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1、 第 52 卷第 9 期 2016 年 5 月 机 械 工 程 学 报 JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING Vo l.52 No.9 May 2016 DOI： 10.3901/JME.2016.09.184 基于斜角切削的曲线端铣切削力建模*罗智文 赵文祥 焦 黎 高守锋 刘志兵 颜 培 王西彬 (北京理工大学先进加工技术国防重点学科实验室 北京 100081) 摘要：切削力预测是制定与优化加工工艺的重要环节。针对曲线端铣加工过程，提出一种基于斜角切削的切削力建模方法。将刀具沿轴向微分，以曲线微分几何计算微元刃上的工作基面。在微元刃的工作法平面参考系中，应用最
2、小能量原理，构建微元刃中力矢量、速度矢量、流屑角、法向摩擦角、法向剪切角及剪应力等切削参数之间的约束。以单齿直线铣削试验对切削参数进行标定，其中法向摩擦角、法向剪切角及剪应力等可表示为瞬时未变形切屑厚度的函数。选取 高强度钢 PCrNi3MoVA 试件，分别进行圆弧和 Bzier 曲线端铣加工试验。试验结果表明，曲线端铣时切削力的变化与瞬时进给方向和曲线曲率相关。切削力预测值的幅值大小 和变化趋势与试验值一致，验证了该切削力建模方法的有效性。 关键词：切削力；曲线端铣；斜角切削；最小能量原理 中图分类号：TG506 Cutting Force Modeling in End Milling o
3、f Curved Geometries Based on Oblique Cutting Process LUO Zhiwen ZHAO Wenxiang JIAO Li GAO Shoufeng LIU Zhibing YAN Pei WANG Xibin (Key Laboratory of Fundamental Science for Advanced Machining, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081) Abstract：Cutting force prediction is the key issue for pla
4、nning and optimizing the machining process. Based on an oblique cutting process, a novel method for modeling cutting force is proposed in end milling of curved geometries. Differentiating cutter along the axil, the working reference plane for an infinitesimal cutter element is calculated by utilizin
5、g differential geometry of curves. In the reference system of working normal plane, the connection between cutting parameters, e.g., force vectors, velocity vectors, chip flow angle, normal friction angle, normal shear angle and shear stress, is established by the minimum energy principle. Single-to
6、oth straight milling tests are utilized for calibrating the cutting force coefficients, in which normal friction angle, normal shear angle and shear stress can be characterized by the dual-exponential function of instantaneous unreformed chip thickness. Two PCrNi3MoVA components with circular and Bz
7、ier curved geometries are machined. The experimental results show that variation of cutting force is influenced with the instantaneous feed direction and the curvature of the curve. Validity of the cutting force model is demonstrated by comparing predicted cutting forces with the experimental result
8、s. Key words：cutting force；end milling of curved geometries ；oblique cutting process ； minimum energy principle 0 前言*曲线端铣是航空航天、兵器、车辆等工业领域常见的加工工艺，其中切削力是工艺定制中计算切削功率，制定切削用量和 监控切削状态的重要物理量1，是引起刀具磨损、破损、折断以及工件加工变形、失稳的首 要因素。因此，建立曲线端铣时的切削力预测模型，对实现优质高效生产具有重要 意义。 * 国家自然科学基金资助项目(51105035，51375055) 。 20150518 收到
9、初稿，20160104 收到修改稿 HAN等2根据不同的径向切深，把圆角铣削分为五个阶段，将刀齿轨迹近似为圆弧，以迭代法计算了切削力模型中啮合角及瞬时未变形切屑厚度等切削参数。 WU等3消除刀具偏心量的影响，建立了切深连续变化下的圆角切削力模型。李忠群等4推导了最大径向啮合角计算公式，建立了径向切深非均匀变化的圆角切削力模型。 ZHANG等5分析了圆角切削中进给量、轴向切深、径向切深等切削参数变化对切削力的影响。上述基于圆角建立的切削力模型，并不适用于曲率连续变化的曲线端铣加工过程。 SUN等6基于刀齿的摆线运动轨迹，以矢量法月 2016 年 5 月 罗智文等：基于斜角切削的曲线端铣切削力建模
10、 185 计算刀具偏心影响下的瞬时未变形切屑厚度和切触点位置，建立了五轴加工下的曲线切削力模型。 QI等7-8结合铣削路径的曲率变化，分别用New-Raphson迭代算法和有限元法，仿真出铣削摆线轮轮廓的切削力。 WEI等9-10提出了两种进刀方式下的等效进给量及啮合角等参数的计算模型，推导了型腔与曲线端铣中的切削力模型。 YANG等11分别以直线和圆弧逼近求解曲线端削时刀具实际位置，在刀具偏心的影响下计算等效进给量、啮合角及瞬时未变形切屑厚度等切削参数。上述切削力模型系数均以工艺参数为变量，在研究切削过程的内部物理状态 (如 切 应力、剪切角、摩擦角等 )变化对切削力的影响时 ，具有一定的局
11、限性。 谭方浩等12基于 B样条曲线插值法构建刀具 -工件接触区域动态边界，计算切削层面积、接触刃长度、摩擦角等参数，建立了复杂型面切削力模型。ALTINTAS等13分别采用经验模型、最大剪应力以及最小能量原理，以迭代算法求解剪应力、剪切角、摩擦角等切削参数，建立了斜角切削方式下的切削力预测模型。 WA N等14将切削合力投射至法平面参考系，采用最大剪应力原理推导了切削力模型，提出了适用于通用螺旋铣刀的切削力参数标定方法。上述研究忽略了进给方向上的运动，未考虑工作基面变化时对刀具工作角度产生的影响，且其提出的力学模型仅适用于直线车削或直线铣削。 本文针对曲线端铣加工过程，提出一种基于斜角切削的
12、切削力建模方法。将刀具沿轴向微分，以曲线微分几何计算微元刃上的工作基面，在工作法平面中构建切削参数之间的约束。通过单齿直线铣削试验对切削力系数进行标定，在高强度钢PCrNi3MoVA 工件上分别进行圆弧及 Bzier 曲线端铣试验。试验结果验证了该切削力建模方法的有 效性。 1 工作基面的计算 图 1 所示为曲线端铣加工过程示意图。 OXYZ为固定在工件边界处的惯性坐标架，其中刀具端面与平面 OXY 重合。 OXYZ为建立在刀具底部中心O处的移动坐标架，轴 X、 Y分别平行于轴 X、 Y，轴 Z与刀具轴线重合。 f、 n 分别为加工过程中刀具瞬时进给矢量及其法向矢量，起点与 O重合。 将刀具沿
13、轴向微分，以第 j刃上轴向高度 z处的微元刃 Ij, z为研究对象，其中 Oz为微元刃 Ij, z对应的刀具中心点。铣削加工过程中，设 Oz运动轨迹为正则曲线，可用矢量表示为 图 1 曲线端铣加工过程示意图 ( ),() (), (),jzt xt yt z=p(1) 微元刃 Ij, z在移动坐标架 OXYZ中的运动轨迹可用矢量表示为 ( ),( ) cos , sin ,jzRRz =q(2) 式中， 为刀具自转角度； R为刀具半径。显然 qj, z()为正则曲线，因此微元刃 Ij, z在惯性标架 OXYZ中的运动轨迹也为正则曲线，可用矢量表示为 , ,() () ( )jz jz jztt
14、= +r pq(3) pj, z(t)的自然参数表示式为15( ) ( )( ),() (), (),szs xts yts z=p(4) 其中自然参数 ,()d()dttzaatzttttas t tt a=pp(5) 微商 0( ) ()( )= limt,z t,zt,zttt ttt+ ppp (6) 又自然参数 s为正则曲线弧长15，因此有 nz2s zf= (7) 式中， fz为每齿进给量； zn为刀具齿数。式 (4)、 (7)代入式 (3)得 , ,() () ()jz jz jz= +r pq(8) 即为铣削加工时，微元刃 Ij, z在惯性标架 OXYZ中以 为参数的矢量运动轨
15、迹。 在微元刃 Ij, z处，基面 Pr的法向矢量可表示为 r,()jz =nq(9) 机 械 工 程 学 报 第 52 卷第 9 期期 186 工作基面 Pre的法向矢量可表示为 re ,()jz =nr(10) 式中， qj, z()、 rj, z()分别为 qj, z()、 rj, z()的微商，则工作基面 Pre相对于基面 Pr的角度变化 可表 示为 r rer rearccos=nnnn(11) 2 切削力建模 切削力建模及试验，均在 逆铣加工方式 下进行。图 2 为曲线端铣中微元切削力示意图，微元刃在切削角 j, z处的微元切削力可表示为 T , , T, , ,R , , R,
16、, ,A , , A, , ,d ()() ()dd ()() ()dd ()() ()d,j,z jz jz jz jz,j,z jz jz jz jz,j,z jz jz jz jzF u Kh zF u Kh zF u Kh z =(12) 式中， dFT, j, z、 dFR, j, z、 dFA, j, z分别表示微元刃 Ij, z上的切向力、径向力和轴向力； KT, j, z、 KR, j, z、 KA, j, z分别表示切向、径向和轴向切削力系数； dz表示 微元刃高度； h(j, z)表示微元刃 Ij, z在切削角 j, z处的瞬时切屑厚度，可近似表示为16,a ,( ) si
17、njz jzhf=(13) 式中， fa为曲线端铣时等效每齿进给量，可以表示成每齿进给量 fz、瞬时进给向角 k以及曲线曲率 的函数，具体计算方法见文献 10，其中 ,arccosjzjzk=pipi(14) 式中， ( )1,0,0=i为 X 方向上的单位矢量。 u(j, z)为单位阶跃函数 en , ex,12 2 0,1,()0jzjzmmmu + +=其他(15) 式中， en、 ex分别为切入角和切出角。 刀具转动角度 可由切削角 j, z表示为 , p( 1)jz jzkj = + (16) 其中， j, z为微元相对于第 j刃端点处的滞后角 ,tan /jzzR=(17) 式中，
18、齿间角pn2/ z =； ， R， zn分别为刀具螺旋角，半径和齿数。 结合式 (15)，将 dFT, j, z、 dFR, j, z、 dFA, j, z分解到瞬时进给方向 f及其法向 n后，经矩阵 T变换可得微元切削力在惯性坐标架中表达式 X T Y R ZAd () d ()d () d ()d () d (), j,z , j,z, j,z , j,z, j,z , j,zFFFF = T (18) cos sin 0 cos sin 0sin cos 0 sin cos 00 0 1 0 01kkkk = = Tcos( ) sin( ) 0sin( ) cos( ) 00 01kk
19、kk+ +(19) 将式 (17)沿刀具轴向积分并对每个刀齿求和，可得，作用在刀具上的切削力为 npXX1Y00ZZY() d ()() d ()() d (), j,z, j,zzjzj,aFFFF=(20) 式中， ap为轴向切深。 图 2 曲线端铣中微元铣削力示意图 3 切削参数的约束与标定 3.1 切削参数的约束 微元刃铣削过程即为斜角切削过程17。如图 3所示，在工作正交平面及工作法平面参考系中建立斜角切削方式下的力矢量、速度矢量及流屑角关系示意图，其中 v为考虑进给运动后的合成切削速度矢量， vs为剪切速度矢量， vc为流屑速度矢量。 图 3 中， dFf, j, z和 dFn,
20、j, z分别为前刀面 A作用于切屑上的摩擦力和法向压力， dFj, z为合力，显 然有 月 2016 年 5 月 罗智文等：基于斜角切削的曲线端铣切削力建模 187 图 3 斜角切削中力矢量、速度矢量及流屑角关系图 f, , , d sin d sinj z jzFF=(21) f , , n, , n nd cos d tan( )jz jzFF = +(22) 即 asin sin sin = (23) n ne atan( ) tan cos += (24) 且 n n ne= + (25) Rn, ,nTn, ,dtandjzjzFF =(26) 式中， 为 dFj, z与法平面 Pn
21、夹角； n为 dFj, z在法平面 Pn上与工作切削平面 Pse夹角 ； a为摩擦角 ； n为法平面nP 上的法向摩擦角 ； 为流屑角； dFTn, j, z、dFRn, j, z、 dFAn, j, z分别为 dFT, j, z、 dFR, j, z、 dFA, j, z在法平面 Pn上的投影，可表示为 TTTn, Rn, An, s T, R, A,d ,d ,d ( ) d ,d ,djz jz jz jz jz jzF F F FFF = T (27) ne为工作法向前角，可表示为 ( )ne o sarctan tan( )cos = +(28) 式中， o为刀具前角； s为刃倾角即
22、刀具螺旋角。 斜角切削方式下的微元刃 Ij, z上的切削功率可表示为13( )n s,nn ncos tan tancos( )cos tan sin sinjzP j j j j+=+(29) 由最小能量原理，剪切角 的取值应使微元上的切削功率 Pj, z取极小值18，又剪切角 是 n、 的函数，所以有 ,n0jzPj=(30) ,0jzPj=(31) 即 nn tan cos cos( )sin 0 j j j+ = (32) n nn tan sin cos cos( 2 )cos 0jj j j+ = (33) 式中， n为法向剪切角； 为剪切速度矢量 vs与法平面 Pn夹角。 在工作
23、法平面参考系中，可将文献 13提出的切削力系数修正为 sT, ,nn ne s n2 22n ne nsR, ,nsn ne2 22n n ne nsA, ,nn ne s n2 22n n ne nsincos( ) tan tan sincos ( ) tan sinsin cossin( )cos ( ) tan sinsincos( ) tan tan sincos ( ) tan sinjznjzjzKKKtj j tjj tj j = + += + += + +(34) 式中， s为切应力，可表示为 机 械 工 程 学 报 第 52 卷第 9 期期 188 sssdd, j,z,
24、j,zFAt =(35) 式中， dFs, j, z和 dAs, j, z分别为微元刃 Ij, z处的剪切力和剪切面积，可表示为 ( )s, , n n d d cos( )cos cos sin sin,jz jzFFj j j=+(36) ( ),snddcos sinjz, j,zshzAj= (37) 3.2 切削参数的标定 若直线铣削试验条件满足： 始终只有单刃参与切削； 轴向切深p1, 2a (mm)；则参与切削的刃可视作一个切削刃微元19，即 dz=ap，此时采集的切削力即等于微元刃上的切削力，由 T的逆矩阵将其旋转变换成微元刃上切向、径向和轴向三个方向的力 pppT x1R y
25、A z() ()() ()() (), j,a, j,a, j,aFFFF=T(38) 将式 (38)代入式 (27)求得工作法平面参考系中FTn, j, z、 FRn, j, z和 FAn, j, z后，联解式 (23) (26)、 (32)、(33)、 (35)，可解得瞬时未变形切屑厚度下的 n、 n、s等切削参数，再代入式 (34)即可求得切削力系数KT, j, z、 KR, j, z和 KA, j, z。其中根据 Stabler提出的排屑法则20，可令流屑角 等于刃倾角 s。 4 试验与分析 为验证切削力模型的有效性，首先进行切削参数标定试验，然后进行圆弧和 Bzier 曲线端铣试验。
26、试验在五轴加工中心 DMG-mono80 上进行，由Kisler-9257B 测力平台采集切削力数据，采样频率为 15 kHz。试验工件材料为高强度钢 PCrNi3MoVA，试验刀具为三刃方肩铣刀，其中刀柄牌号为 SECO E9304-5820-1060 ，刀头牌号为 SECO R217.69-1020.RE-09.3AN ，刀片牌号为 SECO XOMX-090308TR-M08-MP1500，刀具直径 20 mm，螺旋角 9，前角 16。 4.1 标定试验 设计三组直线端铣试验，铣削用量见表 1，所测切削力见图 4。按标定步骤对切削参数和切削力系数进行标定，将标定结果表示成瞬时未变形切屑厚
27、度 hj, z()的函数，以双指 数函数 ,() ()( ( ) exp expjz jzjzhhgh A B Cab=+(39) 对其拟合，拟合系数见表 2。图 5 和图 6 分别为切削参数和切削力系数的标定结果及拟合曲线。 表1 标定试验的铣削用量 试验序号 进给速度 / (mm/min) 每齿进给 量 /mm 径向切深 / mm 轴向切深 / mm 1 100 0.16 12 1.6 2 160 0.12 8 1.6 3 160 0.15 6 1.2 图 4 标定试验所测切削力 表2 双指数函数的拟合系数 nnsKT, j, zKR, j, zKA, j, zA 0.193 0.158
28、4 091 1 740 214.7 B 0.379 0.426 3 537 6 426 0.047 C 0.600 0.465 751 2 356 476.5 214.8 a 0.077 0.076 0.018 0.065 1 876 b 0.077 0.075 0.018 0.014 -2 060 月 2016 年 5 月 罗智文等：基于斜角切削的曲线端铣切削力建模 189 图 5 切削参数标定结果与拟合曲线 图 6 切削力系数的标定结果与拟合曲线 4.2 曲线端铣试验 曲线端铣试验工件及装置如图 7 所示。 在圆弧端铣试验中，设计刀具中心运动轨迹为直径 90 mm 的半圆弧，铣削参数如下：
29、进给速度240 mm/min，每齿进给量 0.06 mm，轴向切深 1.2 mm，径向切深 5 mm。 在 Bzier 曲线端铣试验中，设计刀具中心运动轨迹为 3232( ) 130 195 105 20( ) 60 90 10xt t t tyt t t = +=+0,1t(40) 铣削参数如下：进给速度 360 mm/min，每齿进给量0.1 mm，轴向切深 1 mm，径向切深 20 mm。 图 8 展示了圆弧和 Bzier 曲线端铣试验中模拟的刀具中心以及刀刃的真实运动轨迹。图 9 和图 10为切削力试验值与预测值的对比图。 (a) 圆弧端铣工件 (b) Bzier 曲线端铣工件 (c)
30、 试验装置 图 7 曲线端铣试验工件及装置 4.3 试验结果分析 圆弧端铣为等曲率曲线端铣，切削过程中切入切出角、等效进给量af 、最大瞬时未变形切屑厚度,max( ( )jzh 等参量保持不变，因此TF 、RF 、AF 等极大值保持不变。由式 (18)中的切削力旋转变换矩阵 T 可知，轴向力ZF 不受瞬时进给方向角 k 变化的影响，值域恒定不变，而XF 、YF 则随 k 值变化而改变，如图 9 所示。 Bzier曲线端铣为变曲率曲线端铣，且设计为全齿铣削，切削过程中af 、,max( ( )jzh 等参量与曲线曲率变化趋势一致21。由 图 8b刀具中心运动轨迹可知，曲线曲率在 x=36.09
31、 mm和 x=43.91 mm 机 械 工 程 学 报 第 52 卷第 9 期期 190 图 8 曲线端铣时刀具中心与刀刃运动轨迹 图 9 圆弧端铣中切削力试验值与预测值对比图 两处变为最大，此时af 、,max( ( )jzh 等具有极大值，因此轴向力ZF 变化如图 10 所示，在沿刀具轨迹移动距离 s=17.27 mm 和 s=42.6 mm 等两处有极大值。同理，XF 、YF 变化与 k 值有关。 从图 9、图 10 可知，测量的切削力存在小幅的 噪声信号干扰，可能的原因包括刀具偏心及挠曲变形、切削振动、测力系统零点漂移等。忽 略上述干扰信号的影响，从切削力对比结果可以得出，切削力预测值
32、在幅值大小及变化趋势上与试验值一致，验证了曲线端铣中该切削力建模方法的有效性。 月 2016 年 5 月 罗智文等：基于斜角切削的曲线端铣切削力建模 191 图 10 Bzier 曲线端铣中切削力试验值与预测值对比图 5 结论 (1) 提出了一种基于斜角切削的曲线端铣切削力建模方法。 (2) 以曲线微分几何计算微元刃上的工作基面，在微元刃工作法平面参考系中构建了切削参数之间的约束。 (3) 以瞬时未变形切屑厚度,()jzh 为自变量的双指数函数，能够很好地拟合切削参数及切削力系数，其中剪应力可以标定为常量。 (4) 曲线端铣时， X、 Y 方向的力变化与瞬时进给方向角 k、曲线曲率有关，轴向力
33、ZF 的变化仅与有关。 参 考 文 献 1 陈日曜 . 金属切削原理 M. 北京：机械工业出版社 , 2011. CHEN Riyao. Metal cutting principleJ. Beijing： China Machine Press， 2011. 2 HAN X， TANG L. Precise prediction of forces in milling circular cornersJ. International Journal of Machine Tools and Manufacture， 2015， 88： 184-193. 3 WU B， YAN X， LUO
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