2022年北师大版专题验收评估数列与数学归纳法名师精编单元测试 .pdf-淘文阁

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1、名校名师推荐1 专题验收评估 (三) 数列与数学归纳法(时间： 120 分钟满分： 150 分) 一、选择题 (本大题共10 小题，每小题4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1 (2017 江西赣江调研 )已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a418a5，则 S8 () A18 B36 C54 D72 解析：选 D数列an为等差数列， a4a5 18，由等差数列的性质得a4a5 a1a818，S8a1a88272. 2(2017 昆明模拟 )已知数列 an是等差数列，若a2，a4 3，a66 构成公比为q 的等比数列，则q() A1 B2 C

2、3 D4 解析：选 A设等差数列 an的公差为d，则 a2a42d，a66a42d6，所以 (a42d)(a42d6)(a43)2，化简得 (2d3)20，解得 d32，所以 qa43a2a22d3a21. 3(2017 郑州模拟 )张丘建算经卷上第22 题为：“今有女善织，日益功疾初日织五尺，今一月日织九匹三丈”其意思为今有女子善织布，且从第2 天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5 尺布，现在一个月(按 30 天计 )共织 390 尺布则该女最后一天织多少尺布？() A18 B20 C21 D25 解析：选 C依题意得，该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为 a

3、n，其中 a15，前 30 项的和为390，于是有30 5a302390，解得a3021，即该女最后一天织 21 尺布，故选C. 4(2018 届高三福建六校联考 )已知 an是公差为1 的等差数列， Sn为an的前 n 项和，若 S84S4，则 a10() A.172B.192C10 D12 解析：选 B公差为 1，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 名校名师推荐2 S88a18 81218a128，S44a16. S84S4

4、，8a1284(4a16)，解得 a112， a10a19d129192.故选 B. 5(2017 沈阳调研 )用数学归纳法证明“n3(n1)3(n 2)3(nN*)能被 9 整除”，利用归纳法假设证明nk1 时，只需展开 () A(k3)3B(k2)3C(k1)3D(k1)3 (k2)3解析：选 A假设 nk 时，原式 k3(k1)3(k2)3能被 9 整除，当nk 1 时， (k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k3)3展开，让其出现k3即可6已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a2 12，a3a54，则下列说法正确的是() Aan是单调递减数列BSn

5、是单调递减数列Ca2n是单调递减数列DS2n是单调递减数列解析：选 C由于an是等比数列，则a3a5a244，又 a212，则 a40，所以 a42，q216，当 q66时，an和Sn不具有单调性，选项A 和 B 错误； a2na2q2n21216n1单调递减，选项C 正确；当 q66时， S2n不具有单调性，选项D 错误7(2017 杭州模拟 )在正项等比数列an中， 2 2为 a4与 a14的等比中项，则2a7a11的最小值为 () A16 B8 C6 D4 解析：选 B因为an是正项等比数列，且22为 a4与 a14的等比中项，所以a4a148a7a11，则 2a7a112a78a7

6、22a78a78，当且仅当a72 时，等号成立，所以2a7a11的最小值为8，故选 B. 8(2017 江西吉安一中模拟)已知等差数列an的各项均为正数，a11，且 a3，a452，a11成等比数列若pq10，则 apaq() A14 B15 C16 D17 解析：选 B设等差数列 an的公差为 d，由题意分析知d0，因为 a3，a452，a11成等精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 名校名师推荐3 比数列，所以a4522a3a1

7、1，即723d2(12d) (1 10d)，即 44d2 36d450，所以d32d1522舍去，所以 an3n12，所以 apaq32(pq)15. 9(2018 届高三豫南十校联考 )设 f(x)是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的x，yR，都有 f(x) f(y) f(xy)若 a112，anf(n)(n N*)，则数列 an的前 n 项和 Sn的取值范围是 () A.12，2B.12，2C.12，1D.12，1解析：选 C在 f(x) f(y)f(xy)中，令 xn，y1，得 f(n1)f(n)f(1)，又 a112，anf(n)(nN*)，则 an112an，所以数列 a

8、n是首项和公比都是12的等比数列，其前n 项和Sn12 112n112112n12，1 ，故选 C. 10(2017 湖南长沙一中月考)已知数列 an满足12a122a2n2ann n122，则对于任意的正整数n，下列关系式不成立的是() Aa1a2a2a3 anan1an1anB.1a11a21an12anan1C.a112a222ann254D.a11a22ann1 解析：选 D在12a122a2n2ann n122中令 n1，解得 a11，且当 n2 时，有12a122a2 n12an1n n122，两式相减得1an n(n2)，故 an1n(n2)，当 n1 时，此式也成立，故数列

9、 an的通项公式为an1n.因而，a1a2a2a3anan1112123 1n n111212131n1n1nn1an1an，选项 A 中的等式成立 .1a11a21an精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 名校名师推荐4 12nn n1212anan1，选项 B 中的等式成立.a112a222ann21131231n31131123 1n1 n n1 1 1211212 3 1n 1 n121231341n n1112121n n1

10、5412n n 10，公差d0.若 a1a260，a2a3100，则 5a1a5的最大值为 _，取到最大值时d_，a1 _. 解析：由题意可得点 (a1，d)满足a10，d0，a1a22a1d 60，a2a32a13d100，对应的平面区域是如图所示的以点A 0，1003，B(20,20)，C(30，0)，O(0,0)为顶点的四边形(不包含坐标轴上的点)，又 5a1a56a14d，故经过 B 点，即 a1d20 时， 5a1a5取得最大值200. 答案： 2002020 13已知数列 an是等比数列， a1，a2，a3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何

11、两个都不在同一列，则q_，an_(nN*). 第一列第二列第三列精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 名校名师推荐5 第一行1102 第二行6144 第三行9188 解析：观察题中的表格可知a1，a2，a3分别为 2,6,18，即 an是首项为2，公比为3 的等比数列， an2 3n1. 答案： 32 3n114(2017 台州模拟 )已知数列 an的前 m(m4)项是公差为2 的等差数列，从第m1项起， am1，am，am1，成公

12、比为2 的等比数列若a1 2，则 m_， an的前 6 项和 S6_. 解析：由题意，得am1a1(m2)d2m 6，am 2m4，则由amam12m42m62，解得 m4，所以数列 an的前 6 项依次为 2,0,2,4,8,16，所以 S628. 答案： 428 15(2017 云南昆明质检)在平面直角坐标系上，有一点列：P1，P2， Pn， (nN*)，设点Pn的坐标为 (n，an)，其中an2n(nN*)，过点Pn，Pn1的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为bn，设 Sn表示数列 bn的前 n 项和，则S5_. 解析：由题意得，过点Pn， Pn1的直线为y2nxn2n12nn1

13、n，即 2xn(n1)y2(2n1)0.令 y0，得 x2n1，令 x0，得 y2 2n1n n1，所以 bn12(2n 1)2 2n1n n141n n141n1n1，所以 S5451121213 15161256. 答案：125616 (2017 兰州模拟 )已知数列 an的前 n项和为 Sn，且1S11S21Snnn 1.设 bn12an，数列 bn的前 n 项和为 Tn，若对一切nN*，均有Tn1m，m26m163，则实数m的取值范围是 _解析：当 n1 时，1S112，当 n2 时，1Snnn1n1n1n n1，当 n 1 时也成立，所以 Snn(n1)，nN*，则 a12，an

14、SnSn12n，n 2，当 n 1 时也成立，所以精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 名校名师推荐6 an2n，nN*.则 bn12an14n，数列 bn是等比数列，所以其前n 项和 Tn14 114n114114n314，13，所以1m14，m26m16313，解得 m0，且 a 1)的图象上一点，等比数列an的前 n 项和为 f(n)c，数列 bn(bn0)的首项为c，且前n 项和Sn满足： SnSn1SnSn1(n2)(1)求

15、数列 an和bn的通项公式；(2)若数列 cn的通项 cnbn13n，求数列 cn的前 n 项和 Rn. 解： (1) f(1)a13，f(x)13x，a1f(1)c13c，a2f(2)cf(1)c29，a3f(3)cf(2)c227. 又数列 an成等比数列， a1a22a34812272313c，c1. 又公比 qa2a113， an2313n1 213n(nN*) SnSn1( SnSn1)(SnSn1)SnSn1(n2)，bn0， Sn0， SnSn11，数列Sn构成一个首项为1，公差为1 的等差数列，Sn1(n1)1n，Snn2. 当 n2 时， bnSnSn1n2(n1)22n1，

16、又 b1c2111 满足 bn2n1， bn2n1(nN*)(2)cnbn13n(2n1) 13n， Rnc1c2c3cn113131325133(2n1)13n，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 名校名师推荐8 13Rn113231335134(2n3)13n(2n1)13n1.由得，23Rn13213213313413n(2n1)13n1，化简得，23Rn132132113n1113(2n1)13n1232 n1313n， R

17、n1n13n. 20(本小题满分15 分)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，a223a7 2，且1a2，S2 3，S3成等比数列， nN*. (1)求数列 an的通项公式；(2)令 bn2anan2，数列 bn的前 n 项和为 Tn，若对于任意的n N*，都有 8Tn22 5成立，求实数的取值范围解： (1)设等差数列 an的公差为 d，由a223a72，S2321a2 S3，得a121d 3 a16d 2，2a1d3 a1d 3a13d，即2a13d2，a1d 2a1d6 0，解得a12，d2，或a125，d25.当 a125，d25时，S2 3175没有意义， a12，d2，此时

18、an22(n1)2n. (2)bn2anan212n n2141n1n2. Tnb1b2b3 bn141113141214141315141416141517141618 141n11n1141n1n2141121n 11n238141n11n2. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 名校名师推荐9 8Tn321n11n23，为满足题意，必须225 3， 12或 3. 21(本小题满分15 分)在数列 an中， a11，a2103，

19、an1103anan10(n2，且nN*)(1)若数列 an1an是等比数列，求实数；(2)求数列 an的通项公式；(3)设 Sni1n1ai，求证： Sn0，由 an3an113n1(n2)，得 an3an1，1an131an1(n2)，Sn1a11a21a31an 1a1131a11a21a31an11a1131a11a21a31an 11an13an 1a113Sn，Sn32. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 名校名师推

20、荐10 22(本小题满分15 分)(2017 绍兴模拟 )已知数列 an满足， a11，an1an112. (1)求证： an23；(2)求证： |an1an|13；(3)求证： |a2nan|1027. 证明： (1)由已知得 an11an12，又 a11，则 a223，a367，a41419，猜想23an1. 下面用数学归纳法证明当 n1 时，命题显然成立；假设 nk 时，有23an1 成立，则当 nk1 时， ak11ak12123121，ak11ak12111223，即当 nk1 时也成立，所以对任意nN*，都有23an1. (2)当 n1 时，|a2a1|13；当 n2 时， an1

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