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1、第39卷第1期2018年1月财经理论与实践(双月刊)THE THEORY AND PRACTICE OF FINANCE AND ECONOM ICSVol. 39 No. 1Jan. 2018证券与投资基于贝叶斯方法与时变Copula模型的基金风险的度量杨湘豫,李强(湖南大学数学与计量经济学院,湖南长沙 410082) 摘要:基于贝叶斯理论的M CM C方法对单个基金收益率进行GARCH建模,以及对投资组合权重进行后验模拟。进一步结合时变Copula理论计算基金投资组合的VaR,与基于极大似然法的结果进行比较。实证结果表明基于贝叶斯理论的时变Copula的VaR方法,能够更有效的度量开放式基
2、金投资组合的风险。关键词:贝叶斯;时变Copula;M CM C;VaR中图分类号: 文献标识码: A 文章编号: 1003- 7217( 2018) 01- 0063- 06一、引言随着市场一体化程度的不断加深,以及计算机网络的发展导致信息传递加快,各种金融资产之间的影响程度不断加大,这大大增加了对金融资产进行风险度量的难度。自20世纪90年代中后期,Copula理论和方法在国内外开始得到迅速发展并广泛应用于金融、保险等领域的相关性分析、投资组合分析和风险管理等多个方面 1 。为了更准确的度量金融风险及相关关系, Patton 2最先提出时变Copula模型,并用一个类似于自回归滑动平均模型
3、( ARM A)的过程来刻画时变相关系数;罗付岩、邓光明 3利用二元时变Copula对投资组合的VaR进行建模,结果显示时变Copula模型比静态Copula模型更好,但是其GARCH模型不是基于贝叶斯方法,而是仅基于极大似然法,潘海涛 4利用M CM C(马尔科夫蒙特卡洛)方法对资产收益率进行GARCH建模进而计算VaR,结果显示M CM C方法优于极大似然法,但是其研究并没有涉及到投资组合的风险度量;张杰,刘伟 5利用时变Copula函数对上证指数和恒生指数的相关性进行了研究,得出时变Copula优于常系数Copula模型,但其仅使用了时变正态Copula函数;宁红泉 6采用时变Copul
4、a和GARCH模型相结合进行VaR度量,结果显示时变Copula估计VaR明显优于常系数Copula,但其GARCH模型假设的条件残差分布为T分布,而没有尝试偏T分布和偏广义误差分布;傅强,彭选华 7利用M CM C方法对多元时变Copu-la和GARCH模型进行参数估计,发现M CM C方法优于经典的IFM法;杨楠,邱丽颖 8利用时变Copula对我国资产储备结构进行了研究,但仅考虑了时变T- Copula函数;吕蒙 9利用M CM C方法和时变Copula模型对债券市场风险进行了研究,同样得出了时变Copula在度量VaR上的优越性,但其GARCH模型止于极大似然法;程利 10利用贝叶斯和
5、Copula函数相结合对沪深股市进行了研究,但止于常系数Copula函数;梁露子 11利用时变Copula和Vine- Copula对中外股市相依性进行了研究,但其GARCH模型的均值方程假设为AR( 1)过程,可能存在模型假设失误而导致的偏差;王培辉,等 12利用时变Copula- CoVaR模型对我国保险业的系统性风险溢出效应进行了研究,也得出来时变Copula在度量金融资产相关结构方面的显著优势。通过文献整理发现,基于贝叶斯对GARCH模型建模和时变Copula相结合的方法的研究相对较少,基于此方法研究开放式基金的文献更是少之又少。因此本文采用基于贝叶斯理论的M CM C方法,结合时变C
6、opula模型对开放式基金投资组合的VaR进行了研究,实证表明确实取得了较好的效果。二、单个基金收益率序列边缘分布及参数估计由于金融收益率序列通常具有高峰厚尾及波动集群性,因此可以采用广义条件异方差( GARCH)收稿日期: 2017- 07- 09基金项目: 湖南省创新平台开放基金(项目编号432)作者简介: 杨湘豫( 1964 ) ,女,湖南长沙人,湖南大学数学与计量经济学院教授,研究方向:金融数学。万方数据财经理论与实践(双月刊) 2018年第1期模型对边缘分布进行建模,分别使用正态分布、学生t分布、偏斜t分布、广义误差分布和偏斜广义误差分布对条件残差进行建模,最终选择了残差分布为偏斜t
7、分布的GARCH模型来估计单个基金收益率的边缘分布。 GARCH ( 1, 1 )- Skewed- t 10模型如下:rn, t = n + n, t n = 1, 2, t = 1, 2, T n, t = h1/ 2n, t n, thn, t = n, 0 + n, 1 2n, t- 1 + nhn, t- 1( 1) n, t | It- 1 Skewed- t( z| v, ) =bc ( 1 + 1v - 2( bz + a1 + ) 2 ) - v+ 1/ 2 , z - abbc ( 1 + ( ) 2) - v + 1/ 2, z - ab( 2)a = 4 v - 2v
8、- 1, b = 1 + 3 2 - a2c = ( v + 1/ 2) ( v/ 2) ( v - 2)( 3)其中, v,分别为自由度和偏度参数,并有4 v 30 ; 0代表左偏, 0代表右偏; rn, t为第n个基金的收益率; It- 1为t- 1时刻的信息集。采用M CM C方法对GARCH模型的参数进行估计:假设参数 ,相互独立,并且先验分布均为正态分布 5 ,则: N 2 ( , ) , N( , ) ( 4) = ( 0 , 1 ) T , = ( , ) , = ( 1 , 2 , , T ) , =diag ( ht ( ) ) , t = 1, 2, , T ( 5)其中h
9、t ( ) = 0 + 1 2t- 1 + ht- 1 ,可得似然函数:f( | ) = det ( ) 1/ 2 exp ( - 12 T - 1 )( 6)根据贝叶斯公式有: f( | ) f( | ) f( ) ,根据 ,相互独立的假设,可得到后验分布:f( | ) ( det ( ) ) 1/ 2 exp - 12 T - 1 N2 ( , ) I 0 N( , ) I 0 ( 7)其中, , 0是为了保证协方差矩阵的正定性。利用M - H算法对参数进行迭代:记初始值 0 = 0 , 0 ,第j次迭代结果为: j p( | j- 1 , ) , j p( | j , ) ( 8)三、投
10、资组合联合分布模型及参数估计为了刻画金融时间序列之间的时变相关结构,选择了如下三种二元时变Copula模型 2 :( 1)二元时变Normal Copula函数CN ( u, v, t ) = - 1 ( u)- - 1 ( v)- 12 1 - 2texp ( - ( r2 + s2 - 2trs )2( 1 - 2t ) ) drds ( 9) t = ( + t- 1 + 1q qi= 1 - 1 ( ut- i ) - 1 ( vt- i ) ) ( 10)其中, - 1 ( )为标准正态分布函数的逆函数, t ( - 1, 1)为相关系数。 ( x) = 1 - e- x1 + e-
11、 x 。( 2)二元时变Rotated Gumbel Copula (简称RG- Copula)函数CRG ( u, v, t ) = exp - - ln ( 1 - u) t + - ln ( 1 - v) t 1/ t ) t = ( + t- 1 + 1q qi= 1| ut- i - vt- i | ) ( 11)其中 t ( - 1, 1)为相关系数, ( x) =11 + x2 。( 3)二元时变Symmetrised Joe- Clayton Copula(简称SJC- Copula)函数CSJC ( u, v| Ut , Lt ) = 0. 5 CJC ( u, v| Ut
12、, Lt ) +CJC ( 1 - u, 1 - v| Ut , Lt ) + u + v - 1( 12)其中CJC为Joe- Clayton Copula函数的分布函数且:CJC ( u, v| Ut , Lt ) =1 - 1 - 1 - ( 1 - u) t - t + 1 - ( 1 - v) t - t - 1 - 1/ t 1/ t ( 13)其中 t = - 1/ log2 ( Lt ) , kt = 1/ log2 ( 2 - Ut ) , Ut , Lt分别为上下尾部相关系数,其演变方程分别为: Ut = ( U + U Ut- 1 + U 1q qi= 1| ut- i
13、- vt- i | ) Lt = ( L + L Lt- 1 + L 1q qi= 1| ut- i - vt- i | )( 14)其中 ( x) = 11 + e- x为修正logistics变换。四、实证研究(一)样本选取及初步处理本文选取开放式基金累计净值较靠前的三只基46万方数据2018年第1期(总第211期)杨湘豫,李强:基于贝叶斯方法与时变Copula模型的基金风险的度量金:易方达创业板ETF( 159915) 、华夏上证50ETF( 510050) 、华夏中小板ETF( 159902) ,选取日期为2012- 01- 04至2017- 7- 19,选取每日收盘价pt为样本数据,
14、共计1345组,转化为收益率之后为1344组,其中,对数收益率( % ) rt = 100 ln ( pt/ pt- 1 ) ,其描述性统计见表1。根据表1,可以看出这三组序列明显不服从正态分布,具有明显的高峰厚尾性,且为不对称分布,另外通过LM - ARCH检验发现序列存在自相关性,因此可以尝试用GARCH模型对以上三组序列进行拟合。表1各基金收益率序列的描述性统计表样本均值最大值最小值标准差偏度峰度J- B统计量P值创业板ETF 0. 0603 9. 53 - 10. 56 2. 409 - 0. 497 6. 964 935 0. 00上证50ETF 0. 0385 8. 091 - 1
15、0. 52 1. 623 - 0. 502 10. 25 3001 0. 00中小板ETF 0. 0393 9. 531 - 10. 55 2. 024 - 0. 818 9. 996 2890 0. 00(二)收益率序列边缘分布拟合采用极大似然法( M L)对三组收益率序列分别基于GARCH ( 1, 1)- normal、 t、 skewed- t、 GED和SGED进行建模,下面给出易方达创业板ETF收益率序列的参数估计结果,见表2和表3。表2易方达创业板ETF收益率序列均值方程定阶表模型ARM A( 0, 0) ARM A( 1, 0) ARM A( 0, 1) ARM A( 1, 1
16、)AIC 6180. 327 6181. 425 6181. 301 6080. 839根据表2和表3,可以得出基于ARM A( 0, 0)-GARCH( 1, 1)- Skewed- t模型是相对最优的。对中小板ETF和上证50ETF建模,得到了相同的结论。下面采用基于贝叶斯的M CM C法对易方达创业板ETF收益率序列进行GARCH建模,选取参数 ,的先验分布的初始值为 N 2 ( 00,diag ( 1000, 1000) ) , N( 0, 1000) ,运用R语言,模拟两条链,每条迭代5000次,得到参数的轨迹图和核密度见图1。表3易方达创业板ETF收益率序列基于M L的GARCH(
17、 1, 1)参数估计统计表 0 1 Shape Skew LnL AICNormal 0. 0081 0. 0263 0. 0453 0. 9484 - - - 2827 4. 2131t 0. 0457 0. 0209 0. 0600 0. 9370 6. 6513 - - 2793 4. 1631Skewed- t - 0. 0021 0. 0169 0. 0621 0. 9367 7. 1735 0. 8743 - 2787 4. 1560GED 0. 0355 0. 0241 0. 0532 0. 9419 1. 3721 - - 2798 4. 1709SGED - 0. 0152
18、0. 0211 0. 0568 0. 9396 1. 4319 0. 8720 - 2791 4. 1629图1华夏中小板收益率序列基于M CM C的GARCH( 1, 1)参数估计56万方数据财经理论与实践(双月刊) 2018年第1期由图1可见各参数的两条迭代轨迹是基本重合的,并且迭代1000次左右时已经基本收敛。各收益率序列基于M CM C参数估计结果统计见表4。表4华夏中小板ETF收益率基于M CM C的GARCH( 1, 1) - Skewed- t参数估计表参数 0 1 创业板ETF 0. 06269 0. 09260 0. 90445上证50ETF 0. 05434 0. 1363
19、3 0. 89561中小板ETF 0. 05693 0. 09047 0. 90064(三)基于M CM C和M L方法估计收益率的VaR为了比较M CM C和M L法的优劣性,分别计算基于两种方法的VaR。下面给出创业板和中小板ETF基于两种方法的置信水平为95%的VaR,见图2。根据图2可知,基于M CM C方法估计的VaR基本包括了基于M L方法可能发生的损失,并且创业板基于M CM C和M L方法估计的失败天数分别为72和90,中小板基于M CM C和M L方法估计的失败天数分别为78和87;均为M CM C方法的失败天数更接近期望失败天数( 1344 5% = 67. 2) ,从而从
20、两个方面说明了M CM C方法更有效。图2创业板(左)和中小板(右) ETF基于M CM C(虚线)和M L(实线)的VaR图(四)运用Copula函数对联合分布建模及参数估计本文选取了9种常系数和3种时变Copula函数分别对3组基金收益率两两相关关系进行研究,下面给出易方达创业板和华夏上证50ETF的Cop-ula参数估计表,见表5和表6。表5易方达创业板和华夏上证50ETF常系数Copula参数估计表模型参数估计值LnL AICNormal Copula 0. 4354 141 - 282Clayton Copula 0. 6960 139 - 279Rotated Clayton Co
21、pula 0. 5636 99 - 198Plackett Copula 4. 3794 145 - 290Frank Copula 2. 9711 132 - 265Gumbel Copula 1. 3822 132 - 263Rotated Gumbel Copula 1. 4203 163 - 326Student s t Copula v 0. 45094. 4947 165 - 331SJC- Copula Ut Lt0. 19410. 3436 167 - 334根据表5和表6,可见时变SJC Copula函数是相对最优的。为了更直观地说明金融资产之间的相关结构及演变过程,下面给出
22、创业板和中小板ETF的SJC Copula的上下尾部相关系数的演变图。为了研究投资组合的VaR,需要确定各资产的投资权重。利用收益率的历史信息可以得出相应的胜出次数,并以此为先验信息,利用贝叶斯方法可以得出投资权重的后验分布。以创业板和上证ETF投资组合为例,胜出次数分别为684和660次,胜出比率为57 55。设转移概率向量为p = ( p1 , p2) = ( 1 + 2 ,1 - 2 ) ,由先验条件知 0 ,后验分布: p( | x1 , x2)= T!x1 !x2 !px11 px22 ,其中xi , i = 1, 2为第i组资产收益率胜出次数。模拟10000次,并舍去前2000次,
23、取两组模66万方数据2018年第1期(总第211期)杨湘豫,李强:基于贝叶斯方法与时变Copula模型的基金风险的度量拟结果, 的均值分别为0. 069和0. 029.根据图4可见是收敛的,并且很接近0,是符合先验条件的。由的取值可以确定投资组合1的两种投资权重分别为0. 5345 0. 4655和0. 51470. 4853。然后运用时变SJC- Copula采用M CM C方法分别对上述两投资组合每日期望收益率模拟2000次,可得置信水平为95%的VaR,见图5。表6易方达创业板和华夏上证50ETF时变Copula参数估计表 LnL AICNormal Copula 1. 3502 0.
24、173 - 1. 057 143 - 286RG- Copula 2. 2880 - 0. 426 - 4. 059 214 - 429SJC- Copula upper tailSJC- Copula lower tail1. 35803. 9899- 11. 95- 12. 680. 5444- 4. 316 227 - 455图3创业板和中小板ETF SJC Copula的上下尾部相关系数走势图图4 的收敛路径(左)和分布图(右)图5 VaR基于时变SJC- Copula投资组合 = 0. 069(左)和 = 0. 029(右)Kupiec检验失败天数分别为63和67,都很接近期望失败天
25、数67. 2,并且Kupiec检验统计量分别为0. 27和0. 062均小于3. 8415 21 ( 0. 05) ,说明了使用该模型计算出来的VaR能准确度量投资76万方数据财经理论与实践(双月刊) 2018年第1期组合的风险。五、结论在采用贝叶斯方法和时变Copula模型相结合的主方向上,首先利用基于贝叶斯的M CM C方法对单个基金收益率边缘分布进行GARCH建模,比较并最终选取条件残差分布为偏T分布的GARCH( 1, 1)模型,并分别根据M L和M CM C估计出来的GARCH模型估计单资产VaR,比较发现, M CM C方法明显优于M L法,然后利用贝叶斯方法对投资组合权重进行后验
26、模拟,通过比较AIC、BIC和对数极大似然值,选取时变SJC- Copula函数对投资组合的VaR进行度量,结果发现Kupiec检验失败天数非常接近期望失败天数,并且Kupiec检验极大似然统计量均小于临界值,说明了本文建立的模型度量基金组合的市场风险是非常有效的。参考文献: 1 韦艳华,张世英,孟利锋. Copula理论在金融上的应用 J .西北农林科技大学学报(社会科学版) , 2003, 3( 5) : 97- 101. 2 Patton A J. M odelling time- varying exchange rate dependenceusing the conditional
27、 copula M . San Diego: University of Cal-ifornia, 2001: 118- 124. 3 罗付岩,邓光明.基于时变Copula的VaR估计 J .系统工程, 2007, 25( 8) : 28- 33. 4 潘海涛.时间序列在股指波动性建模中的应用 基于M C-M C方法的GARCH模型参数估计 D .西安电子科技大学,2009. 5 傅强,彭选华.基于M CM C算法的时变Copula- GARCH- t模型参数估计及应用 J .数量经济技术经济研究, 2011( 7) : 90- 105. 6 张杰,刘伟.基于时变Copula的股票市场相关性分
28、析 J .商业经济, 2010( 7) : 66- 67. 7 杨楠,邱丽颖.我国国际储备资产的最优结构研究 基于时变Copula及VaR的投资组合模型分析 J .财经研究,2012( 5) : 15- 27. 8 宁红泉.基于时变Copula的风险价值度量 J .重庆科技学院学报(社会科学版) , 2012( 13) : 66- 67. 9 吕蒙.基于时变Copula与M CM C方法的债券市场风险实证研究 D .广西师范大学, 2013. 10程利.基于贝叶斯- Copula的金融市场相关性分析 D .湖南大学, 2014. 11梁露子.中外股市的相依性提高了吗? D .西南财经大学,20
29、16. 12王培辉,尹成远,袁薇.我国保险业系统性风险溢出效应研究 基于时变Copula- CoVaR模型 J .南方金融, 2017( 2) : 14- 24.(责任编辑:铁青)M easurement of Fund Risk Based on BayesianM ethod and Time- varying Copula M odelYANG Xiangyu, LI Qiang( College of M athematic and Economics , Hunan University , Changsha, Hunan 410082, China)Abstract: The M
30、CM C method based on Bayesian theory is used to carry out the GARCHmodeling on the return of single fund and the portfolio weights posterior simulation. And thenthe portfolio s VaRs are calculated based both on the time- varying Copula, and maximum likeli-hood method for comparison. The empirical results show that the measurement based on BayesianCopula to measure the risk of open- end fund investment portfolio is more effectively.Key words: Bayesian; time- varying Copula; M CM C, VaR86万方数据