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1、关于量子力学第三章算符与力学量的关系第一张，PPT共二十一页，创作于2022年6月一、厄米算符的本征函数的完全性一、厄米算符的本征函数的完全性1.1.复习复习3.13.1的两个假定的两个假定假定假定1 1：量子力学中的每个力学量用一个线性厄米算：量子力学中的每个力学量用一个线性厄米算 符表示。符表示。假定假定2 2：算符：算符 的本征值集合即是测量体系力学量的本征值集合即是测量体系力学量 可能得到的所有量值；体系处在可能得到的所有量值；体系处在 的属于本的属于本 征值征值 的本征态的本征态 时，测力学量时，测力学量 ，得到，得到 确定值确定值 。第二张，PPT共二十一页，创作于2022年6月
2、但是在任意态但是在任意态 中（非中（非 的本征态），此时的本征态），此时 与与代表的力学量的代表的力学量的 关系如何？这需引进新的假设，适关系如何？这需引进新的假设，适合于一般情况，且不能与合于一般情况，且不能与假定假定2相抵触相抵触，应包含它。，应包含它。第三张，PPT共二十一页，创作于2022年6月2.完全性：完全性：若若 是满足一定条件是满足一定条件 的厄米算符，的厄米算符，且它的正交归一的本征函数系且它的正交归一的本征函数系 、对应的本征值为对应的本征值为 、，则任一函数，则任一函数 可以可以按按 展为级数：展为级数：式中式中 是与是与x无关的展开系数。我们称本征函数无关的展开系数。我
3、们称本征函数 的这的这种性质为完全性，或者说种性质为完全性，或者说 组成完全系。组成完全系。（1）第四张，PPT共二十一页，创作于2022年6月说明：说明：展开系数展开系数 以以 左乘左乘 ，且对，且对x的的整个区域积整个区域积分有分有即：即：（2）第五张，PPT共二十一页，创作于2022年6月表示力学量的算符是厄米算符，不管它是否满足完全性关表示力学量的算符是厄米算符，不管它是否满足完全性关系要求的条件，都可以直接将数学上证明过的定理拿来就用，系要求的条件，都可以直接将数学上证明过的定理拿来就用，即即假定力学量算符本征函数的正交归一系具有完全性。假定力学量算符本征函数的正交归一系具有完全性。
4、第六张，PPT共二十一页，创作于2022年6月3.展开系数展开系数 的物理含义：的物理含义：设设 为归一化的波函数，则根据为归一化的波函数，则根据 是正是正交归一化的完全函数系，有：交归一化的完全函数系，有：因左边是总几率，所以因左边是总几率，所以 有几率的意义。有几率的意义。即：即：第七张，PPT共二十一页，创作于2022年6月3.1的假定的假定2 例：若例：若 是算符是算符 的一个本征态，例如的一个本征态，例如按假设按假设2，在该态中测得，在该态中测得 的几率是的几率是 ，其中，其中 也可由（也可由（2）式求得。）式求得。由此特例同样可以看出由此特例同样可以看出 具有几率的意义，即具有几率
5、的意义，即 表表示了在示了在 态中测量力学量态中测量力学量 得到的结果是得到的结果是 的本征的本征值值 的几率，于是称的几率，于是称 为几率振幅。为几率振幅。则：则：第八张，PPT共二十一页，创作于2022年6月二、基本假设（力学量与算符的关系）二、基本假设（力学量与算符的关系）假设假设3：在：在 （是是 的本征函数）描写的的本征函数）描写的态中，测量体系的力学量态中，测量体系的力学量 得到得到 的几率是的几率是 ，其中，其中 。综合假设综合假设1-3，可得一个基本假定（基本原理），即，可得一个基本假定（基本原理），即量子力学中关于力学量与算符关系的基本假设量子力学中关于力学量与算符关系的基本
6、假设：第九张，PPT共二十一页，创作于2022年6月基本假设的正确性同薛定谔方程一基本假设的正确性同薛定谔方程一样，由整个理论与实验结果符合而样，由整个理论与实验结果符合而得到验证。得到验证。完完全全性性关关系系第十张，PPT共二十一页，创作于2022年6月解释：解释：即：即：(同理可得二、三维的结果同理可得二、三维的结果)第十一张，PPT共二十一页，创作于2022年6月三、平均值公式三、平均值公式 在在 所描写的状态中，所描写的状态中，在在 态的统计平均态的统计平均值（由几率求平均值）为值（由几率求平均值）为 证明：证明：(假定假定 )第十二张，PPT共二十一页，创作于2022年6月说明说明
7、：a.a.当当 的本征值构成连续谱时，的本征值构成连续谱时，为：（假为：（假定定 已归一）已归一）证明：证明：第十三张，PPT共二十一页，创作于2022年6月b.以上证明中假定以上证明中假定 已正交归一化，对没有正交已正交归一化，对没有正交归一化的波函数：归一化的波函数：第十四张，PPT共二十一页，创作于2022年6月四、推广四、推广 若若 的本征值的组成中既有分立谱又有连续谱，的本征值的组成中既有分立谱又有连续谱，则以上结果可表示为：则以上结果可表示为：完全性关系：完全性关系：为在为在 态中测态中测 得得 的几率；的几率；其中：其中：；为在为在 态中测态中测 得得 在范围内的在范围内的几率；几率；第十五张，PPT共二十一页，创作于2022年6月说明：当说明：当 时为连续谱情况；时为连续谱情况；时为分立谱的情况；时为分立谱的情况；，时时为一般情况。为一般情况。平均值公式：平均值公式：；第十六张，PPT共二十一页，创作于2022年6月第十七张，PPT共二十一页，创作于2022年6月第十八张，PPT共二十一页，创作于2022年6月第十九张，PPT共二十一页，创作于2022年6月第二十张，PPT共二十一页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看第二十一张，PPT共二十一页，创作于2022年6月