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1、第47卷第3期2016年3月中南大学学报(自然科学版)Journal of Central South University(Science and Technology)Vol 47 No 3Mar 2016DOh 1011817jissn16727207201603012基于Bootstrap技术的相干信源数估计刘鲁涛，冯凯(哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，黑龙江哈尔滨，150001)摘要：针对信号源相干的问题，采用窄问平滑技术对信号源去相关得到等效协方差矩阵，提出2种信源数检测的方法，一种是基于等效协方差矩阵特征值的一系列假设检验，另一种是将等效阵列信号协方差矩阵分别投影到信号的特征子
2、卒问和噪声的特征子窄间，以特征空间投影为基础的假设检验。数据的分布未知，并且应用Bootstrap方法估计零假设下提出的检测统计量的分布。通过信噪LL(RsN)、快拍数、角度分辨率变化等情况下的仿真，验证所提方法的有效性。研究结果表明：所提算法在低信噪比及小样本数量的情况下，性能比其他算法的性能好。关键词：相干源；空间平滑：Bootstrap；假设检验中图分类号：TN91 123 文献标志码：A 文章编号：16727207(2016)03079307Coherent source signal detection using Bootstrap techniqueLIU LutaoFENG K
3、ai(School of Information and Telecommunication，Harbin Engineering University，Harbin 1 5000 1，China)Abstract：The spatial smoothing technology was used to get rid of signalscoherent，and the equivalent covafiancematrix was obtainedTwo approaches based on Bootstrap technique were proposed for developing
4、 source numberdetection methodsOne method formulated a sequential hypothesis testing based on the eigenvalues of the equivalentcovariance matrixThe other source method was a hypothesis testing based on eigenspace projection，whose equivalentarray signal covafiance matrix was projected from signal sub
5、space to noise subspace As no assumption was made on thedistribution of the data，the Bootstrap was used to estimate the distribution at the null of the proposed test statisticsThrough the simulations of different signaltonoise ratio(RSN)，the numbers of snapshots and angular resolutions，it isfound th
6、at the performances of the proposed methods are effective and superior to those of the existing methods in thelow signaltonoise ratio(RSN)and small snapshotsKey words：coherent signal；spatial smoothing；Bootstrap；hypothesis testing空间谱估计在许多应用领域有着重要作用。信源数检测作为信号参数估计的先决条件，是空间谱估计中的热点问题。近年来，空间谱估计研究领域取得了快速的发
7、展，大量改进算法丰富了子空间类算法1_3】。但信源在多径传播和复杂电磁干扰的背景下，会产生大量的相干和强相关信号，相干源个数估计是信源数检测问题中的难点。目前，针对信源的解相干问题相关学者提出不少算法【4_8】，最为常见的为空问平滑及其改进算法。近几年来提出了不少利用Toeplitz矩阵的结构特点来构造数据矩阵的算法：梁浩等5采用垂直放置的L型阵列，通过对重构的Toeplitz矩阵进行特征分解，得到对应的噪声子空间；甄佳奇等【6】针对大收稿日期：2015-0316：修回日期：201 5 05 23基金项|(Foundationitem)：国家自然科学基金资助项目(61201410)(Proje
8、ct(61201410)supposed bytheNationalNatural ScienceFoundation ofChina)通信作者：刘鲁涛，博十，副教授，从事宽带信号处理、检测与识别研究；E-mail：liulutaemsn com万方数据794 中南大学学报f自然科学版) 第47卷多数解相干算法只能应用线阵而不能应用于均匀圆阵，利用空问差分方法和矩阵重构相结合来估计相干信号；闫康等【7 J提出基于面阵的相干信源解相干问题，利用矩阵重构降低相干源对阵列协方差矩阵的秩的影响：王凌等8】利用阵列接收数据之间的互相关信息，构造出2个Toeplitz矩阵形式的等效协方差矩阵，通过对新矩阵
9、做一次特征值分解，即可实现解相干；毛维平等9】沿轴向对阵列进行虚拟平移，利用空间平滑技术处理数据以恢复协方差矩阵的秩，实现相干信号解相干。在许多实际系统中，高斯数据和大样本数量的假设无法满足，GU等【l o】提出了一种基于假设检验的替代方法，首先通过空间平滑对信号源去相关，然后进行假设检验。本文作者同样对信号源采用空间平滑技术去除相关性，得到等效协方差矩阵，对等效协方差矩阵进行变换，得到不同的变量，分别进行假设检验。在零假设下检验统计量的分布使用Bootstrap方法来估计11 12，这种方法对高斯分布和大部分非高斯分布均有效。因此，新方法的优点是可以解决不满足高斯分布和渐进条件下的问题。1数
10、据模型考虑个远场窄带信号，入射到M维空问均匀线阵，d=212，且入射方向为Ol，ON。假设MN，信源数为未知估计量，从传感器阵列接收的快拍数为的零均值数据1 31表示为x(t)=AS(t)+(f)(t=l，L) (1)式中：x(f)=Ixl(f)，xM(f)T为阵列输出矩阵； 噪声矢量为(f)=Inl(f)，门M(f)T；信号矢量为s(f)=s1(吐，J(，)T；A=口(岛)，a(氏)为导向矩阵。当加性噪声为零均值的空间均匀白噪声时，各传感器噪声能量dr2相同，其协方差矩阵Q满足Q=EN(t)NH(f)=dr2I (2)式中：()H为矩阵的共轭转置算子；I为单位矩阵。信号和噪声假设是不相关的，
11、且各自分布未知，阵列协方差矩阵为R=EX(t)XH(f)_ARsA+Q (3)其中：Rs=ES(t)SH(t)为信号协方差矩阵。接收信号假设为零均值高斯过型13】。若为JV个独立的信号源，则rankg=N，对矩阵进行特征值分解2N2N一1五M，则可得到个较大的特征值和M一个等于盯2的特征值，因此，对信号源数的估计转换为求最小的相等特征值的数量。若信号中存在相干源，则信号协方差矩阵的秩rankRN，子阵列数p，则可将个相干信源转变为个独立信源。此时，有效阵元数将减少至m。22前后向平滑后向子阵列输出的矢量x：_f+1可表示为x：-+l=t剃，矗。-2，x；lT(唧，P一1，1)(6)得后向平滑的
12、信号协方差矩阵月6141为R6=击艺群 (7)，f=l前后向平滑处理后，阵列协方差矩阵等效为Rbf=妻(曰6+R，) (8)Z式中：R可为前后平滑后的等效协方差矩阵。个信号源，其中有，个相干源，最小的子阵列数P一J2，可将平滑协方差矩阵的秩恢复为，此时，最小阵列数为MIlli。=P+NJ2+N。对相关信源去相关后，可对信号进行准确的信源个数估计。万方数据笙i塑 型量蓬：量!垦王旦!坐堡塑堇查塑塑：上!i塑塑笪堕 !利用现在样本来模拟总体分布，避免了对数据分布做3 相干源算法估计原理 出假设。Bootstrap技术重采样数据集进行推理，避免了在小样本情况下渐进分布估计的错误。其核心步骤31基于特
13、征值的假设检验 是：先建立样本集，再重采样得到Bootstrap数据集，对等效协方差矩阵做特征值分解得 执行检验推理。本节给出EBs(基于特征值的假设检验)Rbf：UZUH (9) 方法，该方法应用特征值构造新的检测统计量易，从式中：三和u分别为阵列信号塑方差矩譬特笙苎孕璧 而形譬磊荔裂冕罢雾蓑羹娄竿犁篡鋈篱孰中，即需的全部信息，对特征值五进行排序，即 x(1)，x(2)，x()A知如+lm (10)最小的mN个特征值代表了噪声空问，只需同时检验对应于噪声空间的特征值，就可推导出信源数。这个过程可被描述为Ho：=如=五。=0Hj：2i+l=21+2=五i+=0 (11)Hml：五。=0检验应从
14、塌开始，若被接受，则意味着=易一厶，没有信号源存在，即信号源数N=0，若凰被拒绝，则相对的凰：(矗0 oror厶0)被接受，意味着至少存在1个信号，然而没有具体信息能够说明存在信号数量。因此，通过逐步检验假设H，最大的特征值的作用被减小。当某一假设成立或达风，时，检验停止。对于给定的显著水平口，当没有信号存在时，正确检验出N=0的概率被维持在1一口。因此，每个假设都在全局显著水平口下被检验。为进行式(11)的假设检验，给出检验统计量E为厂1 m 、，m xll(,i f)耻l志三。以H盟。扎J 俨o，舻D(12)检验统计量为特征值算术均值和几何均值的差异，在实际中，若所有的特征值对应于噪声空间
15、，则检验统计量将非常小，甚至接近于0，否则将较大。32 Bootstrap对渐进分布的估计进行假设检验的显著度估计需要检验统计量零假设下的分布知识，用Bootstrap技术来进行空域下的非参数估计。Bootstrap技术由EFORN等1 51在使用传统方法计算置信区间失效时引入，近年来该方法在信源数检测方面颇受关注，其主要采用有放回的重采样方法计算变量的统计特性，使一组样本变为多组样本，相当于增大了样本容量，这样可充分利用样本信息，在原始数据中随机抽取阵列快拍，作为新的快拍数据，每个快拍被抽取到的概率相同，为1亿，新的Bootstrap数据阵列为X(1)，X4(2)，X+)通过B次Bootst
16、rap方法重采样得到日个重采样样本，第b个重采样样本为Xb(f)(b=l，B；t=-I，)。分别计算数据X(t)得到检验统计量E和重采样样本砖(f)的检验统计量耳(6)，文献1516阐述了零假设下的检验统计量E的经验分布估计为掣(b)=Ei+(6)一Ei(b=1，B) (13)文献【1516中假设检验的显著度定义为耻古翱局Il掣1) (14)式中：)为指示函数。假设，显著水平为口，从i=0开始，若Re；口则4,被接受，否则，设i=i+1并且重复检验。可以认为显著水平口为调整参数，当没有信号存在时，口维持在很小的数值(一般小于5)以减少错误检测概率。在小样本数、高信噪比或弱相关等理想情况下，通过
17、减小口，能增大Bootstrap检测的概率16。33 基于特征投影的假设检验信源数估计方法Rb的聊一N个最小的特征值是噪声方差的估计值，由式(3)得R可=A吖H，ARs6眷l+盯2J (15)其中：A 7为爿去掉第m项到第M项；6j为爿7的行矢量。则阵列协方差矩阵可表示为R可=UXUH=Us三su+UNXJvu品 (16)其中：U可表示为U=Ul，一，“。，其中U，为曰的特征矢量，R的特征值从大到小排列，按与其对应的特征值排列，求Rb在U的投影UH曰可，其i列为：只=【Pli，P。 (17)万方数据796 中南大学学报(自然科学版) 第47卷P=I舅，己J-UHA矿，UHA 7Rs础1+O-2
18、， (18)由于信号特征子空间与导向矢量在同一空间内，对应的投影的模p时I应为相对较大的值。由于特征子空间与导向矢量正交，对应的投影P。；的模在理论上为0，而实际上常为相对较小的值。投影还可以表示为沪曰酽=呱UNH Us,S,s皑+UNX_u列=嘲 ，J矗蚓J 、由式(19)可知：Rbf在U的投影为UH，因此，可用U估计目标数。Hj表示为i=甜l，“。f】T。UH第k行元素模kI的均值为网=翘mI (20)基于上面的分析kI按大小分为2组，大的一组对应信源，因此，基于其所包含的信息，可以分离出信号和噪声空间。进行与式(11)类似的一系列独立的假设检验。实际估计信源数从凰开始，当前假设被拒绝时进
19、行下一个假设，直至接受为止。风：=蚓=kI=0；川“川l=kzI一一k。I=0 (21)：叫：kl=0显著水平与式(11)的髓相同，与式(12)相似，使用如下的检测统计量K：， 、， 、上K 2(熹熹。网j一(直，网厂(i-o，m一1) (22)若特征矢量对应噪声空间，则检测统计量K接近0。本节给出基于特征投影的假设检验信源数估计方法，PBS(基于特征投影的假设检验)方法，与前文EBS方法不同之处在于，这里的检测统计量是基于特征投影形成的。与前文提到的B次Bootstrap方法重采样得到曰个重采样样本相同，第b个重采样样本为磷(f)(b=l，日；t=-i，上)。分别计算数据x(t)得到检验统计
20、量K和重采样样本Xb(f)的检验统计量K+(6)，K的分布I；：H估计为KH(b)=巧+(6)一K(b=l，B) (23)与式(14)类似，假设检验的显著度Ei定义为耻去聿，(I眯似)I) 斜，从i=O开始，若足f口，则岛被接受，否则，设i=i+1并且重复检验。4仿真结果利用计算机仿真试验来进行算法的性能分析、比较、并验证算法的有效性。考虑线性均匀阵列，阵元数M=-8，快拍数L=1 00，2个等功率相干的信号分别从10。和24。的方向辐射到阵列上，重采样次数B-100，检验显著度为口=2，M个阵元噪声之间相互独立，信噪比定义为熙N=1019(P。昂)，尸s为信号功率，R为噪声功率，蒙特卡洛实验
21、次数为1 000次。对阵列协方差矩阵空间平滑处理去相关时，子阵列的阵元数为m=5，将基于特征值的假设检验方法简称为EBS，将基于特征投影的假设检验方法称为PBS，与信息论准贝,iJ(MDL)、盖世圆的方法17I(GDE)和同类Bootstrap方法的疋检测器(简称为BBS)对比【l 81。取盖氏圆方法中的D()=0，05。图1所示为在空间相干高斯信号和空间均匀高斯噪声的条件下，检测器性能与信噪比的关系对比图。信噪比从一15 dB变化到20 dB，快拍数为100。由图1可以看出：进行去相关处理后再进行信源数估计，得到的效果较理想。EBS和PBS方法性能优于其他算法性能，EBS算法性能最优。在低信
22、噪比下，基于Bootstrap技术的算法检测性能明显高于其他算法的性能。在高信噪比的条件下，EBS和PBS算法的正确检测概率接近100。鎏静塞嚣熊匿邕信噪比月sNdB算法：1一BBS：2一EBS：3一PBS；4-GDE；5一MDL。图1 高斯数据下改变RsN的检测器正确检测概率Fig1 High detecting probability of detection at different RSNwith Gaussian data万方数据箜i塑 型量蓬：箜!茎王曼!竺堕塑堇查笪塑王笪塑塑笪望： ：12：!图2所示为本文所提出方法在信源功率不相等的 高，检测器的性能得到提高。当快拍数为2010
23、0时，情况下的检测性能。信号源为分别从10。和24。入射到 基于Bootstrap技术的3种检测器(BBS，EBS和PBS阵列上的2个相干高斯信号，从100入射的信号的信 算法)的检测性能均高于MDL和GDE方法的性能。噪比为0 dB，从240入射的信号的信噪比为010 dB， 这说明基于Bootstrap技术的算法在小快拍数的情况下噪声为空间均匀高斯噪声，其他条件不变。由图2可 性能优于其他算法的性能，其中EBS算法性能最优。以看出：当信噪比的差异大于5 dB时，检测器的性能 图4所示为角度分辨率对检测器性能的影响，其开始下降，但EBS算法性能仍优于其他算法的性能： 中信噪比为10 dB，快
24、拍数为100个。2个相干信号源，当信噪比差达10 dB时，EBS算法的正确检测概率仍 一个从10。入射到阵列上，另一个的入射方向从10。能到达70。信源信噪比不同对GDE算法和MDL准 变化到24。从图4可以看出：检测。lIq土4-zR匕P,随着角度分则影响较大。 辨率的增加而提高，基于Bootstrap技术的检测器的角图3所示为高斯数据下改变快拍数的检测器性 度分辨率优于其他算法的分辨率，其中EBS的最优。能，其中相干信号源功率相等，为0 dB，快拍数从20 在高角度分辨率时，EBS和PBS方法的检测器性能到个变化到300个。由图3可以看出：随着快拍数的提 达100，是一致估计，但是BBS不
25、是一致估计。还诗墨熙轺堰甘信噪比差仳【iB算法：lBBS；2一EBs；3一PBS：4GDE；5一MDL。图2信源功率不相等情况下的检测器正确检测概率Fig2 High detecting probability of detection at differentsource powers10080爵60墼释蓬40肖50 1 U【) I)0 二) 二j0 3(1快扪数，算法：1一BBS；2一EBS；3一PBS；4GDE：5MDL。图3 高斯数据下改变快拍数的检测器正确检测概率Fig3 High detecting probability of detection at differentnumb
26、ers of snapshots with Gaussian data要薅鼙菅篷露肖角度分辨率算法：1一BBs；2一EBS；3一PBS；4一GDE；5一MDL。图4高斯数据下改变角度分辨率的检测器正确检测概率Fig4 High detecting probability of detection at differentangular resolutions with Gaussian data图5所示为拉普拉斯信号下改变信噪比的检测器性能，其中相干信号源为拉普拉斯信号，噪声为空间均匀高斯噪声。图6所示为拉普拉斯噪声下改变信噪比的检测器性能，其中相干信号源为高斯信号，噪声为空间均匀拉普拉斯噪声
27、。2个等功率相干的信号分别从100和240的方向辐射到阵列上，快拍数为100个，信号信噪比从一15 dB变化到20 dB。信息论准则是在高斯数据假设下的一致估计。如前文提到的，Bootstrap技术对数据分布做出估计时，不需要对数据分布做出假设，所以当信号源或者噪声不满足高斯分布时，基于Bootstrap技术的检测方法仍然有效。由图5和图6可知：基于Bootstrap技术的检测器性能同高斯数据的情况下相似，说明检测器的鲁棒性。图7所示为不同显著水平口下的检测概率。显著水平口被认为是一个调整参数。当没有信号存在时，万方数据798 葑人。报(自然科学版) 第47卷摹饕鼙嚣鲤堰借拉普拉斯信号信噪比R
28、sNdB算法：1一BBS；2一EBS；3 PBS；4一GDE；5一MDL。图5拉普拉斯信号下改变RsN的检测器正确检测概率Fig5 High detecting probability of detection at different RsNwith Laplacian signals更斟娶嚣熊篷叫拉普拉斯噪声信噪比Rs。dB算法：1一BBs；2一EBs；3一PBs：4一GDE；5一MDL。图6拉普拉斯噪声下改变RsN的检测器正确检测概率Fig6 High detecting probability of detection at different尺sNwith Laplacian noi
29、se装潞墨屡蜒攫憎信噪比RsNdBlEBS， 口=2；2一PBS， 口=2；3一EBS， 口=5；4一PBS，口=5。图7不同口的检测器正确检测概率Fig7 High detecting probability of detection with different口口维持在很小的数值以减少错误检测概率。从图7可以看出：在相同条件下，口=5的错误检测概率比口=2时的低，但减少的幅度并不显著。所以，通常情况下口的取值一般小于5虽IJ可。但随着显著水平a的降低，需更多的重采样样本来进行估计，并且计算量增加。图8所示为重采样数B对检测器性能的影响。以EBS检测器为例，分别实验在B=50，200和1
30、000情况下的EBS检测器性能。从图8可以看出：随着重采样数曰的增多，检测器性能得到改善，但是改善不显著。这是因为重采样数越多，相当于样本数量越大，对检测统计量分布的估计越准确。但重采样数的提高同时也增大了计算量，曰越大，所需计算时间越长。B=1 000的计算时间基本为B=200时的4倍。一般情况下，B的取值范围为50200，同时满足计算时间和分布估计准确性的要求：透锫娶燕篓穰措信噪比RsNdB曰：150：2200；3一l 000。图8不同曰下检测器正确检测概率Fig8 Hi曲detecting probability of detection with different B5结论1)所提出
31、的假设检验统计量在空域下的分布用Bootstrap方法进行估计。仿真结果表明，所提出的算法在小样本数量的情况下，性能优异。2)当数据为非高斯数据、低信噪比、信源功率不相同等不理想的条件下，所提出的算法仍然有效。因此，在相干信源数估计问题中，提出的检测模型性能优于其他算法的性能。参考文献：【l】 王鼎，吴瑛多子阵互耦影响下的鲁棒自校正算法J】系统万方数据笙!型 型量蓬：笠!茎王旦!堕堕!垫查盟塑王笪塑塑笪i!： !竺竺工程与电子技术，2011，33(6)：1204-1211WANG DingWU YingRobust self-calibration algorithm formultiple
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33、chnology,2012，34(2)：382-3873 刘俊，刘峥，谢荣，等互耦条件下米波雷达角度估计的自校正算法J电波科学学报，2011，26(6)：10461051LIU Jun，LIU Zheng，XIE Rong，et a1Auto-calibration angleestimation algorithm for VHF radar in the presence of mutualcouplingJChinese Journal of Radio Science，201 1，26(6)：1046-10514 徐友根，刘志文修正的虚拟空间平滑算法J电子学报，2009，37(1 2)
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