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1、DOI :10. 16169( ： )， /z (X)在 a， 6连续，在 （ a， 6)上可导，则至少存在一点 (a， 6)，使得 /(a) g(a) h(a) f(b) g(b) h(b) =0 ， (:) h 1 (X、 证明 作辅助函数 FOc ), /(a) g(a) h(a) 令 Fix)= f(b) g(b) h(b) /(x) g(x) h(x) 、收稿日期 :2009 12 01 作者简介：朱智和 (I960 ），男，浙江上虞人，副教授 . 第 10期 朱智和：微分中值定理在解题中的若干应用 113 由行列式的性质即知， )=尸 (6) = 0.又显然 (x)在 a， 6上连
2、续，在 （ a， Z?)内可导，根据求导 法则及罗尔定理知， 6 (a, 6)，使得： Fa) /(a) g(a) h(a) f(b) gb) h(b) ra) g （：） h 1 (X) 0. 证毕 .特别地： 若令 /z (x) 若令 (X )= 若令 /z (X )= 从而可得柯西定理 : 1， g (x) = X， x 6 (a， 6 )， /(a ) = /(Z?)，就可得到罗尔定理的结论 :/ (S) = 0. 1, g(x) = x, x G (a, b),可 以 得 到 拉 格 朗 日 中 值 定 理 = / ( = ) . I， g (x) 尹 0, x 6 ( a， 6 )
3、，则有： /(a) g (a) fib) g(b) 1=0, / （ g （。 fib) f(a ) _ /,( ： ) g(b) g(a) g () 这样三个中值定理就很好地联系在一起，它特别用到辅助函数法，恰到好处地处理了三者的关系：罗 尔定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广 . 1.2 几何意义上的相互联系 再从几何意义上阐述三个中值定理的联系 .首先看 Lagrange定理的几何解释 (弦线法 ） . 如图 1(a)， 假定可导函数 /(x)的曲线上任一点的切线为 T， 现将必固定，让切线的切点从 d向 5变 动，可以发现总存在一条切线 T， 它与割线 M
4、是平行的，这种平行性质在高等数学中可用 Lagrange定理来 反映 .Lagrange定理建立了函数 /(x)在仏 6上平均变化率 /(3 (整体性质）与该函数在（仏 )内 某点处导数 /(） (局部性质）之间的联系，即表明函数在一个区间上的平均变化率等于函数在该区间上 某一瞬时变化率，从而为利用导数解决函数整体性质问题提供了可能性 .当然，定理只指出了（的存在性， 没有提供确定值的方法 . 在 Lagrange定理中，若两端点的纵坐标相 等（图 1 (b)， 此时在曲线弧必上至少有一点 L在该点处曲 线切线是水平的，这正是 Rolle定理的几何解释 . 在 Cauchy中值定理中，如果把图
5、 1(c)中的曲线用参数方程表示 ： X = 那么弦淑的斜率就是 , 丨 _y=/(，） fgHfy而 就是曲线上某点的切线斜率（图 1(c),这样 Cauchy定理与 Lagrange定理就有着相 同的几何解释了在曲线上至少存在一条切线平行于端点的连线三个微分中值定理正是这一几何特 征在不同条件 (主要是曲线方程的不同）下分析表述的结果，微分学三个中值定理由一条曲线串在一起， 其内在联系清晰了 . 2 微分中值定理的应用 微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要地位，是研宄函数在 某个区间整体性的有 114 绍兴文理学院学报 (自然科学） 第 29卷 力工具 .它架起了沟通函数与
6、导数之间的桥梁，应用十分广泛 .下面例举几个它在解一些较为典型的数学 问题中的应用 . 2.1利用几何意义解题 由上面可以得出 Lagrange定理几何意义处于特别重要的地位，另外两个定理的几何意义可由它改变 条件而得到 .下面着重利用 Lagrange定理几何意义 (通常称弦线法）来进行一些题目的思考和解答 . 例 1设 /Oc )是可微函数 ,导函数 /Oc)严格单调递增，若 /(a ) = /(6 ), (a 0)上可导 ,/ c)单调递增，且 /(0) = 0,则 函 数 在 ( 0 , a ) X 上单调递增 . 证明：对任意的 XI， X2 e (0, a )，且 X1 X2,则
7、/(X)在 0, XI和 XI， X2 均满足拉格朗日中值定理，于 是分别存在 ci e ( , xi )， & e (xi， 心 )，使 r 7 N /(xi) /(0) , f(x2) f(x / ( C l ) = A-0， （ C 2 ) = x2-A . 由于 / (x )单调递增，且 /(0) = 0,所以 / (Ci ) 為 (6 a ). e 证明：对函数 ln2x在 a, 6上应用拉格朗日中值定理，得： rcb YC a = (6 a ), a (p(e2 )， 即 t r 116 绍兴文理学院学报 (自然科学） 第 29卷 将它代入 ( e e *)式，故得 In2 6 _
8、，试求 lim心 . 例 9 己知心 = :, J n (n I ) J n i n - r D J n ( n 3) J n (n + n) n 解 :设 /(x) = 2 /，对 /(x)在区间 Gz (n + A:)， w ( + A: + 1 ) 上用拉格朗日中值定理得： 故 当 A: = 0, 1， 2 J n (n k I) 2 J n (n k) n (n k l) 一 n (n k) 1 G (n (n -r k) n (n k D). 2 + A： +1 -2 n + k J n (n k l) n n ， 一 1时，共有 n个不等式，将这 n个不等式相加得： 1 , 1 ,
9、 1 , , 1 n(n I) n(n 2) n(n 3) J n (n n) (n k) 2h-2 即： 从而 (n l) (2n + 1) an C 2J2 _ 2C -i= J n 0C 2J2 2 a n 由极限存在准则知 Xman = 2J2 2. w -* 上面求数列极限问题时，主要用到了如辅助函数法、递推法和累加法，关键是辅助函数的建立，所以在 应用微分中值定理时，一要仔细观察，适当变换待证求的式子 ;二要认真分析，巧妙构造辅助函数，抓住这 两点一般就可顺利完成任务 . 3结语 微分中值定理架起了沟通函数与导数之间的桥梁，可用于计算、证明、判定等，灵活性较大，应用中值 定理解题时
10、一般要遵循以下三个基本步骤 :a.根据所给问题的特点，确定或构造辅助函数 /Oc)(与 g Oc) 及相应的区间 a， 6 ; b.验证 /(x)(与 g (X)在 a， 6上满足中值定理的条件 ;c.应用中值定理及已知条 件解答问题 .其中步骤 a是关键，通常也是难点所在 ;步骤 b则比较容易；步骤 c是综合运用能力的考验 . 以上仅是微分中值定理应用的一部分内容，随着研宄的深入，将会得到更多有用的结论，微分中值定 理必将会发挥更大的作用 . 参考文献： 1王湘平 .拉格朗日中值定理的变式 Cl .四川理工学院学报（自然科学版 ),2009, 22 (3 )25 27. 2毛俊超 ,任行者，
11、邱华 .高微分中值定理的教学研宄 D .高师理科学刊 ,2009, 29(3 ): 85 8. 3刘文武 .两个微分中值定理证明中辅助函数作法探讨 Cl .数学的实践与认识 ,2005, 35(8):242 247. 4王宝艳 .微分中值定理的应用 Cl .雁北师范学院学报 ,2004, 21 (20)59 61. 5周焕芹 .浅谈中值定理在解题中的应用 Cl .高等数学研宄， 1999, 2 (3 ): 29 32. 6李文亮 .关于拉格朗日中值定理与中间值的唯一性 Cl .数学通报， 1992, 4:36 37. 7华东师范大学数学系 .数学分析 (上册 ） Ik .北京 :高等教育出版社 ,2001:118 125.