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1、圆锥曲线大题题型归纳梳理圆锥曲线大题题型归纳梳理圆锥曲线中的求轨迹方程问题圆锥曲线中的求轨迹方程问题解题技巧解题技巧求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型， 求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。【例 1.】已知平面上两定点M( (0, ,2), ),N( (0, ,2), ),点P满足MPMN PN MN , ,求点P的轨迹方程。x2 y21上运动，过P作y轴的垂线，垂足为Q，点M满足【例 2.】已知点P在椭圆41PM PQ, ,求动点M的轨迹方程。3【例 3.】已知圆A: :( (x2) ) y 36, ,B( (2, ,0), ),点P是圆A上的动点，线段
2、PB的中垂线交22PA于点Q，求动点Q的轨迹方程。y21相交于A, ,B两点，求AB中点M的轨迹方【例 4.】过点( (0, ,1) )的直线l与椭圆x 42程。巩固提升巩固提升1. 在平面直角坐标系xOy中，点A0, ,1, ,B0, ,4, ,若直线2x ym0上存在点P,使得PA 1PB, ,则实数m的取值范围为_.22. 已知P4, ,2, ,Q为圆O: : x y 4上任意一点， 线段PQ的中点为M, ,则OM的取值22范围为_.3. 抛物线C : : y 4x的焦点为F, ,点A在抛物线上运动，点P满足AP 2FA, ,则动点P的轨迹方程为_.4. 已知定圆M : : x ( (y
3、 4) ) 100, ,定点F( (0, ,4), ),动圆P过定点F且与定圆M内切， 则动圆圆心P的轨迹方程为_.5. 已知定直线l : : x 2, ,定圆A: :( (x4) ) y 4, ,动圆H与直线l相切，与定圆A外切，则动圆圆心H的轨迹方程为_6. 直线l : :tx y3t 3 0与抛物线y 4x的斜率为 1 的平行弦的中点轨迹有公共点，则实数t的取值范围为_.7. 抛物线x 4y的焦点为F, ,过点M( (0, ,1) )作直线l交抛物线于A, ,B两点， 以AF, ,BF为邻边作平行四边形FARB, ,求顶点R的轨迹方程。2222222x2y21相交于A, ,B两点，O为坐
4、8. 在平面直角坐标系xOy中， 已知直线l与椭圆C : :2412标原点。（1）若直线l的方程为x2y6 0, ,求OAOB的值；（2）若OAOB 12, ,求线段AB的中点M的轨迹方程。直线过定点问题直线过定点问题解题技巧解题技巧证明动直线在一定的条件下过定点是解析几何中的一类重要题型,这类问题解题一般有两种解法.法 1 设直线，求解参数；法2 求两点，猜定点，证向量共线。x2y21【例一】已知椭圆C : :221a b 0的半焦距为c，离心率为，左顶点A到直线ab2a2x 距离为 6，点P, ,Q是椭圆上的两个动点。c（1）求椭圆C的方程；（2）若直线AP AQ,求证：直线PQ过定点R，
5、并求出R点的坐标。【例二.】已知一动圆经过点M2, ,0,且在y轴上截得的弦长为 4，设该动圆圆心的轨迹为曲线C。（1）求曲线C的方程；（2）过点N1, ,0任意作两条互相垂直的直线l1, ,l2，分别交曲线C于不同的两点A, ,B和D, ,E,设线段AB, ,DE的中点分别为P, ,Q.求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；求PQ的最小值。巩固提升巩固提升1. 设椭圆E : :x2a2 y2b2且过点 1 a b 0 的右焦点到直线x y 2 2 0的距离为 3， 1, , 6 。 2 （1）求E的方程；（2）设椭圆E的左顶点是A，直线l : : x my t 0与椭圆E交于不同的两点
6、M, ,N（均不与A重合） ，且以MN为直径的圆过点A。试判断直线l是否过定点，若是，求出定点坐标；若否，说明理由。2. 椭圆C : :x2a2 y2b2 1 a b 0 的上顶点为B，右焦点为F，点B, ,F都在直线3x y 3 0上。（1）求椭圆C的标准方程；（2）M, ,N为椭圆C上的两点，且直线BM, ,BN的斜率之积为点，并求定点坐标。3. 抛物线C : : y2 2px p 0 上一点M 1, , y0 y0 0 满足MF 2，其中F为抛物线的焦点。（1）求抛物线C的方程；（2）设直线MA和MB分别与抛物线C交于不同于M点的A, ,B两点，若MA MB，证明：直线AB过定点，并求此
7、定点的坐标。4. 已知直线l的方程为y x 2，点P是抛物线y2 4x上距离直线l最近的点，点A是抛物线上异于点P的点， 直线AP与直线l交于点Q， 过点Q与x轴平行的直线与抛物线交于点B。（1）求P点的坐标；（2）证明：直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标。1，证明：直线MN过定4圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题【例 1.】设抛物线C : y x,直线l经过点且与抛物线交于A、B两点，证明：（2,0）2OAOB为定值。3x2y2，A(a,0),B（0，b),O(0,0),AOB的【例 2.】椭圆C :221(a b 0)离心率2ab面积为 1.（1）求椭圆C的方程；（2）设P为C上一
8、点，直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证：AN BM为定值。巩固提升巩固提升1. 已知椭圆C : :x2a2 y2b2 1 a b 0 的离心率为2，且过点2 2, ,1。 （1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的动点， 过P作斜率为222的直线l交椭圆C于A, ,B两点， 求证：2PA PB为定值。2. 已知点F 1, ,0 ，直线l : : x 1, ,P为平面上的动点， 过P作直线l的垂线， 垂足为点Q，且QP QF FP FQ。（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C与A, ,B两点，交l于点M，若MA 1AF, ,MB 2BF，求1 2的值。3
9、.已知抛物线C : : y2 2px经过点P 1, ,2 过点Q 0, ,1 的直线l与抛物线C有两个不同的交点A, ,B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N。（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）设O为原点，QM QO, ,QN QO，求证：4.已知椭圆E : :1 1为定值。x2a2 y2b2 1 a b 0 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 3 个顶点，直线l : : y x 3与椭圆E有且只有一个公共点T。（1）求椭圆E的方程及点T的坐标；（2）设O为坐标原点，直线l 平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A, ,B，且与直线l交于点P，证明：存在常数，使得PT5.在平面直角
10、坐标系xOy中， 椭圆C : :2 PA PB，并求的值。x2a2 3 右焦点为F 1, ,0 ， 1 a b 0 过点 1, , ，2 2 by2过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A, ,B两点，点B关于原点的对称点为P，直线PA, ,PB分别交直线x 4于M, ,N两点。（1）求椭圆C的方程； 8 3 3 （2）若B的坐标为 , , 55 ，求直线PA的方程； （3）记M, ,N两点的纵坐标分别为yM, , yN，问：yMyN是不是定值6.过抛物线y2 4x上一定点P 2, ,2 2作两条直线分别交抛物线于不与P重合的 A x1, , y1 , ,B x2, , y2 两点。（1）求
11、该抛物线上纵坐标为1 的点到其焦点的距离d；（2）当PA与PB的倾斜角互补时，证明直线AB的斜率为非零的常数，并求出此常数。圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题解题技巧解题技巧求最值(范围)问题是圆锥曲线常考题型,这类题解题的一般步骤是：(1)设出直线的方程y kxb或x myt、点的坐标；(2)将直线的方程代入圆锥曲线中,计算弦长、点到直线的距离等中间量；(3)将求范围的目标量表示成直线中引入的参数的函数关系式;(4)运用函数、均值不等式等基本方法求出最值(范围).3x2y2，F是椭圆的焦【例 1.】已知点A(0,2),椭圆E :221(a b 0)的离线率为2ab点，直线AF的斜率为（
12、1）求E方程；（2 2）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程。2 3，O为坐标原点。3巩固提升巩固提升1. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A 0, , 1 , ,B点在直线y 3上，M点满足MB/ /OA, ,MA AB MB BA, ,M点的轨迹为曲线C。（1）求C的方程；（2）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值。y22. 已知椭圆M : : 1 a 0 的一个焦点为F 1, ,0 ，左、右顶点分别为A, ,B经过23a点F的直线l与椭圆M交于C, ,D两点。（1）求椭圆的方程；（2）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求S1
13、 S2的最大值。3. 已知抛物线C : : x2 2py p 0 ，过其焦点作斜率为 1 的直线l与C交于M, ,N两点，x2MN 16。（1）求抛物线C的方程；（2）已知动圆P的圆心在C上，且过定点D 0, ,4 ，若动圆P与x轴交于A, ,B两点，DA DB，求4. 已知椭圆C : :DA的最小值。DBx2a2 y2b2 1 a b 0 的左、右焦点分别为F1, ,F2，左顶点为A，离心率为22 1，点B是椭圆上的动点，ABF1面积的最大值为。22（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点的直线F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M, ,N，线段MN的中垂线为l ，若直线l 与l相交于点P，与直
14、线x 2相交于点Q，求PQ的最小值。MN5. 设圆x2 y2 2x 15 0的圆心为A， 直线l过点B 1, ,0 且与x轴不重合，l交圆A于C, ,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E。（1）证明EA EB为定值，并写出点E的轨迹方程；（2）设点E的轨迹为曲线C1， 直线l交C1于M, ,N两点， 过B且与l垂直的直线与圆A交于P, ,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。x2 y2 1，过点 m, ,0 作圆x2 y2 1的切线l交椭圆G与A, ,B两点。6. 已知椭圆G : :4（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将AB表示为m的函数，并求AB的最大值。7. 已知点F 1, ,0
15、 为抛物线y2 2py p 0 的焦点，过F的直线交抛物线与A, ,B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记AFG, ,CQG的面积分别为S1, ,S2。（1）求p的值及抛物线的准线方程；S（2）求1的最小值及此时点G的坐标。S2常见几何关系的代数化方法常见几何关系的代数化方法解题技巧解题技巧解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题， 因此， 积累一些常见的几何关系的代数化方法是有必要的，本专题归纳了一些常见的几何关系的处理方法：（1）以 AB 为直径的圆过点P PAPB 0;（2）点 P 在以 AB 为直径的圆内 PAPB 0;（3）点
16、 P 在以 AB 为直径的圆外 PAPB 0;（4）四边形 PQRS 为平行四边形对角线 PR 与 QS 互相平分;（5）四边形 PQRS 为菱形对角线 PR 与 QS 互相垂直平分；（6）四边形 PQRS 为矩形对角线 PR 与 QS 互相平分且相等；（7）PA PB PM AB 0,其中 M 为 AB 的中点；（8）直线 AB 与直线 MN 关于水平线或竖直线对称 kAB kMN 0;（9）F 为PQM的垂心 PF QM 0、QF PM 0且MFPQ 0.2【例一】已知圆 C：x1 y 12及点 F（1，0） ，点 P 在圆上，M,N 分别为 PF，PC 上2的点，且满足PM MF, ,M
17、NPF 0.（1）求 N 的轨迹 W 的方程；（2）是否存在过点 F（1，0）的直线l与曲线 W 相交于 A,B 两点，并且与曲线 W 上一点 Q，使得四边形 OAQB 为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。x2【例二】 在直角坐标系xOy中， 曲线C : : y 与直线l : : y kxa( (a 0) )交于 M,N 两点。4（1）当k 0时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；（2）在y轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM OPN? ?说明理由。巩固提升巩固提升x2 y21上的三个点，O是坐标原点。1. 已知 A,B,C 是椭圆W : :4（
18、1）当点 B 是 W 的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点 B 不是 W 的顶点，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由；x2y22. 已知椭圆221a b 0的右焦点为F,上顶点为M, ,O为坐标原点， 若OMFab的面积为21，且椭圆的离心率为。22（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线l交椭圆于P, ,Q两点， 且F点恰为PQM的垂心？若存在， 求出直线l的方程；若不存在，说明理由。x2y23. 直线l : : x y8 0, ,圆O: : x y 36, ,其中O是坐标原点， 椭圆221a b 0ab22的离心率为e 3, ,直线l被圆O截得的弦长与椭圆
19、C的长轴长相等。2（1）求椭圆C的方程；（2）过点（3，0）的直线l与椭圆C交于A, ,B两点，设OS OAOB. .是否存在直线l，使OS AB ? ?若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。x2y24. 设F1, ,F2分别是椭圆E : :221a b 0的左、右焦点，过F1作斜率为 1 的直线l与abE相交于A, ,B两点，且AF2, , AB, , BF2成等差数列。（1）求椭圆E的离心率；（2）设点P( (0, ,1) )满足PA PB, ,求E的方程。5. 已知椭圆C : :9x y m ( (m 0), ),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A, ,B，线段
20、AB的中点为M.（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点222 m, ,m， 延长线段OM与C交于点P四边形OAPB能否为平行四边形？若3能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。x2y26. 设A, ,B分别为椭圆221a b 0的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且ab过点2, ,6. .2（1）求椭圆的方程；（2）设P为直线x 4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP, ,BP分别与椭圆相交于异于A, ,B的点M, ,N,证明：点B在以MN为直径的圆内。点差法解决中点弦问题点差法解决中点弦问题解析技巧解析技巧设直线与圆锥曲线交于A, ,B两点，AB中点为M，这类
21、与圆锥曲线的弦和弦中点有关的问题，一般叫做中点弦问题，点差法是解决中点弦问题的重要方法。一般步骤是：（1）设A, ,B两点的坐标分别为A x1, , y1 、B x2, , y2 ；（2）代入圆锥曲线的方程；y1 y2 y M2、斜率公式k y1 y2等化简，得出结果。（3）结合中点公式 ABx1 y2x1 x2 xM 2 x2 y2 1，点P 4, ,1 是双曲线一条弦的中点，则该弦所在直线【例一】已知双曲线C : :4的方程为_.x21 y2 1上两个不同的点A, ,B关于直线y mx 对称，【例二】 已知椭圆求实数m的22取值范围。巩固提升巩固提升x2y2 1内一点M 2, ,1 引一条
22、弦AB， 使弦AB被M点平分， 则直线AB的1. 过椭圆164方程为_.2. 已知抛物线C : : y2 6x，过点P 4, ,1 引抛物线C的一条弦AB，使该弦被P点平分，则这条弦所在直线的方程为_.3. 已知抛物线C的顶点在原点，准线方程为x 1，直线l与抛物线C交于M, ,N两点，线段MN的中点为 1, ,1 ，则直线l的方程为_.4. 椭圆x2 4y2 36的弦AB被点 4, ,2 平分，则直线AB的方程为_.5. 已知抛物线C : : y2 2px p 0 的焦点为F，过点R 2, ,1 的直线l与抛物线C交于A, ,B两点，且RA RB , , FA FB 5，则直线l的斜率为（）
23、31A. .B. .1C. .2D. .22x2y2 1的斜率为 3 的弦AB的中点M的轨迹方程为_.6. 椭圆C : :427. 抛物线C : : y2 x上存在不同的两点A, ,B关于直线l : : y m x 3 对称， 则实数m的取值范围为_.8. 已知椭圆C : :9x2 y2 m2 m 0 ，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A, ,B，线段AB的中点为M。证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值。y2 1，是否存在过点P 1, ,1 的直线l与双曲线交于A, ,B两点，且P恰9.已知双曲线x 22为AB的中点？10.已知椭圆E : :x2a2 y2b2 1 a
24、b 0 的半焦距为c，原点O到经过两点 c, ,0 , , 0, ,b 的直线的距离为c。2（1）求椭圆E的离心率；（2）如图，AB是圆M : : x 2 y 1 椭圆E的方程。225的一条直径，若椭圆E经过A, ,B两点，求2圆锥曲线中的非对称韦达定理问题处理技巧圆锥曲线中的非对称韦达定理问题处理技巧解析技巧解析技巧在圆锥曲线问题中，将直线的方程与圆锥曲线方程联立，消去x或y，得到关键方程（不妨设方程的两根为x1和x2），结合韦达定理来进行其他的运算是常见的解题方法。能够利用x1 x2, ,x1x2, ,x12 x22, , x1 x2, ,韦达定理计算的量一般有11 x1x2等，但在某些问
25、题中，可能会涉及需计算两根系数不相同的代数式，例如，运算过程中出现了x1 2x2, ,2x1 3x2等结构， 且无法直线通过合并同类项化为系数相同的情况处理， 像这种非对称的韦达定理结构，通常是无法根据韦达定理直接求出的，那么一般的处理方法是局部计算、整体约分。需要通过适当的配凑， 将分子和分母这种非对称的结构凑成一致的， 剩下的一般可以转化为对称的韦达定理加以计算，最后通过计算，发现分子、分母可以整体约分，从而解决问题。下面通过几个例题来详细介绍这类的解题方法。1. 平面内有两定点A(0,1),B(0,1),曲线C上任意一点M(x, y)都满足直线AM与直线1BM的斜率之积为,过点F(1,0
26、)的直线l与椭圆交于C,D两点，并与y轴交于点P,直2线AC与BD交于点Q.（1）求曲线C的轨迹方程；（2）当点P异于A,B两点时，求证：OPOQ为定值。2x2y2.【例 1.】已知椭圆C :221(a b 0)过点P（2，,2），且离心率为2ab（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的上、 下顶点分别为A,B,过点斜率为k的直线与椭圆C交于M,N两（0,4）点。求证：直线BM与AN的交点G在定直线上。【例 2.】椭圆有两个顶点A(1,0),B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C,D两点，并与x轴交于点P,直线AC与BD交于点Q.（1）当CD 3 2时，求直线l的方程；2（2）当
27、P点异于A,B两点时，证明：OPOQ为定值。巩固提升巩固提升x2 y2 1的右顶点和上顶点，C, ,D在椭圆上，且CD/ / AB，1. 已知A, ,B分别是椭圆2设直线AC, ,BD的斜率分别为k1和k2，证明：k1k2为定值。2. 已知椭圆C : :x2a2 y2b2右焦点分别为F1 c, ,0 , ,F2 c, ,0 , ,M, ,N分别 1 a b 0 的左、为左、右顶点，直线l : : x ty 1与椭圆C交于A, ,B两点，当t 上顶点，且AF1F2的周长为 6.3时，A是椭圆C的3（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM, ,BN交于点T，求证：点T的横坐标xT为定值x2y2 1的
28、右焦点，A, ,B分别为其左、右顶点，过F作直线l交椭圆于不与3.F为椭圆43kA, ,B重合的M, ,N两点，设直线AM, ,BN斜率分别为k1和k2，求证：1为定值k2圆锥曲线中的三点共线问题圆锥曲线中的三点共线问题解题技巧解题技巧平面解析几何中三点共线相关问题三点共线问题是高考的热点问题，大题小题都有涉及。这类题处理的方法一般来说有两个：斜率相等；向量共线。证明三点共线问题的解题步骤：（1）求出要证明共线的三点的坐标； （如果已给出，则无需这一步）（2）运用斜率相等或向量共线来证明三点共线。特别提醒：三点共线问题的两个处理方法中， 向量共线往往更方便，因为无需考虑斜率不存在的情形，所以大
29、题一般用向量共线，小题用斜率相等。x212x ( (p 0) )的焦点与双曲线C2: : y21的右焦点的连线交【例 1.】抛物线C1: : y 32pC1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线， 则p （）A. .【例 2.】已知抛物线y 4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A, ,B两点，设AB中点为M, , A, ,B, ,M在抛物线的准线上的射影分别为C, ,D, ,N. .（1）求直线FN与直线AB所成的夹角的大小；（2）证明：B, ,O, ,C三点共线。2332 34 3B. .C. .D. .6833专题习题专题习题x2y28y的焦点F与双曲线C2: :21
30、( (b 0) )的右焦点T的连线交1. 抛物线C1: : x 3b32C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则b （）A. .2B. . 3C. . 2D. .1x2y21的右焦点为F，2. 椭圆设直线l : : x 5与x轴的交点为E， 过点F的直线l1与54椭圆交于A, ,B两点，M为线段EF的中点。（1）若直线l1的倾斜角为45，求ABM的面积S；（2）过点B作直线BN l与点N,证明：A, ,M, ,N三点共线。x2y23. 已知椭圆E : :221( (a b 0) )的右焦点为F，椭圆的上顶点和两焦点的连线构成ab一个等边三角形，且面积为3. .（1）
31、求椭圆E的标准方程；（2）若直线l : : x my q( (m 0) )与椭圆E交于不同的两点A, ,B，设点A关于椭圆长轴的对称点为A1,试求A1, ,F, ,B三点共线的充要条件。6x2y2, ,焦距为2 2. .斜率为k的直线l与4. 已知椭圆M : :221( (a b 0) )的离心率为3ab椭圆M有两个不同的交点A, ,B。（1）求椭圆M的方程；（2）若k 1, ,求AB的最大值；（3）设P( (2, ,0), ),直线PA与椭圆M的另一个交点为C, ,直线PB与椭圆M的另一个交点为D, ,若C, ,D和点Q( (7 1, ,) )共线，求k. .4 45. 已知曲线C : :(
32、 (5m) )x ( (m2) )y 8( (mR) ).（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；（2）设m 4, ,曲线C与y轴的交点分别为A, ,B（点A位于点B的上方） ，直线y kx4与曲线C交于不同的两点M, ,N, ,直线y 1与直线BM交于点G, ,求证：A, ,G, ,N三点共线。6. 已知两个定点M 1, ,0 , ,N 1, ,0 ，动点P满足PM （1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点M的直线l与曲线C交于不同的两点A, ,B，设点A关于x轴的对称点为Q（A, ,Q两点不重合） ，证明：B, ,N, ,Q三点在同一直线上。222 PN。巧用曲线系方程解决圆锥
33、曲线中的四点共圆问题巧用曲线系方程解决圆锥曲线中的四点共圆问题解题技巧解题技巧圆锥曲线中的四点共圆问题在高考中是一大难点， 应用曲线系方程可以很好地解决这类问题。1. 曲线系方程：设f ( (x, , y) ) 0和g( (x, , y) ) 0分别表示平面上的两条曲线，则经过两曲线交点的曲线系方程可以为f ( (x, , y) ) g( (x, , y) ) 0. .2. 高考中常见的四点共圆问题是两条直线与圆锥曲线交于不同的四点，判断四点是否在同一圆上，如果是，需求出圆的方程。应用曲线系方程求解这类四点共圆问题的解题步骤是：（1）设经过圆锥曲线和两直线交点的曲线系方程为f ( (x, ,
34、y) ) g( (x, , y) ) 0. .，其中f ( (x, , y) ) 0表示圆锥曲线方程，g( (x, , y) ) 0表示两直线构成的曲线的方程；（2）将f ( (x, , y) ) g( (x, , y) ) 0. .展 开 ， 合 并 同 类 项 ， 与 圆 的 一 般 方 程x2 y2 Dx Ey F 0比较系数，求出的值；（3）将反代回方程f ( (x, , y) ) g( (x, , y) ) 0. .的展开式，化为圆的标准方程，从而得出四点共圆且求出了圆的方程。3. 圆锥曲线中四点共圆问题的结论：设两条直线和圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于四点，则四个交点在同一个
35、圆上的充要条件是两直线的倾斜角互补。【例 1.】已知抛物线C : : y 4x的焦点为F,经过点F且斜率为 1 的直线l与抛物线C交于A, ,B两点，线段AB的中垂线和抛物线C交于M, ,N两点，证明A, ,B, ,M, ,N四点共圆，并求出该圆的方程。2x2 y21的右焦点为F，经过点F且斜率为k的直线l与椭圆C交【例 2.】设椭圆E : :2于A, ,B两点，直线y 2x与椭圆E交于C, ,D两点，若A, ,B, ,C, ,D四点共圆，求k的值以及该圆的方程。22【例 3.】 已知T( ( 3, ,0), ),Q是圆P : :( (x3) ) y 16上一动点， 线段QT的中垂线与直线PQ
36、交于点S.（1）求动点S的轨迹的E方程；（2）过点1, ,0且斜率为2的直线l1与轨迹E交于A, ,B两点， 过原点且斜率为-2的直线l2与轨迹E交于M, ,N两点，判断A, ,B, ,M, ,N四点是否在同一圆上，若是，求出圆的方程。巩固提升巩固提升1. 已知抛物线E : : y 8x的焦点为F, ,过F作两条互相垂直的直线分别与抛物线E交于2A, ,C和B, ,D. .问：A, ,B, ,C, ,D四点是否共圆？若是，求出圆的方程；若不是，说明理由。x2y22. 双曲线C : :221a 0, ,b 0的一条渐近线方程为3x2y 0, ,且过点4, ,3. .ab（1）求双曲线C的方程；（
37、2）斜率为1的直线l1过点1, ,0且与双曲线C交于A, ,B两点，斜率为k的直线l2过原2点且与双曲线C交于M, ,N两点，若A, ,B, ,M, ,N四点是否在同一圆上，求k的值及该圆的方程。3. 已知抛物线C : : y 2px( (p 0) )的焦点为F,直线y 4与y轴的交点为P, ,与C的交点为Q, ,且QF 25PQ. .4（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A, ,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M, ,N两点，且A, ,M, ,B, ,N四点在同一圆上，求l的方程。抛物线中的阿基米德三角形抛物线中的阿基米德三角形解题技巧解题技巧阿基米德三角形：如图，抛物线的一条
38、弦以及弦端点处的两条切线所围成的三角形， 叫做抛物线中的阿基米德三角形。下面给出阿基米德三角形的一些常见性质。如图，不妨设抛物线为x2 2py p 0 ，抛物线上A, ,B两点处的切线交于点P，则（1）设AB中点为M，则PM平行（或重合）于抛物线的对称轴；（2）PM的中点S在抛物线上，且抛物线在S处的切线平行于弦AB；（3）若弦AB过抛物线内的定点Q，则点P的轨迹是直线；特别地，若弦AB过定点 0, ,m m 0 ，则点P的轨迹是直线y m；（4）若弦AB过抛物线内的定点Q，则以Q为中点的弦与（3）中P点的轨迹平行；（5）若直线l与抛物线没有交点，点P在直线l上运动，则以P为顶点的阿基米德三角
39、形的底边过定点；（6）若AB过焦点F，则P点的轨迹为抛物线准线，PA PB, ,PF AB, ,且PAB面积的最小值为p2；（7） PFA PFB；（8）AF BF PF。【例一】已知抛物线C : : x2 4y的焦点为F，抛物线上A, ,B两点处的切线交于点P，AB中点为M。（1）证明：PM x轴；（2）设PM的中点为S，证明：S在抛物线上，且抛物线在S处的切线平行于直线AB；（3）证明： PFA PFB；（4）证明：AF BF PF（5）若AB过点Q 1, ,1 ，求点P的轨迹E的方程；当Q恰为AB中点时，判断AB与轨迹22E的位置关系；（6）若AB过点F，求点P轨迹方程，并证明PA PB
40、, ,PF AB, ,求PAB面积最小值【例二】已知抛物线C : : x2 4y的焦点为F，点P是直线l : : y x 2上的动点，过P作抛物线的两条切线，切点分别为A和B，证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标。巩固提升巩固提升1. 已知点M 1, ,1 和抛物线C : : y2 4x， 过C的焦点F且斜率为k的直线与C交于A, ,B两点，若 AMB 90 ，则k _.2. 已知抛物线x2 4y的焦点为F，A, ,B是抛物线上两动点，且AF FB 0 ，过A, ,B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，则FM AB的值（）A. .大于 0B. .等于 0C. .小于 0D. .无法判断3.
41、 抛物线y2 4x焦点为F， 点M为直线x 2上的一动点， 过点M向抛物线y2 4x作切线， 切点为B, ,C， 以点F为圆心的圆恰与直线BC相切， 则该圆面积的范围为 （）A. . 0, , B. . 0, , C. . 0, ,4 D. . 0, ,4 4. 已知抛物线C : : y2 4x与点M 1, ,1 ，过抛物线C的焦点F且斜率为k的直线与C交于A, ,B两点，若MA MB 0，则k （）3A. .2B. .C. .1D. .425. 已知F为抛物线C : : x2 4y的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A和B，抛物线C在A, ,B两点处的切线交于点P，设AB m，则P
42、F的值为_.（结果用 m 表示）6. 已知F为抛物线C : : x2 4y的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A和B，抛物线C在A, ,B两点处的切线交于点P，则PF 32的最小值为_.AB7. 已知抛物线x2 4y的焦点为F，A, ,B是抛物线上的两动点，且AF FB 0 ，过A, ,B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（1）证明：FM AB为定值；（2）设ABM的面积为S，写出S f 的表达式，并求S的最小值。圆锥曲线中的双切线题型圆锥曲线中的双切线题型解题技巧解题技巧过圆锥曲线外一点P，作圆锥曲线的两条切线，由此衍生的一系列问题，一般称之为双切线问题。这类问题一般的处理步骤
43、是：（1）设切线的斜率为k，写出切线的方程；（2）将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程；（3）由（2）中方程满足判别式 0，建立关于k的一元二次方程，两切线的斜率k1, ,k2为方程的两根；（4）结合韦达定理，计算k1 k2, ,k1k2等，并将之用于其他量的计算。【例一】设椭圆E : :x2a2 y2b2 1 a b 0 的左、右焦点分别为F1, ,F2，其离心率e 1，2且点F2到直线21xy 1的距离为。7ab（1）求椭圆E的方程；2（2）设点P x0, , y0 是椭圆E上一点 x0 1 ，过点P作圆 x 1 y2 1的两条切线，切线与y轴交于A, ,B两点，求AB的取值范围
44、。巩固提升巩固提升1. 已知椭圆C : :x2a2 y2b2 1 a b 0 的一个焦点为 5, ,0，离心率为 5。3（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P x0, , y0 为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。2. 设椭圆C : :x242 2 3 ，动圆P: : x x0 2 y y0 2 4，其中 1 b 2 3 3b2 y2P x0, , y0 是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，过原点O作两条射线与圆P相切，分别交椭圆于M, ,N两点，且切线长的最小值为（1）求椭圆C的方程；（2）求证：MON的面积为定值。3. 已知圆O: : x2 y2 1和抛物线
45、E : : y x2 2, ,O为坐标原点。（1）若直线l与圆O相切，与抛物线E交于M, ,N两点，且满足OM ON，求直线l的方程；（2）过抛物线E上一点P x0, , y0 作两条直线PQ, ,PR与圆O相切，且分别交抛物线E交于Q, ,R两点，若直线QR的斜率为 3，求点P的坐标。24. 已知圆C : : x 1 y2 16, ,F 1, ,0 , ,M是圆C上的一个动点，线段MF的垂直平分6。3线与线段MC相交于点P。（1）求动点P的轨迹方程；（2）记P点的轨迹为C1, , A, ,B是直线x 2上的两点，满足AF BF，曲线C1的过点A, ,B的两条切线（异于x 2）交于点Q，求四边形AQBF的面积的取值范围。