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1、第4 3卷第1 0期2 0 1 6年1 0月湖南大学学报(自然科学版)Journal of Hunan University( Natural Sciences)Vol. 43, No. 10Oct. 2 0 1 6文章编号:1674- 2974(2016)10- 0148- 07基于张量秩校正的图像恢复方法白敏茹,黄孝龙,顾广泽,赵雪莹(湖南大学数学与计量经济学院,湖南长沙 410082)摘要:针对医学图像和视频图像的恢复问题,基于张量表示,研究有限样本下的低秩张量数据恢复问题,在张量奇异值分解(t- SVD)理论的基础上,提出了张量秩校正模型和两阶段张量秩校正方法,第一阶段是用张量核范数最
2、小化模型求得预估解,第二阶段,根据预估解,求解张量秩校正模型,获得更高精度的解.构建了求解张量秩校正模型和张量核范数最小化模型的张量近似点算法,使得可以在实数域上对张量直接进行计算,并且从理论上证明了该算法的收敛性.通过对医学图像和视频图像的数值仿真实验,验证了本文所提出模型和方法的有效性,实验结果显示,张量秩校正模型和方法能够取得更高的恢复精度.关键词:图像恢复;张量奇异值分解;张量秩校正;张量近似点算法中图分类号:TP751 文献标识码:ATensor Rank Corrected Procedure for Image RestorationBAI M in- ru,HUANG Xiao
3、- long,GU Guang- ze,ZHAO Xue- ying(College of M athematics and Econometrics,Hunan Univ,Changsha,Hunan 410082,China)Abstract: Tensor- based restoration of medical images and video images was studied with limited sam-ples. On the basis of the theory of tensor singular value decomposition ( t- SVD) , a
4、 tensor rank- correctionmodel ( CRTNN) was proposed to correct the tensor nuclear norm minimization model ( TNN) . A two-stage rank correction method is given as follows: the first stage is used to generate a pre- estimator by sol-ving the TNN model, and the second stage is to solve the CRTNN model
5、to generate a high- accuracy re-covery by the pre- estimator. A tensor proximal point algorithm was proposed to solve the CRTNN modeland the TNN model, making it possible to calculate tensor directly in the real field. The convergence of thealgorithm was proved in theory. Numerical experiments of me
6、dical images and video images verify the effi-ciency of the proposed model and method. The experiment results show that tensor rank- correction modeland method can achieve higher- accuracy recovery.Key words: image restoration; t- SVD; tensor rank- correction model; tensor proximal point algorithm随着
7、电子技术和成像技术的发展,从医学图像到遥感图像,从导弹精确制导,到人脸识别及指纹识别再到具有视觉功能的智能机器人,人类活动的方方面面都会产生或涉及到大量的高维图像.高维图收稿日期:2016 01 17基金项目:国家自然科学基金资助项目( 11571098) , National Natural Science Foundation of China( 11571098) ;湖南省高校创新平台开放基金资助项目( 14K018)作者简介:白敏茹( 1968- ) ,女,江西宜春人,湖南大学博士生导师,副教授通讯联系人, E- mail: minru- bai 163. com万方数据第10期白敏茹
8、等:基于张量秩校正的图像恢复方法像已经成为一种重要的多媒体形式,广泛存在于人们的日常生活中.图像在形成,传输和记录的过程中受多种因素的影响,图像的质量会有所下降,典型表现为色彩模糊和有噪声干扰等.这一降质的过程被称为图像的退化.图像恢复的目的就是尽可能地恢复退化了的高维图像的本来面目.传统的图像处理方法是基于向量和矩阵的表示形式,往往破坏了这些数据的原始空间结构,在分析过程中不能够很好地刻画这些数据的本质和充分挖掘其内部特性.张量作为向量和矩阵表示的高阶推广,能够更好地表达高阶数据复杂的本质结构,已被广泛应用于计算机视觉与图像、人脸识别、医学图像和统计信号处理等研究领域中 1- 6 .高维图像
9、数据往往具有低维属性,张量完备化问题就是利用张量数据的低秩结构,是一种在有限样本或测量数据下最小化张量的秩的优化问题.最小化张量的秩是NP难问题,通常的处理方法有: 1)将张量转化成矩阵,然后求解矩阵完备化问题 7 ; 2)用特殊的张量分解方法来分解张量,如CANDE-COM P/ PARA- FAC ( CP)分解, Tucker分解等方法.由于矩阵的核范数是矩阵秩的紧的凸逼近,因此对矩阵完备化问题的求解一般是将其转化为矩阵核范数最小化问题求解.对矩阵核范数最小化问题的求解有近似点算法( PPA) 8 ,交替方向方法( ADM ) ,加速近似梯度方法( APG) 9 .虽然低秩矩阵完备化问题
10、得到很好发展,但张量完备化问题研究还很不完善.不同于矩阵秩只有一种定义,张量秩有多种定义.传统上主要有两种张量秩的定义, CP秩和Tucker秩,它们分别是基于CP分解和Tuck-er分解的.将张量展开成矩阵,利用展开矩阵性质近似逼近张量的秩,是常用的处理方法.例如: Gan-dy 2等用各片分别展开矩阵的核范数的和作为张量秩的近似逼近; Liu 5等进一步将各片分别展开矩阵的核范数通过加权来近似张量的秩,并提出了HaLTRC算法求解该松弛模型( TSN) .然而这两种逼近方法并不是张量秩函数的最紧的凸逼近 7 .Kilmer等 10基于快速傅里叶变换可以将块循环矩阵对角化的思想,提出了张量奇
11、异值分解( T-SVD)方法,使得张量可以在傅里叶变换下实现快速分解.基于T- SVD, Semerci等 6提出张量核范数概念,对于3阶张量,利用张量核范数近似逼近张量的秩,建立了张量核范数最小化模型( TNN) ,构建了交替方向方法( ADM M )求解该模型,并应用于多线性数据的图像压缩和恢复,通过对比, TNN逼近比TSN逼近效果更好.但是该文没有给出ADM M方法的收敛性结果,文中的ADM M算法一部分在实数域上计算,一部分在复数域上计算.与以往模型不一样, TNN模型的目标变量是定义在复数域即傅里叶域内的矩阵,约束变量是定义在实数域的.因此,根据这个问题的特点,设计更加有效的具有收
12、敛性的优化算法,是亟需解决的一个问题.另外,文献 11指出,矩阵核范数在某些情况下不是矩阵秩的最紧凸逼近,如对角元素被高度样本化,则矩阵核范数最小化模型求解低秩恢复问题的能力就会高度弱化,而矩阵核范数是张量核范数( TNN)的二阶形式.本文针对以上两个问题开展研究,主要贡献有两个:一是提出了张量秩校正模型( CRTNN)和两阶段张量秩校正方法,二是构建了张量近似点算法,用于求解CRTNN模型和TNN模型,从理论上证明了该算法的收敛性.仿真实验验证了本文所提出模型和方法的有效性.结果显示,在医学图像以及视频图像的恢复问题中,张量秩校正方法能够取得更高的恢复精度.1张量基本概念张量即为多维数组,其
13、元素所在位置需要3个或3个以上的变量来表示,可以记为A = an1n2 nN,其中A Rn1 n2 nN ,这里ni , i = 1, 2, , nN ,称为维数, N为阶数.特别地,向量为一维张量,矩阵为二维张量.张量A的片是只有两个指标没有固定的矩阵形式,例如3阶张量A Rn1 n2 n3的前片表示为A( : , : , i) , i = 1, 2,3.针对彩色图像的数据结构,本文主要讨论3阶张量.本节简要介绍与张量奇异值分解有关的基本知识,更多详细的介绍见文献 10 .首先介绍由张量的前片构成的块循环矩阵,对张量A Rn1 n2 n3 ,其前片为n1 n2的矩阵A1 , A2 ,A3其中
14、Ai = A( : , : , i) ,则有:circ( A) =A1 An3 A2A2 A1 A3 An3 An3- 1 A1. ( 1)而快速傅里叶变换( FFT)可以将块循环矩阵转化成块对角矩阵,有如下形式:( Fn3 In1) circ( A) ( FTn3 In2) = ( A) .( 2)941万方数据 湖南大学学报(自然科学版) 2016年其中Fn3为离散的快速傅里叶矩阵, In1和In2分别为n1 n1和n2 n2的单位矩阵, 表示矩阵的Kronecker乘积, ( A)为块对角矩阵,张量A是张量A在傅里叶变换下的形式, Ai为张量A的第i个前片,有如下定义: ( A) =A1
15、 0 00 A2 0 0 0 An3. ( 3)相反地,对式( 2)应用逆傅里叶变换,即( FTn3 In1)乘以左边, ( Fn3 In2)乘以右边,则会有如下结果:circ( A) = ( FTn3 In1 ) ( A) ( Fn3 In2 ) .( 4)取M atVec变换作用于张量A Rn1 n2 n3的每一个前片,则M atVec ( A)将张量A Rn1 n2 n3作用成n1n3 n2的矩阵:M atVec ( A) =A1A2An3. ( 5)将M atVec ( A)返回张量则用fold变换:fold( M atVec( A) ) = A . ( 6)定义1. 110张量A R
16、n1 n2 n3和B Rn2 l n3 ,则A与B的张量积定义如下:C: = A B= fold( circ( A) M atVec( B) ) . ( 7)其中C Rn2 l n3 .这里张量A和B张量积在M atlab中操作,可以直接通过对A和B做快速傅里叶变换( FFT)得到A和B ,然后A和B的对应前片分别做乘积即可获得C ,然后再对C做逆快速傅里叶变换即可得到结果,详细过程见文献 10 .接下来介绍单位张量,张量的转置,张量奇异值分解( t- SVD) .定义1. 210张量In n l Rn n l为单位张量当它的第一个前片为n n的单位矩阵,剩余两前片的元素均为0.定义1. 31
17、0张量A Rn1 n2 n3 ,则张量A的张量转置A T Rn2 n1 n3 ,是通过保持第1个前片位置不变,第2个前片和第3个前片位置互换,并且分别对张量A每一个前片做转置得来.定义1. 410张量A Rn n l为f-对角化张量当且仅当其每一个前片矩阵均为对角矩阵.定义1. 510张量A Rn n l为正交张量当且仅当它满足:AT A= A AT= In n l . ( 8)定理1. 610 (张量奇异值分解( t- SVD) )张量A Rn1 n2 n3 ,则A可以分解为:A= U S V T . ( 9)其中U和V为正交张量,其中U Rn1 n1 n3 , V Rn2 n2 n3 ,
18、S Rn1 n2 n3为f-对角化张量.最后介绍三阶张量的多线性秩和张量核范数( TNN)以及它们之间的联系.定义1. 74张量A Rn1 n2 n3的张量多线性秩是向量p Rn3 , p的第i个元素为对A做快速傅里叶变换得到的A的第i个前片的秩.定理1. 812张量核范数( TNN )记为 A TNN为张量A的范数,它是对A做快速傅里叶变换得到的A的每一个前片的奇异值之和,为张量多线性秩的l1范数的紧凸松弛.在一定条件下,矩阵核范数是矩阵的秩的凸松弛,同理,张量核范数( TNN)是张量多线性秩的凸松弛 13 .2张量完备化的秩校正方法在图像采集过程中,由于各种原因,可能会出现图像数据损失的情
19、况,即图像序列组成的张量X中有部分元素的值缺失.张量数据恢复问题即为张量完备化问题,就是利用张量数据的低秩结构,在有限样本或测量数据下最小化张量的秩的优化问题.Liu 5等将张量按照不同方向分别展开成矩阵的核范数通过加权来近似张量的秩,建立了张量完备化的如下凸松弛模型( TSN) :minX: ni= 1 i X( i) s. t. X = T ,( 10)其中X( i)是张量X的i模矩阵,并提出了HaLTRC算法求解该TSN模型.Semerci等 6则基于张量核范数TNN,提出了张量核范数最小化模型( TNN) :min X TNNs. t. X = M .( 11)051万方数据第10期白
20、敏茹等:基于张量秩校正的图像恢复方法这里张量X, M Rn1 n2 n3 , M在集合里的元素是给定的,不在里的元素则是0,即:X( i, j , k) : = M( i, j , k) ,0,( i, j , k) ;( i, j , k) .从前文定理1. 8中,不难得出 X TNN就是 n3i= 1 X ( , , i) , X ( , , i)为X在快速傅里叶变化下的第i个前片,则式( 11)等价于:min n3i= 1 X( , , i) , s. t. X = M . ( 12)其中X , M 和分别表示X , M 和在快速傅里叶域变换下的结果.注意到矩阵核范数在某些情况下不是矩阵
21、秩的最佳凸逼近,如对角元素被高度样本化,则矩阵核范数最小化模型求解低秩恢复问题的能力会高度弱化 11 .为了获得更高精度解,针对张量核范数最小化模型( TNN) ,本文提出了一个张量秩校正模型( CRTNN) :min n3i= 1 X( , , i) - n3i= 1 F( X( , , i) ) , X( , , i) s. t. X = M . ( 13)其中X作为预估解, n3i= 1 F( X( , , i) ) , X( , ,i) 为秩校正项, X为X在快速傅里叶变换下维数是n 1 n2 n3的张量, F为文献 11定义下的谱算子:F( D) = UDiag( f( ( D) )
22、 ) V T . ( D)为矩阵D的奇异值,对称函数f: Rn R定义如下:fi ( x) : = ( xi x) , x Rn 0 ;0, x= 0. .对于 0 , 0 ,标量函数 : R R表示如下: ( t) : = sgn( t) ( 1+ t ) tt + t , t R .其中sgn( t)为符号函数,定义如下:sgn( t) : =1,0,- 1,t 0;t= 0;t 1.对于 (Y k ) ,对给定 ( Xk )和 (Y) ,容易算得: (Y k ) = (Yk ) - 1s ( ( Xk ) - ( M ) . ( 16)对于 ( X k ) ,容易化简得: ( X k )
23、 = arg min ( X ) = ( M ) ( X) + r2 ( X) - ( Xk ) + 1r ( ( 2(Y k ) - (Yk ) ) 2 .151万方数据 湖南大学学报(自然科学版) 2016年( 17)取 (Zk )替换 ( Xk ) + 1r ( ( 2(Y k ) - (Yk ) + F) ,则由 ( )定义知 (Zk )为块循环矩阵,且式( 17)为矩阵优化问题,则由Cai 13定理2. 1易知,求解 ( X k ) ,需要对 (Zk )的每一个对角块做矩阵奇异值分解,用 Zk1 , Zk2 , , Zkn3表示,每一个Zki的形式如下:Zki = Uki ki (
24、Vki ) T, i = 1, 2, 3, , n3 . ( 18)其中 ki = Diag( kj 1 j r ) , Ski = diag ( kj - j ) + ,( t) + = max ( 0, t) ,则 (Zk )可由下式得到: ( X k ) = ( Uk ) ( Sk ) ( Vk ) . ( 19)由于式( 15)是在傅里叶域里求解式( 14)矩阵核范数最小化问题.然而原问题式( 13)是在实数域里的结果,并且变量都是以张量形式计算.考虑到逆傅里叶变换和张量奇异值分解( t- SVD)的思想,在每一步迭代中应用如下步骤:1)每一步式子中左边乘以( FTn3 In1 ) ,
25、右边乘以( Fn3 In2 )即得到块循环矩阵;2 )取M atVec( Xk+ 1 ) , M atVec(Yk+ 1 ) ,及M atVec(Y k )对应的第一列块矩阵做fold变换.通过上述变换,则可以把矩阵迭代过程转换为张量迭代过程: (Y k ) = (Yk ) - 1s ( ( Xk ) - ( M ) ) , ( Xk+ 1 ) = ( Xk ) - ( ( Xk ) - ( X k ) ) , (Yk+ 1 ) = (Yk ) - ( (Yk ) - (Y k ) ) . ( 20)将式( 20)里的矩阵形式转化为张量形式,并还回实数域:Yk = Yk - 1s ( Xk -
26、 M ) ,Xk+ 1 = Xk - ( Xk - Xk ) ,Yk+ 1 = Yk - ( Yk - Yk ) . ( 21)由Kilmer 10定理4. 1知,应用逆傅里叶变换和张量奇异值分解的思想,同时应用上面的步骤1和2,即可将 ( X k )还回实数域并且转化成张量的形式,如式( 22)所示:Xk = Uk Sk ( Vk ) T . ( 22)其中Uk = ifft( Uk , , 3) , Vk = ifft( Vk , , 3) .综上,得出求解问题( 12)的近似点算法( PPA)如下:算法3. 1任取 ( 0, 2) ,及r s 1 ,对给定( Xk , Yk ),1) P
27、PA步:由下迭代获得( Xk , Yk ) ,Yk = Yk - 1s ( Xk - M ) ,Xk = Uk Sk ( Vk ) T. . ( 23)2)松弛步:新的迭代步,Xk+ 1 = Xk - ( Xk - Xk ) ,Yk+ 1 = Yk - ( Yk - Yk ) . ( 24)对于问题( 11) ,即为问题( 13)的特例,取秩校正项 n3i= 1 F( X( , , i) ) , X( , , i) 中谱算子F为0即可.3. 2收敛性分析定理3. 1设 Xk , Yk 为由算法3. 1产生的迭代序列,若 ( 0, 2) ,及rs 1 ,则序列 Xk , Yk 收敛到问题( 13
28、)的鞍点.证明对于矩阵求解问题,由He 8定理3. 7分析,当k 时,易知: ( Xk+ 1 ) ( X ) (Yk+ 1 ) (Y ) .( 25)这里 ( X , (Y ) 为问题( 14)的鞍点.对块对角矩阵 ( Xk+ 1 ) , (Yk+ 1 ) , ( X ) , (Y )应用逆快速傅里叶变换,即每个式子左右两边分别乘以( FTn3 In1) ,和( Fn3 In2) ,即将计算过程从傅里叶域转化到实数域:circ( Xk+ 1 ) = ( FTn3 In1 ) (Xk+ 1 ) ( Fn3 In2 ) ,circ( X ) = ( FTn3 In1 ) ( X ) ( Fn3 I
29、n2 ) ,circ( Yk+ 1 ) = ( FTn3 In1 ) ( Yk+ 1 ) ( Fn3 In2 ) ,circ( Y ) = ( FTn3 In1 ) (Y ) ( Fn3 In2 ) .( 26)由于快速傅里叶变换和逆快速傅里叶变换均为连续有界算子,故有:circ( Xk+ 1 ) circ( X ) ,circ( Yk+ 1 ) circ( Y ) .( 27)取M atVec( Xk+ 1 ) , M atVec( X ) , M atVec( Yk+ 1 )以及M atVec( Y )分别表示circ( Xk+ 1 ) , circ( X ) ,circ( Yk+ 1 )
30、 ,和circ( Y )的第一列块循环矩阵,并作fold变换.则得到:Xk+ 1 X ,Yk+ 1 Y .( 28)X和Y为( 13)的鞍点.证毕.4仿真实验本文针对医学图像和视频图像的恢复问题,分别对张量核范数加权和模型( TSN模型)式( 10) 、张量核范数最小化模型( TNN模型)式( 11)以及张量251万方数据第10期白敏茹等:基于张量秩校正的图像恢复方法秩校正模型( CRTNN模型)式( 13)进行仿真实验,TSN模型采用HaLRTC方法求解, TNN模型和CRTNN模型采用近似点算法( PPA)求解,并给出仿真结果,所有结果都是在Core i5的CPU及4G内存的W indow
31、s 7系统下的ASUS笔记本中运行M ATLAB R2012b计算得出.图像恢复的数值评价指标通常由相对误差和峰值信噪比( PSNR)计算,相对误差计算公式:reler = X - M F XF. ( 29)式中: M为实值张量; X为预估张量,峰值信噪比计算公式:PSNR = 10 log10 ( n1 n2 n3 X - M 2F) . ( 30)式中: n1 , n2 , n3为张量M Rn1 n2 n3的维数,同时终止条件为: Xk+ 1 - Xk F Xk F tol . ( 31)tol为终止参数,取tol = 10- 3 ,主要是小于这个值之后,变化特别微小.文中选取的图像为大小
32、415 477 3的医学图像,视频图像为大小112 160 3的视频的其中一帧,进行仿真实验,并比较TSN模型, TNN模型,CRTNN模型的恢复效果.图1为医学图像和视频图像原始图像.图2,图3分别为医学图像和视频图像在样本率为20% (即有效信息只有20% )的情况时用TSN模型, TNN模型, CRTNN模型视觉恢复效果对比,从图2,图3的PSNR值对比和视觉恢复效果对比中,可以发现本文提出的CRTNN模型能得到更好的恢复效果.图4分别为医学图像和视频图像在TSN模型,TNN模型, CRTNN模型下对不同样本率得到的相对误差曲线对比.从中可以明显看出:本文提出的张量秩校正方法对不同的样本
33、率得到的恢复图像的相对误差曲线都是最低的,表明本文提出的CRTNN模型能够取得更高精度的恢复效果.图1原始图像Fig. 1 Original images图2样本率为20%的医学图像及其分析在TSN模型,TNN模型和CRTNN模型下的恢复图Fig. 2 Recovery results on a medical image with 20%sample ratio by models TSN,TNN and CRT-NN,respectively图3样本率为20%的视频图像及其分别在TSN模型,TNN模型和CRTNN模型下的恢复图Fig. 3 Recovery results on a vid
34、eo image with 20%sample ratio by models TSN,TNN and CRT-NN,respectively351万方数据 湖南大学学报(自然科学版) 2016年( a)医学图像结果( b)视频图像结果图4视频图像和医学图像在TSN模型,TNN模型和CRTNN模型下对不同样本率得到的相对误差Fig. 4 The relative error recovered by TSN,TNN,CRTNN versus sample ratio for medical image5结论针对高维图像恢复问题,本文提出了张量秩校正模型和两阶段张量秩校正方法,并提出了求解张量秩
35、校正模型的张量近似点算法,从理论上分析了该算法的收敛性.仿真结果验证了本文所提出模型和方法的有效性,结果表明,张量秩校正方法模型能够取得更高的恢复精度.能否将该模型和算法推广到四阶及以上的图像恢复问题?这个问题值得进一步研究.参考文献 1 ELY G, AERON S, M ILLER E L. Exploiting structural com-plexity for robust and rapid hyper spectral imaging C / / Pro-ceedings of IEEE International Conference on Acoustics,Speech a
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