd式式右右 21122

18、2211*)(*)(*|* FdcFdcFdcFd 211222211*|* FdcFdcFdcFd *)(2121 ccFd 211222211*)(*)(*)(|*)( FdcFdcFdcFd因为对任因为对任 意波函数意波函数*FF 211222211*)(*)(*|* FdcFdcFdcFd 211222211*|* FdcFdcFdcFd左式左式=右式右式 21122112*)(*)(* FdcFdcFdcFdc*)(*)(*12122121 FdFdcFdFdc令令c = 1，得：，得： 12122121*)(*)(* FdFdFdFd令令c = i，得：，得：*)(*)(*1212

19、2121 FdFdFdFd二式相加得：二式相加得： 2121*)(* FdFd二式相减得：二式相减得：1212*)(* FdFd 所得二式正是厄密算符的定义式，所得二式正是厄密算符的定义式， 故逆定理成立。故逆定理成立。实验上的可观测实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，都是实数，因此相应的算符必须因此相应的算符必须 是厄密算符。是厄密算符。所以左右两边头两项相等相消，于是有：所以左右两边头两项相等相消，于是有：例1：dxxdxx*)(x（ 为实数） *()xxpdxpdx例2：动量算符为厄密算符2( )2xpHV xm例3：证明Hamilton为

20、厄密算符综上所述综上所述：表示力学量的算符必为线性、厄密算符， 但线性厄密算符不一定是力学量算符。所以明确厄米算符的基本性质是讨论力学量的理论基础。所以明确厄米算符的基本性质是讨论力学量的理论基础。11221122()A ccc Ac A*()dAdA表示力学量的算符必为线性厄密算符。表示力学量的算符必为线性厄密算符。力学量的算符为线性厄密算符力学量的算符为线性厄密算符 当我们试图用算符表示力学量时，首先注意到：力当我们试图用算符表示力学量时，首先注意到：力学量的测量值都是实数值，而算符只表示对态函数的某学量的测量值都是实数值，而算符只表示对态函数的某种作用，并不代表数值，只有算符本征态的本征

21、值才是种作用，并不代表数值，只有算符本征态的本征值才是一个确定的数值。进一步说，只有厄米算符本征态的本一个确定的数值。进一步说，只有厄米算符本征态的本征值才是一个确定的实数值。这提示我们，力学量的值征值才是一个确定的实数值。这提示我们，力学量的值只可能与厄米算符的本征值相联系。于是提出假设：只可能与厄米算符的本征值相联系。于是提出假设：量量子力学中每一个力学量可以用一个线性厄米算符来表示，子力学中每一个力学量可以用一个线性厄米算符来表示，状态用线性厄米算符的本征态表示。状态用线性厄米算符的本征态表示。（1 1）涨落）涨落 dFFFFF222)(*)()( FF因为是厄密算符因为是厄密算符必为实

22、数必为实数因而因而FF 也是厄密算符也是厄密算符厄密算符平方的平均值一定大于等于零厄密算符平方的平均值一定大于等于零 22*FdF0|)( |)(222 dFFdFF FFd*)( 2| Fd0 于是有：于是有：（2 2）力学量的本征方程）力学量的本征方程若体系处于一种特殊状态，若体系处于一种特殊状态， 在此状态下测量在此状态下测量F F所得结果所得结果 是唯一确定的，即：是唯一确定的，即：0)(2 F则称这种则称这种 状态为力状态为力 学量学量 F F 的的 本征态。本征态。 常常数数或或 FFF0)(nnnFF 可把常数记为可把常数记为Fn，把状态，把状态 记为记为n，于是得：，于是得：其

23、中其中F Fn n, , n n 分别称为算符分别称为算符 F F的本征值和相应的本征态的本征值和相应的本征态，上式即是，上式即是算符算符F F的本征方程的本征方程。求解时，。求解时， 作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。证明：证明：3.2 厄米算符的本征值与本征函数厄米算符的本征值与本征函数定理定理1 1：厄密算符的本征值必为实。：厄密算符的本征值必为实。 当体系处于当体系处于 F F 的本征态的本征态n n 时，则每次测量结果都是时，则每次测量结果都是 F Fn n 。由由

24、本征方程可以看出，在本征方程可以看出，在n n（设已归一）态下（设已归一）态下证证（3 3）量子力学基本假定）量子力学基本假定 nnFdF * nnndF *nF 是是实实数数。所所以以必必为为实实，nFF根据上节定理根据上节定理 I测量力学量测量力学量F F时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符 F F的本征值的本征值 F Fn n（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符 F F的本征方程给出：的本征方程给出：,2,1 nFFnnn 定理定理II: 厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交厄密算符属

25、于不同本征值的本征函数彼此正交证：mmmnnnFFFF 设设存存在在并并设设积积分分 dnn*)*(mmmFF 取复共轭，并注意到取复共轭，并注意到 F Fm m 为实。为实。两边右乘两边右乘 n 后积分后积分 dFdFnmmnm*)( dFdFdFnmnnmnm*)(二式相二式相减减 得：得：0*)( dFFnmnm若若FmFn，则必有：，则必有：0* dnm 证毕证毕 微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。状态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。 当体系处于力学量算符当体系处于力学

26、量算符 的本征态时，力学量的本征态时，力学量 具具有确定值。这种确定的关系可以表示为：有确定值。这种确定的关系可以表示为： FF 量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算符的本征态及本征值。但必须随时注意：符的本征态及本征值。但必须随时注意：力学量算符的力学量算符的本征态可能不止一个。本征态可能不止一个。 zLi 本征方程为：imLizln)(mLzimmCe)(可解出：(2 )imimeem波函数单一性要求：，必须是整数。, 2, 1, 0m即：，是量子化的分立谱。本征值mLz202*12Cd利用归一化条件：imme21)(：得归一化的本征波函

27、数), 2, 1, 0(m 的本征值和本征函数的本征值和本征函数zli 例例1:例例2:动量分量动量分量 的本征值和本征函数的本征值和本征函数xPix xiPx本征方程为：/( )xxiPPxCe可解出：若粒子位置不受限制若粒子位置不受限制,则则 可以取一切实数可以取一切实数,是连续是连续变化的变化的.xP是平面波是平面波,不能归一化不能归一化./( )xxiPPxCe例例3: 一维自由粒子的能量本征值和本征函数一维自由粒子的能量本征值和本征函数2222Emx本征方程为：一维自由粒子的一维自由粒子的Hamilton量量2222/ 22HPmm x 其本征函数可以取为其本征函数可以取为:( ),

28、2/0ikxExekmE相应能量本征值为相应能量本征值为:22/ 20Ekm二重简并二重简并 大致可分为三类：大致可分为三类： （1）连续谱连续谱本征值可取任何实数值。如自由粒子的坐标本征值可取任何实数值。如自由粒子的坐标和动量的本征值谱；和动量的本征值谱； （2）带谱带谱本征值被限定在某些区域，本征值被限定在某些区域， 例如固体中的能带；例如固体中的能带； （3）分立谱分立谱本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在束本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在束缚态下的能谱。缚态下的能谱。 重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或或 分分立谱记为立谱记为 。对应的

29、本征函数分别记为。对应的本征函数分别记为 及及 。力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，。力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而出现若干个（如而出现若干个（如 f 个）本征态对应一个本征值，称这种个）本征态对应一个本征值，称这种情况为情况为 f 度简并。度简并。,43211xFxxFx), 2 , 1(nn,n力学量算符的本征值被称为力学量算符的本征值被称为力学量谱力学量谱或或本征值谱本征值谱下列函数哪些是算符下列函数哪些是算符22dxd的本征函数，其本征值是什么？的本征函数，其本征值是什么？2xxexsinxcos3xxcossin ， ， ，2)(222 xdxd2x22dx

30、d 解：解： 不是不是的本征函数。的本征函数。xxeedxd 22xe22dxd 是是的本征函数，其对应的本征值为的本征函数，其对应的本征值为1。xxdxdxdxdsin)(cos)(sin22 22(3cos )( 3sin )3cosddxxxdxdx )cos(sincossinsin(cos)cos(sin22xxxxxxdxdxxdxd ） 例题例题 8试求算符试求算符dxdieFix 的本征函数的本征函数 解：解：F的本征方程为的本征方程为FF ln( )ixixixixiFedieFdxdiFedxdiFedxxCe即（FF是的本征值）的本征值）例题例题 9(4) 简并情况简并情

31、况上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。如果如果 F F 的本征值的本征值F Fn n是是f f度简并的，则对应度简并的，则对应F Fn n有有f f个本征函数：个本征函数：n1n1 , ,n2 n2 , ., , ., nfnf 满足本征方程：满足本征方程：fiFFninni, 2 , 1 一般说来，这些函数一般说来，这些函数 并不一定正交。并不一定正交。可以证明由这可以证明由这 f f 个函数可以线性组合成个函数可以线性组合成 f f 个独立的新函数，个独立的

32、新函数，它们仍属于本征值它们仍属于本征值 F Fn n 且满足正交归一化条件。且满足正交归一化条件。但是但是证证明明由这由这 f 个个n i 线性组合成线性组合成 f 个新函数个新函数 n jfjAnijifinj, 2 , 11 可以满足正交归一化条件：可以满足正交归一化条件：fjjdAAdj jinniijjififijnnj,2,1,*11 证明分证明分如下两如下两步进行步进行1. 1. nj nj 是本征值是本征值 F Fn n 的本征函数。的本征函数。2. 满足正交归一条件的满足正交归一条件的 f 个新函数个新函数n j可以组成。可以组成。nijifinjAFF 1nijifiFA

33、1 nijifinAF 1njnF 1. 1. njnj是本征值是本征值F Fn n的本征函数。的本征函数。2. 满足正交归一条件的满足正交归一条件的f个新函数个新函数nj可以组成。可以组成。fjjdAAdj jinniijjififijnnj,2 , 1,*11 方程的归一化条件有方程的归一化条件有 f f 个，正交条个，正交条 件有件有f(f-1)/2f(f-1)/2 个，所以共有独立方个，所以共有独立方 程数为二者之和等于程数为二者之和等于 f(f+1)/2f(f+1)/2 。fjAnijifinj, 2 , 11 为此只需证明线性为此只需证明线性 叠加系数叠加系数 A Aji ji 的

34、个的个 数数 f f 2 2 大于或等于大于或等于 正交归一条件方程正交归一条件方程 个数即可。个数即可。算符算符 F F 本征值本征值 F Fn n简并的本质简并的本质是：是： 当当 F Fn n 确定后还不能唯一的确定状确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，另外一个或几个力学量算符，F F 算算符与这些算符两两对易，其本征值符与这些算符两两对易，其本征值与与 F Fn n 一起共同确定状态。一起共同确定状态。综合上述讨论可得如下结论：综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化既然厄密算符本征函

35、数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时， 都是正交归一化的，即组成正交归一系。都是正交归一化的，即组成正交归一系。因为因为 f f2 2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0， 所以，方程个数少于待定系数所以，方程个数少于待定系数 A Aji ji 的个数，因而，我们的个数，因而，我们有多种可能来确定这有多种可能来确定这 f f 2 2 个系数使上式成立。个系数使上式成立。f f 个新函个新函数数njnj 的确是算符的确是算符 F F 对应于本征值对应于本征值 Fn F

36、n 的正交归一化的正交归一化的本征函数。的本征函数。3.3.1 3.3.1 测不准关系的严格推测不准关系的严格推导导由上节讨论表明，当体系处于力学量由上节讨论表明，当体系处于力学量A A的本征态时的本征态时, ,若若对它测量对它测量, ,则可以得到一个确切值则可以得到一个确切值, ,即相应的本征值即相应的本征值, ,而而不会出现涨落。不会出现涨落。在在A A的这个本征态下的这个本征态下, ,如去测量另一个力学量如去测量另一个力学量B,B,是否是否也可以得到一个确定的值也可以得到一个确定的值? ?不确定度：不确定度：测量值测量值 F Fn n 与平均值与平均值 的偏差的大小。的偏差的大小。（1

37、1）测不准关系的严格推导）测不准关系的严格推导仍仍为为厄厄密密算算符符。为为厄厄密密算算符符，则则偏偏差差证证明明：若若FFFFI .FFFFFFFF*) （）（证：证：3.3 共同本征函数共同本征函数IIII 测不准关系的严格推导测不准关系的严格推导设二厄密算符对易关系为：设二厄密算符对易关系为：k iFGGF 是算符或是算符或普通数普通数的的辅辅助助积积分分：引引入入实实参参量量、为为求求二二量量不不确确定定度度 GF 0|)(2 dGiFI dGiFGiF* dGiFGiF)*(*)( dGGdFGidGFidFF)(*)()(*)()(*)()(*)(2 dGGdFGidGFidFF)

38、(*)(*)(*)(*2 dGdFGGFidF222)(*)(* dGdFGGFidFI222)(*)(*)( GFFGGF ，GGFF ，GFFGFF， GFGF， k iGF ，最后有：最后有： dGdkiidFI222)(*)(*)( 0)()()(222 GkFI 对任意实数对任意实数 均成立均成立由代数二次式理论可知，该不等式成由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：立的条件是系数必须满足下列关系：4)()()(222kGF 两个不对易两个不对易算符均方偏算符均方偏差关系式差关系式测不准关系测不准关系 dkk* 均方偏差均方偏差22)()(FFF 其中：其中：

39、222FFFF 222FFFF 222FFFF 22FF 22()()21,2kFGFGF G 坐标和动量的测不准关坐标和动量的测不准关系系222( )()()4kFG k iGF ，4)222 xxpxipx（，22)22 xxpxpx简简记记之之：（或或写写成成：表明：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，表明：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大。另一就越大。测不准关系测不准关系: :总之，若两个力学量总之，若两个力学量F和和G不对易，则一般说来不对易，则一般说来 和和 不能同时为零，不能同时为零，即即F与与G不能同时测定，或者说它们不能有共同本征态，反之，若两个

40、厄不能同时测定，或者说它们不能有共同本征态，反之，若两个厄密算符对易，则可以找出这样的态，使密算符对易，则可以找出这样的态，使 和和 ，即可找到它们，即可找到它们的共同本征态。的共同本征态。 FG0F0G（2）两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件如果力学量如果力学量 F F 有确定值，有确定值， （x x）必为）必为 F F 的本征态，即的本征态，即 F如果有另一个力学量如果有另一个力学量 G G 在在 态中也有确定值，态中也有确定值， 则则 必也是必也是 G G 的一个本征态，即的一个本征态，即 G结论：结论：当在当在 态中测量力学量态中测量力学量 F F 和和 G G 时，

41、如果同时具有确定值，时，如果同时具有确定值，那么那么 必是必是 二力学量共同本征函数。二力学量共同本征函数。思考题：思考题： 1、若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时、若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时 具有确定值？具有确定值？2、若两个厄米算符不对易，是否一定都没有共同本征态？、若两个厄米算符不对易，是否一定都没有共同本征态？3、若两个厄米算符有共同本征态，是否它们就彼此对易？、若两个厄米算符有共同本征态，是否它们就彼此对易？ 两算符对易的物理含义 GF FG FGFGFG0)( GFFGGFFG所以所以0)( GFFG？是特定函数，是特定函数， 非任意函数也！非任意函数也

42、！例如：例如：0, zxLLl = 0 = 0 的态，的态，Y Y l l m m = Y= Y0000 L Lx x L Lz z 同时有确定值。同时有确定值。但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。考察前面二式：考察前面二式： G F定理：若两个力学量算符有一组共同完备定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。的本征函数系，则二算符对易。证：证：,3,2,1 nGGFFnnnnnn 已已知知：由于由于 n n 组成完备系，所组

43、成完备系，所以任意态函数以任意态函数 (x) (x) 可以可以按其展开：按其展开：)()(xcxnnn 则则nnncFGGFxFGGF )()()(nnnFGGFc )( nnnnnnnGFFGc )( nnnnnFGGFc )( 因为因为 (x) (x) 是任意函数是任意函数0 FGGF所所以以0 逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同的本征函数。有组成完备系的共同的本征函数。证：证：考察：考察：nnnFF nnnnGG nnnFFG一一样样，本本征征值值亦亦为为与与的的一一个个本本征征函函数数，也也是是即即 )( n n 也是

44、也是 G G 的本征函数，同理的本征函数，同理 F F 的所有本征函数的所有本征函数 n n （ n = 1n = 1，2 2， ) )也也都是都是 G G 的本征函数的本征函数, ,因此二算符具有共同完备的本征函数系因此二算符具有共同完备的本征函数系. .,0nnFFFGGF本本征征值值为为的的任任一一本本征征函函数数为为设设 仅考虑非简并情况仅考虑非简并情况即：即：nGF nnnGFFG )()(nnnGFGF 与与 n n 只差只差一常数一常数 G Gn n定理：定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。系的充要条件是这组算

45、符两两对易。例例 1 1： .,)2(1)(,2/3zyxrpipzyxppperppp同同时时有有确确定定值值：共共同同完完备备本本征征函函数数系系：两两两两对对易易；动动量量算算符符： 例例 2 2： .,)1(,),()()(,22mllEYrRrLLHnlmnlnlmz同同时时有有确确定定值值：共共同同完完备备本本征征函函数数系系：两两两两对对易易；氢氢原原子子中中： 3.3.2 的共同本征态的共同本征态,球谐函数球谐函数2( , )zll由于角动量的三个分量不对易由于角动量的三个分量不对易,一般无共同本征态一般无共同本征态,但由于但由于 因此可以找出因此可以找出 与与 任何一个分量的

46、共同本征态任何一个分量的共同本征态.2, 0(, , )allax y z2l采用球坐标采用球坐标:2222222211sinsinsin1sinsinsinzll 由于由于2, 0zll2l的本征函数可以同时也取为的本征函数可以同时也取为 的本征态的本征态zl1( ),0, 1, 2,2immem 此时此时 的本征函数已分离变量的本征函数已分离变量,即令即令2l( , )( ) ( )Y 带入本征方程带入本征方程22( , )( , )l YY 2是是 的本征值的本征值, 无量纲无量纲, 待定待定2l221(sin)()00sinsinddmdd 令令 ,则则cos22222(1)2()01

47、ddmdd 连带Legendre方程其解其解: 当当 有一个多项式解有一个多项式解(1),0,1,2.l ll( ),mlPml本征方程：本征方程：利用正交归一性公式，可以定义一个归一化的利用正交归一性公式，可以定义一个归一化的部分的波函数（实）：部分的波函数（实）：(21)()!( )( 1)(cos ),2()!,1,1,mmlmlllmPlmml lll 这样这样, 的正交归一的共同本征函数表示为的正交归一的共同本征函数表示为:2(, )zll21()!( , )( 1)(cos )4()!mmimlmlllmYPelm 称为球谐函数称为球谐函数,它们满足它们满足:lmY22(1)0,1

48、,2,1,1,lmlmzlmlml Yl lYl Ym Ylml lll 对应一个对应一个 l l 值，值，m m 取值为取值为 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, ., 3, ., l l 共共 (2 (2 l l +1) +1)个个值。因此当值。因此当l l 确定后，尚有确定后，尚有(2 (2 l l +1) +1)个磁量子状态不确定。个磁量子状态不确定。换言之，对换言之，对应一个应一个l l值有值有(2 (2 l l +1) +1)个量子状态，这种现象称为简并，个量子状态，这种现象称为简并，l l 的简并度是的简并度是 (2 (2 l l +1) +1) 度。度。由于量子数由于量子

49、数 l l 表征了角动量的大小，表征了角动量的大小， 所以称为角量子数；所以称为角量子数；m m 称为磁量子数。称为磁量子数。的本征值为：的本征值为：2(1)l l 2l的本征值为：的本征值为：zlm由角动量对易关系：由角动量对易关系： 1,1,yzzyzyxxzyLLLLiLLiLLiLL 代入平均值公式：代入平均值公式： dYLLLLYiLlmyzzylmx1* dYLLYidYLLYilmyzlmlmzylm11* dYLYLidYLLYilmylmzlmzylm)(1)(1* dYLYmidYLYmilmylmlmylm11*0 yyLimLim同理：同理：0 yL证明在证明在 L L

50、Z Z 本征态本征态 Y Ylmlm 下，下，L = = = 0 = 0例题例题 10利用测不准关系证明，在利用测不准关系证明，在 L Lz z 本征态本征态 Y Ylm lm 下，下，L Lx x= = L Ly y= 0= 0证：证：22224)xzyxzyLLLLiLL （，由于在由于在 L Lz z 本征态本征态 Y Ylm lm 中，测量力学量中，测量力学量 L Lz z 有有确定值，所以确定值，所以L Lz z 均方偏差必为零，即均方偏差必为零，即0)2 zL（则测不准关系：则测不准关系：222224040)xxyLLL （平均值的平方平均值的平方为非负数为非负数欲保证不等式成立，