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1、20152015 年北京高考文科数学试题及参考答案年北京高考文科数学试题及参考答案一、选择题共一、选择题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。分。（1）若集合 A=x|-5x2，B=x|-3x3，则 AB=（）A.-3x2B.-5x2C.-3x3D.-5x3（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）（A）（x-1）2+（y-1）2=1（B）（x+1）2+（y+1）2=1（C）（x+1）2+（y+1）2=2（D）（x-1）2+（y-1）2=2（3）下列函数中为偶函数的是（）（A）y=xsinx（B）y x2cosx（C）y lnx（D）y 2x（4）某校老
2、年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年人数为（）（A）90（B）100（C）180（D）300类别类别老年教师中年教师青年教师合计人数人数900180016004300(5)执行如果所示的程序框图，输出的 k 值为（）（A）3（B）4(C)5(D)6（6）设 a，b 是非零向量，“ab=IaIIbI”是“a/b”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）(A)1（B）错误！错误！未找到引用源。未找到引
3、用源。（B）错误！错误！未找到引用源。未找到引用源。(D)2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每 100千米平均耗油量为（）（A）6 升（B）8 升（C）10 升（D）12 升二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）复数i1i的实部为（10）23,3,log25 三个数中最大数的是12（11）在ABC 中，a=3,b=错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。,A=错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，B=（12）已知（2，0）是双曲线错误！未找到引用源。错误！未找到引
4、用源。=1(b0)的一个焦点，则 b=.（13）如图，ABC 及其内部的点组成的集合记为 D，P（x，y）为D 中任意一点，则 z=2x+3y 的最大值为（14）高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生。从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是三、解答题（共 6 题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题 13 分）已知函数 f（x）=sin x2 3sin222（）求 f（x）的最
5、小正周期；（）求 f（x）在区间0,上的最小值。3（16）（本小题 13 分）已知等差数列错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。满足错误！未找到错误！未找到引用源。引用源。+错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。=10，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。-错误！未找到引错误！未找到引用源。用源。=2.（）求错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。的通项公式；（）设等比数列错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，错误！错误！未找到引用源。未找到引用源。；问：错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。与数列错误！未找到引用源。错误！未找到引用源
6、。的第几项相等？（17）（本小题 13 分）某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买。商品甲乙丙丁顾客人数1002172003008598（）估计顾客同时购买乙和丙的概率（）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率（）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？（18）（本小题 14 分）如图，在三棱锥E-ABC 中，平面EAB 平面 ABC，三角形EAB 为等边三角形，AC BC,且 AC=BC=错误！错误！未找到引用源。未找到引用源。,O,M 分别为 AB,EA的中点。
7、（1）求证:EB/平面 MOC.（2）求证：平面 MOC平面 EAB（3）求三棱锥 E-ABC 的体积。x2k ln x，k 0（19）（本小题 13 分）设函数fx2（）求fx的单调区间和极值；（）证明：若fx存在零点，则fx在区间1,e上仅有一个零点（(20)(本小题 14 分)已知椭圆错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。,过点错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。且不过点错误！未错误！未找到引用源。找到引用源。的直线与椭圆错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。交于错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。两点，直线错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。与直线错误！未找到引用源。错
8、误！未找到引用源。.（1）求椭圆错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。的离心率；（II）若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；（III）试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由。参考答案参考答案1.A2.D3.B4.C5.B6.A7.C8.B12.313,714.乙数学415、解：I因为fxsin x3cosx 3 2sinx3，所以T 23II因为0 x 2，所以 x，从而x，即x 2时，fx最小。3333322所以fx在区间0,上的最小值为f 3339.110.log2511.16、解：（）设等差数列an的公差为 d.因为a4a3 2，所以d 2.又因为a1a21
9、0，所以2a1d 10，故a1 4.所以an 42(n1)2n2(n 1,2,.)（）设等比数列bn的公比为q.因为b2 a38，b3 a716，所以q 2，b1 4.所以b6 4261128.由128 2n 2，得n 63.所以b6与数列an的第 63 项相等.17、解：（）从统计表可以看出，在这1000 位顾客中，有 200 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为200 0.2.1000（）从统计表可以看出，在在这 1000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2 种商品.所以顾客在甲、乙、丙
10、、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为（）与（）同理，可得：100200 0.3.1000200 0.2，1000100200300 0.6，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1000100 0.1，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.18、解：（）因为O,M分别为 AB，VA 的中点，所以OM/VB.又因为VB 平面 MOC，所以VB/平面 MOC.（）因为AC BC，O为 AB 的中点，所以OC AB.又因为平面 VAB平面 ABC，且OC 平面 ABC，所以OC 平面 VAB.所以平面 M
11、OC平面 VAB.（）在等腰直角三角形ACB中，AC BC 所以等边三角形 VAB 的面积SVAB3.又因为OC 平面 VAB，所以三棱锥 C-VAB 的体积等于OCSVAB又因为三棱锥 V-ABC的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等，所以三棱锥 V-ABC的体积为2，所以AB 2,OC 1.133.33.3x2kx2k/k ln x，k 0 fx x19、解：（）由函数fx2xx所以f/x 0 x k。从而f/x 0 x k；f/0 0 x k。所以，f(x)的单调递减区间是(0,k)，单调递增区间是(k,)；f(x)在x k处取得极小值f(k)k(1lnk).2k(1lnk).2（）由（
12、）知，f(x)在区间(0,)上的最小值为f(k)因为f(x)存在零点，所以k(1lnk)0，从而k e.2当k e时，f(x)在区间(1,e)上单调递减，且f(e)0，所以x e是f(x)在区间(1,e上的唯一零点.当k e时，f(x)在区间(0,e)上单调递减，且f(1)所以f(x)在区间(1,e上仅有一个零点.综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,e上仅有一个零点1ek 0，f(e)0，22x2 y21.所以a 3，b 1，c 2.20、解：（）椭圆 C 的标准方程为3所以椭圆 C 的离心率e c6.a3（）因为 AB 过点D(1,0)且垂直于 x 轴，所以可设A(1,y1)
13、，B(1,y1).直线 AE 的方程为y1(1 y1)(x2).令x 3，得M(3,2 y1).所以直线 BM 的斜率kBM2 y1 y11.31（）直线 BM 与直线 DE 平行.证明如下：当直线 AB 的斜率不存在时，由（）可知kBM1.又因为直线 DE 的斜率kDE101，所以BM/DE.21当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为y k(x1)(k 1).设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则直线 AE 的方程为y1y11(x2).x12令x 3，得点M(3,y1 x13).x12x23y23由，得(13k2)x26k2x3k23 0.y k(x1)y1 x13 y2x123 x2直线 BM 的斜率kBM因为kBM1kx11 x13kx21x123 x2x123 x2x123k2312k2k 132213k13kk 1 x1x22x1 x23 03 x2x123 x2x12所以kBM1 kDE BM/DE综上可知，直线 BM 与直线 DE 平行