《2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）.pdf（54页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1 1 过点T(-1,0)作直线l与曲线N：y2=x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析
2、版）【涉及到弦的垂直平分线问题】【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦这种问题主要是需要用到弦ABAB的垂直平分线的垂直平分线L L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦 ABAB的中的中点坐标点坐标MM，结合弦，结合弦ABAB与它的垂直平分线与它的垂直平分线L L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线 L L的方程，然后解决相关的方程，然后解决相关问题，比如：求问题，比如：求L L在在x x轴轴y y轴上的截距的取值范围，求轴上的截距的取值范围，求L L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后过
3、某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦才能判定是有关弦ABAB的中点问题，比如：弦与某定点的中点问题，比如：弦与某定点D D构成以构成以D D为顶点的等腰三角形为顶点的等腰三角形(即即D D在在ABAB的垂直平的垂直平分线上分线上)、曲线上存在两点、曲线上存在两点ABAB关于直线关于直线mm对称等等。对称等等。2 2 例题分析1 1：已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于题型二:动弦过定点的问题1 1 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。(I)求
4、椭圆的方程；(II)若直线l:x=t(t2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1 1 已知点A、B、C是椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)上的三点，其中点A(2 3,0)是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且AC BC=0，BC=2 AC，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线x=3 对称，求直线PQ的斜率。题型四:共线向量问题1 1 如图所示，已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A
5、(1,0),M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM=2AP,NP AM=0,点N的轨迹为曲线E.I)求曲线E的方程；II)若过定点F(0，2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足FG=FH，求的取值范围.2 2 已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 y=14x2的焦点，离心率为2 55.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA=1AF，MB=2BF，求证：1+2=-10.3 3 已知OFQ的面积S=2 6,且OF FQ=m。设以O为中心，F为焦点的双曲线
6、经过Q，|OF|=c,m=641c2，当|OQ|取得最小值时，求此双曲线方程。1类型1 1-求待定字母的值1 1 设双曲线C：x2a2y2=1(a0)与直线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B，直线L与y轴交于点P，且PA=512PB，求a的值2 类型2 2-求动点的轨迹1 1 如图 2，动直线 y=kx+1 与 y 轴交于点 A，与抛物 y2=x 3 交于不同的两点 B 和 C,且满足 BP=PC，AB=AC，其中R.。求POA的重心Q的轨迹。思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数 获得重心Q的轨迹方程，再运用判别式确定实数k的取值范围，从而确定轨迹的形状。3 类型3 3-证明定值问
7、题1 1 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA+OB 与 a=(3,1)共线。设 M 为椭圆上任意一点，且 OM=OA+OB，其中,R.证明：2+2为定值。思路：设 A、B、M 三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。4 类型4 4-探索点、线的存在性1 1 在ABC中，已知 B(-2,0),C(2,0),ADBC于D，ABC的垂心H分有向线段 AD 所成的比为13。设P(-1,0),Q(1,0),那么是否存在点H，使1|HP|,1|PQ|,1|HQ|成等差数列，为
8、什么？思路：先将ACBH转化为代数关系，由此获得动点H的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数(坐标)关系，通过解代数方程组获解。5 类型5 5-求相关量的取值范围1 1 给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，且FB=AF,4,9，求l在y轴上截距的变化范围。思路：设 A、B 两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出 l在y轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。题型五:面积问题1 1 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,短轴一个端点到右焦点的距离为3。()求椭圆C的方程；()设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O
9、到直线l的距离为32，求AOB面积的最大值。2 2 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,短轴一个端点到右焦点的距离为3.()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求AOB面积的最大值.3 3 已知椭圆x23+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，垂足为P()设P点的坐标为(x0，y0)，证明：x203+y202b0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1(I)求椭圆C1的方程；(II)设点P在抛物线C2：y=x2+h(hR)上，C2
10、在点P处的切线与C1交于点M,N当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值题型七:直线问题1 1 设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点M(2,1)，且着焦点为F1(-2,0)()求椭圆C的方程；()当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时，在线段AB上取点Q，满足 AP QB=AQ PB，证明：点Q总在某定直线上2 2 已知曲线 上任意一点 P 到两个定点 F1-3,0和 F23,0的距离之和为 4(1)求曲线 的方程；(2)设过 0,-2的直线l与曲线交于C、D两点，且OC OD=0(O为坐标原点)，求直线l的方程3 3 设F1、F2分别是椭圆x24
11、+y2=1的左、右焦点。()若P是该椭圆上的一个动点，求PF1 PF2 的最大值和最小值；()设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围。题型八:轨迹问题轨迹法：轨迹法：1 1直接法：直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；1 1 已知直角坐标系中，点Q(2，0)，圆C的方程为x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与 MQ的比等于常数(0)，求动点M的轨迹。如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4.过动点
12、P分别作圆O2、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PM=2PN.试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.二、定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。2 2 已知动圆过定点p2,0，且与直线x=-p2相切，其中p0.求动圆圆心C的轨迹的方程；已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为(-6，0)，M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线l于点A，又过B、C作O异于l的两切线，设这两切线交于
13、点P，求点P的轨迹方程.三、相关点法：三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点 P(x,y)却随另一动点Q(x，y)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x,y表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。几何法：几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。3 3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。4 4 已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别是F1(-c，0)、F
14、2(c，0)，Q是椭圆外的动点，满足|F1Q|=2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT TF2=0,|TF2|0.求点T的轨迹C的方程；四、参数法：四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。5 5 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO(如图4所示).求AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；6 6 如图，设抛物线C:y=x2的焦点为F，动点P在直线l:xy2=0上运动，过P作抛
15、物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.求APB的重心G的轨迹方程.五、交轨法：五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。7 7 抛物线 y2=4px(p 0)的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB，求抛物线的顶点 O 在直线 AB 上的射影 M的轨迹。题型九:对称问题1 1 若椭圆x22+y23=1上存在两点A,B 关于l：y=4x+m对称，求m的取值范围2 2 已知实轴长为 2a，虚轴长为 2b的双曲线S的焦点在x轴上，直线y=3x是双曲
16、线S的一条渐近线，而且原点O，点A(a，0)和点B(0，-b)使等式|OA|2+|OB|2=43|OA|2|OB|2成立.(I)求双曲线S的方程；(II)若双曲线S上存在两个点关于直线l:y=kx+4对称，求实数k的取值范围.题型十:存在性问题(存在点，存在直线存在点，存在直线y y=kxkx+mm，存在实数，存在图形：三角形，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角等比、等腰、直角)，四边形，四边形(矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形)，圆圆)1 1 设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a,b0)过M(2，2)，N(6,1)两点，O为坐标原点，(I)求椭圆E的方程；(II)是否存在圆心在
17、原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点A,B,且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。2 2 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点P和Q(I)求k的取值范围；(II)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP+OQ 与AB 共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由3 3 设F1、F2分别是椭圆x25+y24=1的左、右焦点.()若P是该椭圆上的一个动点，求PF1 PF2 的最大值和最小值；()是否存在过点 A(5，0)的直线 l 与椭圆交
18、于不同的两点 C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.4 4 椭圆G：x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N(0，3)到椭圆上的点最远距离为5 2.(1)求此时椭圆G的方程；(2)设斜率为k(k0)的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P 0，33、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由5 5 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为33，过右焦点 F的直线 l与C相交于 A、B 两点，当 l的斜
19、率为1时，坐标原点O到l的距离为22(I)求a，b的值；(II)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP=OA+OB成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。6 6 已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS,BS与直线l:x=103分别交于M,N两点。(I)求椭圆C的方程；()求线段MN的长度的最小值；()当线段MN的长度最小时，在椭圆 C上是否存在这样的点 T，使得TSB的面积为15？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由7 7 已知双曲线x2
20、-y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点(I)若动点M满足F1M=F1A+F1B+F1O(其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程；(II)在x轴上是否存在定点C，使CA CB 为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由8 8 在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为2 2 的圆C与直线y=x相切于坐标原点O椭圆x2a2+y29=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10(1)求圆C的方程；(2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理
21、由9 9 设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a，b0)过M(2，2)，N(6，1)两点，O为坐标原点，(I)求椭圆E的方程；(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点A,B,且OA OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线圆锥曲线九大题型归纳九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、
22、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1 1 过点T(-1,0)作直线l与曲线N：y2=x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线l:y=k(x+1)，k0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。由y=k(x+1)y2=x 消y整理，得k2x2+(2k2-1)x+k2=0 由直线和抛物线交于两点，得=(2k2-1)2-4k4=-4k2+10即0k2b0)的离心率为32，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。(I)求椭圆的方程；
23、(II)若直线l:x=t(t2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：(I)由已知椭圆C的离心率e=ca=32，a=2,则得c=3,b=1。从而椭圆的方程为x24+y2=1(II)设 M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线 A1M 的斜率为 k1,则直线 A1M 的方程为 y=k1(x+2)，由y=k1(x+2)x2+4y2=4 消 y 整理得(1+4k21)x2+16k2x+16k21-4=0-2 和 x1是方程的两个根，-2x1=16k21-41+4k21则x1=2-8k211+4k21
24、，y1=4k11+4k21，即点M的坐标为2-8k211+4k21,4k11+4k21，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为8k22-21+4k22,-4k21+4k22yp=k1(t+2),yp=k2(t-2)k1-k2k1+k2=-2t，直线MN的方程为：y-y1x-x1=y2-y1x2-x1，令y=0，得x=x2y1-x1y2y1-y2，将点M、N的坐标代入，化简后得：x=4t又t2，04tb0)上的三点，其中点A(2 3,0)是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且AC BC=0，BC=2 AC，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使
25、得直线PC与直线QC关于直线x=3 对称，求直线PQ的斜率。解：(I)BC=2 AC，且BC过椭圆的中心O OC=AC AC BC=0ACO=2又A(2 3,0)点C的坐标为(3,3)。A(2 3,0)是椭圆的右顶点，a=2 3，则椭圆方程为：x212+y2b2=1将点C(3,3)代入方程，得b2=4，椭圆E的方程为x212+y24=1(II)直线PC与直线QC关于直线x=3 对称，设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，从而直线PC的方程为：y-3=k(x-3)，即y=kx+3(1-k)，由y=kx+3(1-k)x2+3y2-12=0 消y，整理得：(1+3k2)x2+6 3k(1-k
26、)x+9k2-18k-3=0 x=3 是方程的一个根，xP3=9k2-18k-31+3k2即xP=9k2-18k-33(1+3k2)同理可得：xQ=9k2+18k-33(1+3k2)yP-yQ=kxP+3(1-k)+kxQ-3(1+k)=k(xP+xQ)-2 3k=-12k3(1+3k2)xP-xQ=9k2-18k-33(1+3k2)-9k2+18k-33(1+3k2)=-36k3(1+3k2)kPQ=yP-yQxP-xQ=13则直线PQ的斜率为定值13。题型四:共线向量问题1 1 如图所示，已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足
27、AM=2AP,NP AM=0,点N的轨迹为曲线E.I)求曲线E的方程；II)若过定点F(0，2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足FG=FH，求的取值范围.解：(1)AM=2AP,NP AM=0.NP为AM的垂直平分线，|NA|=|NM|又|CN|+|NM|=2 2,|CN|+|AN|=2 2 2.动点N的轨迹是以点C(-1，0)，A(1，0)为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为2a=2 2,焦距2c=2.a=2,c=1,b2=1.曲线E的方程为x22+y2=1.(2)当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y=kx+2,代入椭圆方程x22+y2=1,得12+k2x2+4kx
28、+3=0.由0得k232.设G(x1,y1),H(x2,y2),则 x1+x2=4k12+k2=8k1+2k2(1),x1x2=312+k2=61+2k2(2)又 FG=FH,(x1,y12)=(x2,y22)x1=x2,=x1x2,，(1)2(2)+1+2=32k23(1+2k2)=3231k2+2 k232,4 3231k2+2163.4+1+2163.解得133.又 0 1,131.又当直线 GH 斜率不存在，方程为 x=0,FG=13FH,=13.13 b0)抛物线方程化为x2=4y，其焦点为(0,1)，则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即 b=1由e=ca=a2-b2a2=2 55，a
29、2=5，椭圆C的方程为x25+y2=1(2)证明：右焦点F(2,0)，设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为 y=k(x-2)，代入方程x25+y2=1 并整理，得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0 x1+x2=20k21+5k2，x1x2=20k2-51+5k2又MA=(x1,y1-y0)，MB=(x2,y2-y0)，AF=(2-x1,-y1)，BF=(2-x2,-y2)，而 MA=1AF，MB=2BF，即(x1-0,y1-y0)=1(2-x1,-y1)，(x2-0,y2-y0)=2(2-x2,-y2)1=x12-x1，2=
30、x22-x2，所以 1+2=x12-x1+x22-x2=2(x1+x2)-2x1x24-2(x1+x2)+x1x2=-103 3 已知OFQ的面积S=2 6,且OF FQ=m。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q，|OF|=c,m=641c2，当|OQ|取得最小值时，求此双曲线方程。解：设双曲线方程为x2a2y2b2=1，Q(x0,y0)。FQ=(x0c,y0)，SOFQ=12|OF|y0|=2 6，y0=4 6c。OF FQ=(c,0)(x0c,y0)=c(x0-c)=641c2x0=64c。OQ=x20+y20=3c28+96c22 3,当且仅当3c28=96c2,即c=4时,|OQ|最小
31、,此时Q(6,6)或(6,6)，所以6a26b2=1a2+b2=16 a2=4b2=12.故所求的双曲线方程为x24y212=1。1类型1 1-求待定字母的值1 1 设双曲线C：x2a2y2=1(a0)与直线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B，直线L与y轴交于点P，且PA=512PB，求a的值思路：设A、B两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求 a的值。解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)PA=512PB,(x1,y11)=512(x2,y21),x1=512x2.联立x+y=1x2a2y2=1，消去y并整理得，(1-a2)x2+2a2x
32、-2a2=0(*)A、B是不同的两点，1a20，4a4+8a2(1a2)0，0a2 且a1.于是x1+x2=2a21a2且x1x2=2a21a2，即1712x2=2a21a2,且512x22=2a21a2，消去x2得，2a21a2=28960，a=1713，0a0 12k16且k0.设P(x,y)，B(x1，y1)，C(x2,y2)，(图2)则x1+x2=12kk2,x1.x2=4k2.由BP=PC(xx1,yy1)=(x2x,y2y)xx1=(x2x)由AB=AC(x1,y11)=(x2,y21)x1=x2。0 xx1x1=x2xx2x=2x1x2x1+x2=812k.y=kx+1=8k12
33、k+1=6k+112k.消去k得，x-2 y-6=0(*)设重心Q(x,y)，则x=x3y=y+13 x=3xy=3y1，代入(*)式得，3x-6y-4=0。因为12k16且k04x12且x843x4且x83故点Q的轨迹方程是3x-6y-4=0(43xb0),F(c,0).则直线AB的方程为y=xc.代入椭圆方程中，化简得，(a2+b2)x22a2cx+a2c2a2b2=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=2a2ca2+b2,x1x2=a2c2a2b2a2+b2.由 OA+OB 与a=(3,1)共线，OA+OB=(x1+x2,y1+y2)得，3(y1+y2)+(x1+x2)
34、=0。又y1=x1c,y2=x2c,3(x1+x22c)+(x1+x2)=0,x1+x2=3c2,即2a2ca2+b2=3c2,a2=3b2.而c2=a2b2,于是a2=32c2,b2=12c2。因此椭圆方程为x23b2+y2b2=1,即x2+3y2=3b2.设M(x,y),由OM=OA+OB 得，(x,y)=(x1,y1)+(x2,y2)，x=x1+x2且y=y1+y2.因M为椭圆上一点，所以(x1+x2)2+3(y1+y2)2=3b2.即2(x21+3y21)+2(x22+3y22)+2(x1x2+3y1y2)=3b2 又x1+x2=3c2,a2=32c2,b2=12c2，x1x2=a2c
35、2a2b2a2+b2=38c2.则 x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1c)(x2c)=4x1x23(x1+x2)c+3c2=32c292c2+3c2=0.而x12+3y12=3b2,x22+3y22=3b2,代入得，2+2=1，2+2为定值。4 类型4 4-探索点、线的存在性1 1 在ABC中，已知 B(-2,0),C(2,0),ADBC于D，ABC的垂心H分有向线段 AD 所成的比为13。设P(-1,0),Q(1,0),那么是否存在点H，使1|HP|,1|PQ|,1|HQ|成等差数列，为什么？思路：先将ACBH转化为代数关系，由此获得动点H的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数(坐标
36、)关系，通过解代数方程组获解。解：设H(x,y),由分点坐标公式知A x,4y3H为垂心ACBH，x2,4y3(x+2,y)=0，整理得，动点H的轨迹方程为x24+y23=1(y0)。|HP|=(x+1)2+y2，|PQ|=2，|HQ|=(x1)2+y2。假设1|HP|,1|PQ|,1|HQ|成等差数列，则2|PQ|=1|HP|+1|HQ|即1(x+1)2+y2+1(x1)2+y2=1 H在椭圆上a=2,b=3,c=1，P、Q是焦点，HP+HQ=2a=4，即(x+1)2+y2+(x1)2+y2=4 由得，(x+1)2+y2(x1)2+y2=(x+1)2+y2+(x1)2+y2=4 联立、可得，
37、(x+1)2+y2=(x1)2+y2=2，x=0,y=3,显然满足H点的轨迹方程x24+y23=1，故存在点H(0，3)，使1|HP|,1|PQ|,1|HQ|成等差数列。5 类型5 5-求相关量的取值范围1 1 给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，且FB=AF,4,9，求l在y轴上截距的变化范围。思路：设 A、B 两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出 l在y轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由FB=AF 得，(x21,y2)=(1x1,y1)，即x21=(1x1)y2=y1 由得，y22=
38、2y21.y21=4x1,y22=4x2,x2=2x1。联立、得，x2=。而0,B(,2),或B(,2).当直线l垂直于x轴时，=1,不符合题意。因此直线l的方程为(1)y=2(x1)或(1)y=2(x1).直线 l在 y轴上的截距为2 1或2 1.由2 1=2+1+2 1知，2 1在 4,9上递减的，所以342 143,432 134.于是直线l在y轴上截距的变化范围是 43,3434,43.存在、向量例6、双曲线C:x2a2y2b2=1 a0,b0的右顶点为A，x轴上存在一点Q 2a,0，若C上存在一点P使APPQ，求离心率的取值范围。解：PAPQP点的轨迹方程为 x32a2+y2=a24
39、，即 y2=x2+3ax 2a2(x a 且 x 2a)。由b2x2a2y2=a2b2y2=x2+3ax2a2，消去 y 得 b2x2 a2x2+3ax2a2a2b2=0即 a2+b2x23a3x+2a4a2b2=0 xaa2+b2xa 2a2b2=0,x a,x=a 2a2b2a2+b2=a 3a2c2c2=a3e21 P 在双曲线x2a2y2b2=1的右支上，xa,a3e21a,解得1 e0)上的两点，满足OAOB(O为坐标原点)，求证：(1)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；(2)直线AB经过一定点。分析：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y12=2px1,y22
40、=2px2(y1y2)2=4p2x1x2又由 OA OB OA OB=0 x1x2+y1y2=0 x1x2=4p2,y1y2=-4p2(2)y12-y22=2p(x1-x2)KAB=y1-y2x1-x2=2py1+y2直线AB的方程为y-y1=2py1+y2(x-x1)y=2py1+y2x-2px1y1+y2+y1=2py1+y2x+y21-2px1+y1y2y1+y2=2py1+y2(x-2p)，故直线过定点(2p,0)。题型五:面积问题1 1 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,短轴一个端点到右焦点的距离为3。()求椭圆C的方程；()设直线l与椭圆C交于A、B两点，
41、坐标原点O到直线l的距离为32，求AOB面积的最大值。解：()设椭圆的半焦距为c，依题意ca=63，a=3，b=1，所求椭圆方程为x23+y2=1。()设A(x1，y1)，B(x2，y2)。(1)当ABx轴时，AB=3。(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m。由已知m1+k2=32，得m2=34(k2+1)。把y=kx+m代入椭圆方程，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，x1+x2=-6km3k2+1，x1x2=3(m2-1)3k2+1。AB2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)36k2m2(3k2+1)2-12(m2-1)3k2+1=12(k2+1
42、)(3k2+1-m2)(3k2+1)2=3(k2+1)(9k2+1)(3k2+1)2=3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+6(k 0)3+1223+6=4。当且仅当9k2=1k2，即k=33时等号成立。当k=0时，AB=3，综上所述 ABmax=2。当 AB最大时，AOB面积取最大值S=12 ABmax32=32。2 2 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,短轴一个端点到右焦点的距离为3.()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求AOB面积的最大值.解：()设椭圆的半焦距为c，依题意ca=63，a=3，
43、b=1，所求椭圆方程为x23+y2=1()设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)当ABx轴时，AB=3(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m由已知m1+k2=32，得m2=34(k2+1)把y=kx+m代入椭圆方程，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，x1+x2=-6km3k2+1，x1x2=3(m2-1)3k2+1 AB2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)36k2m2(3k2+1)2-12(m2-1)3k2+1=12(k2+1)(3k2+1-m2)(3k2+1)2=3(k2+1)(9k2+1)(3k2+1)2=3+12k29k4+6k2+1=
44、3+129k2+1k2+6(k 0)3+1223+6=4当且仅当9k2=1k2，即k=33时等号成立当k=0时，AB=3，综上所述 ABmax=2当 AB最大时，AOB面积取最大值S=12 ABmax32=323 3 已知椭圆x23+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，垂足为P()设P点的坐标为(x0，y0)，证明：x203+y2021；()求四边形ABCD的面积的最小值解：()椭圆的半焦距c=3-2=1，由ACBD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x20+y20=1，所以，x223+y202x202+y202=
45、120,b0),Q(x1,y1),则FQ=(x1-c,y1)SOFQ=12|OF|y1|=2 6，y1=4 6c又OF FQ=m，OF FQ=(c,0)(x1-c,y1)=(x1-c)c=64-1c2x1=64c,|OQ|=x21+y21=96c2+3c2812.当且仅当c=4时，|OQ|最小，此时Q的坐标是(6,6)或(6,-6)6a2-6b2=1a2+b2=16 a2=4b2=12，所求方程为x24-y212=1.2 2 已知椭圆x22+y24=1两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足PF1 PF2=1，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.()求
46、P点坐标；()求证直线AB的斜率为定值；()求PAB面积的最大值.解：()由题可得F1(0,2)，F2(02)，设P0(x0,y0)(x00,y00)则PF1=(x0,2 y0)，PF1=(x0,2 y0)，PF1 PF2=x20(2y20)=1，点P(x0,y0)在曲线上，则x202+y204=1，x20=4y202，从而4y202(2y20)=1，得y0=2.则点P的坐标为(1,2).()由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为k(k0)，则BP的直线方程为：y2k(x1).由y2=k(x1)x22+y24=1 得(2+k2)x2+2k(2 k)x+(2 k)24=0，设B(
47、xB,yB)，则1+xB=2k(k2)2+k2,xB=2k(k2)2+k21=k22 2k22+k2，同理可得xA=k2+2 2k2)2+k2，则xAxB=4 2k2+k2，yAyB=k(xA1)k(xB1)=8k2+k2.所以：AB的斜率kAB=yAyBxAxB=2 为定值.()设AB的直线方程：y=2x+m.由y=2x+mx22+y24=1，得4x2+2 2mx+m24=0，由=(2 2m)216(m24)0，得2 2 m2 2P到AB的距离为d=|m|3，则SPAB=12|AB|d=12412m23|m|3=18m2(m2+8)18m2m2+822=2。当且仅当m=2 2 2,2 2取等
48、号三角形PAB面积的最大值为2。3 3 已知椭圆x22+y2=1的左焦点为F，O为坐标原点。(I)求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；(II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。解：(I)a2=2,b2=1,c=1,F(-1,0),l:x=-2.圆过点 O、F，圆心 M 在直线 x=-12上。设M-12,t,则圆半径 r=-12-(-2)=32.由 OM=r,得-122+t2=32,解得 t=2.所求圆的方程为 x+122+(y2)2=94.(II)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k0),代入x22+
49、y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),则x1+x2=-4k22k2+1,AB的垂直平分线NG的方程为y-y0=-1k(x-x0).令 y=0,得xG=x0+ky0=-2k22k2+1+k22k2+1=-k22k2+1=-12+14k2+2.k0,-12xG0，解得s22设E x1,y1，F x2,y2，则y1+y2=-4ss2+2,y1y2=2s2+2.令=SOBESOBF=12OB y112OB y2=y1y2，且02且s24，u=8s2s2+2(4,8)且u
50、163，解得3-2 2 3+2 2 且13 01，32 2 b0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1(I)求椭圆C1的方程；(II)设点P在抛物线C2：y=x2+h(hR)上，C2在点P处的切线与C1交于点M,N当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值解析：(I)由题意得b=12b2a=1,a=2b=1,所求的椭圆方程为y24+x2=1，(II)不妨设 M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h),则抛物线 C2在点 P处的切线斜率为 yx=t=2t，直线 MN的方程为y=2tx-t2+h，将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2+(2tx-t2+h