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1、山东财政学院统计与数理学院1.3.1 余子式与代数余子式余子式与代数余子式1.3.1.1()1ijijijijn nDaaijnDaM在阶行列式中，将元素所在的 第 行和第 列划去，剩下元素按原来相对位置所 构成的阶行列式，称为 中元素 的， 记为定义余子式( 1),( 1)ijijijijijijijijaMaDAAM 的余子式前冠以符号后，称为在中的，记为即代数余子式山东财政学院统计与数理学院11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa例如：11131432212324414344aaaMaaaaaa1113143 2322123244
2、14344( 1)aaaAaaaaaa 的代数余子式32a 的余子式32a 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一注个代数余子式山东财政学院统计与数理学院304503 ,22221D练习：求 和 的代数余子式。山东财政学院统计与数理学院1.3.2 行列式按某一行（列）展开行列式按某一行（列）展开()1.3.1ijnDa行列式按行（列）展开阶行列式等于它的任意一行（列）中各元素与其对应的代数余子式乘积定理的和，即.分三种情况证明，我们只对行证证明此定理明11221122(1,2, )(1,2, )iiiiininjjjjnjnjDa Aa Aa AinDa Aa Aa Ajn或山东财政学院统计
3、与数理学院11112122212000nnnnnDaaaaaaaa（1）首先讨论行列式 的第一行的元素除0外，其余都为 的情形；2 32(1)112( 1)nnNj jjjnjDa aa由行列式定义， 中仅含有如下形式的项2 32()112( 1)nnN j jjjnjaaa2 32()211( 1)nnN j jjjnjaaM其中恰是的一般项.1 1111111111111( 1)Da MaMa A所以，山东财政学院统计与数理学院11111000ijjnijnnjnnDiaaaaaaaa（2）其次讨论行列式 的第 行的元素除0外，其余都为 的情形；1,1,1,1000ijijijnjn jn
4、naaaDaaai1i21j1j 212( 1)( 1)ijijijijijijDDa Ma A 山东财政学院统计与数理学院111211212000000niiinnnnnaaaDaaaaaa （3）一般情形；2Dn进而，可将 展成 个象情形（ ）的行列式之和.山东财政学院统计与数理学院111111111110000jnjniijnnjnnnnjnnaaaaaaaaDaaaaaa1111100jninnnjnnaaaaaaa1122iiiiinina Aa Aa A山东财政学院统计与数理学院3321900211.3.1 按第三行展开，计算行列式例11221122()01.3.2()0 ()ij
5、isisinsnjtjtnjntnDaa Aa Aa Aisa AaAa Ajt 异乘变零定理阶行列式的某一行（列）的所有元素与另一行（列）中对应元素的代数余子式乘积的和等于零，即定理山东财政学院统计与数理学院11,0,0,ijnijsjjnijitiDaDisa AisDjta Ajt 对于行结列式总112527254 计算行练列式习山东财政学院统计与数理学院1211121212221212121 122()( ,1,2, )1.3.3ijijnnnnnnijijijijinnjDaDbnnccccccDD DccccDiDjca ba ba bi jn 行列式相乘规则 设与是两个阶行列式，
6、则它们的乘积也可表示为一个 阶行列式，即其中为的第 行元素与的第 列相应元素乘积的和，即定理山东财政学院统计与数理学院1.3.3 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）定理）定理k1、 阶子式的余子式和代数余子式2,ijnDakkknkDkkM在 阶行列式中，任意选定 行 列（1），位于这些行和列交叉处的个元素按原来的次序构成一个 阶行列式称为行列式定义1的一个. .2子式.3阶.DkkknkNM在 中划去 行 列后，余下的元素按原来的次序构成一个阶子式的余子式阶行列式，称为，记为 山东财政学院统计与数理学院1212121212() ()12() (), ,kkkkkiiijjjkiiijjjk
7、MDi iijjjMnkNkAAM如果 阶子式在 中所在的行标和列标分别为和则在的余子式前添加符号(-1)后，所得到的阶阶子式的代数行列式，称为，记为 ，即(-1)余子式山东财政学院统计与数理学院2434M 3214224342152341DD 四阶行列式如果选定第二、四行，第二、三列，可确定 的一例如个二阶子式为M的余子式和代数余子式分别为3445N =(2 4) (2 3)3445A =(-1)山东财政学院统计与数理学院()(2)11 .1.3.4ijn nDakknkkD 拉普拉斯定理 在阶行列式中，任意取定 行（列）（），由这 行（列）元素组成的所有 阶子式与它们的代数余子式乘积的和等于行列式定理3123520001411.3.22030D 用拉普拉斯定理计算行列式例