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1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合2,0,2A，2|20Bx xx，则 AB= (A) （B）2（C）0 (D) 2考点：交集及其运算分析：先解出集合 B，再求两集合的交集即可得出正确选项解答：解： A=2，0，2，B=x|x2 x2=0= 1，2，AB=2故选： B点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键（2）131ii ()（A）12i（B）12i（C）1-2i(D)1-2i考点：复数代数形式的乘除运算分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i 化简即可解答
2、：解：化简可得 =1+2i故选： B点评：本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - - （3）函数fx在0 xx处导数存在，若00:()0;:pfxq xx是fx的极值点，则()（A）p是q的充分必要条件（B）p是q的充分条件，但不是q的必要条件（C）p是q的必要条件，但不是q的充分条件 (D) p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件考点：必要条件、充分条件与
3、充要条件的判断菁优网版权所有分析：根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论解答：函数 f （x）=x3的导数为 f （x）=3x2，由 f （x0）=0，得 x0=0，但此时函数f （x）单调递增，无极值，充分性不成立根据极值的定义和性质，若 x=x0 是 f （x）的极值点，则 f （x0）=0成立，即必要性成立，故p是 q 的必要条件，但不是q 的充分条件，故选： C点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础（4）设向量a,b满足|a+b|= 10，|a-b|=6，则 ab= ()（A）1 （B
4、） 2 （C ）3 (D) 5考点：平面向量数量积的运算分析：将等式进行平方，相加即可得到结论解答：|+ |=，| |=，分别平方得，+2 ? +=10，2 ? +=6，两式相减得4? ? =106=4，即精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - - ? =1，故选： A点评：本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础（5）等差数列na的公差为 2，若2a，4a，8a成等比数列，则na的前 n 项nS= ()（A）
5、1n n（B）1n n（C ）12n n (D) 12n n考点：等差数列的性质分析：由题意可得 a42=（a44） （a4+8） ，解得 a4 可得 a1，代入求和公式可得解答：由题意可得 a42=a2?a8，即 a42=（a44） （a4+8） ，解得 a4=8，a1=a432=2，Sn=na1+d ，=2n+2=n（n+1） ，故选： A点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1 （表示1cm ） ，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为 6c m的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 (
6、)（A）1727（B）59（C）1027 (D) 13考点：由三视图求面积、体积菁优网版权所有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可解答：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3 高为 2，一个是底面半径为 2，高为 4，组合体体积是： 32?2+22?4=34底面半径为 3cm ，高为 6cm的圆柱体毛坯的体积为：326=54切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为
7、：=故选： C点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力（7）正三棱柱111ABCA B C的底面边长为 2，侧棱长为3，D 为 BC中点，则三棱锥11DCBA的体积为 ()（A）3 （B）32（C）1 （D）32考点：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有分析：由题意求出底面 B1DC1 的面积，求出 A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积解答：正三棱柱 ABC A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为， D为 BC中点，底面 B1DC1 的面积： =，A到底面的距离就是底面正三角形的高： 三棱锥 AB1DC1 的体积为： =1故选： C点评：本题考查几
8、何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键（8）执行右面的程序框图，如果如果输入的x，t 均为 2，则输出的 S= ()精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - - （A）4 （B）5 （C）6 （D）7考点：程序框图菁优网版权所有分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论解答：若 x=t=2 ，则第一次循环， 12 成立，则 M= ，S=2+3=5 ，k=2，第二次循环， 22 成立，则 M= ，S=2+5=7 ，k=3，此时
9、32 不成立，输出 S=7，故选： D点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础（9）设 x，y 满足的约束条件1010330 xyxyxy，则2zxy的最大值为 ()（A）8 （B）7 （C）2 （D）1考点：简单线性规划分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值解答：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得 y=，平移直线 y=，由图象可知当直线y=经过点 A时，直线 y=的截距最大，此时z 最大由，得， 即 A（3，2） ，此时 z 的最大值为 z=3+22=7，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎
10、下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 故选： B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法（10）设 F为抛物线2:3Cyx的焦点，过 F且倾斜角为30的直线交于 C于,A B两点，则AB= ()（A）303（B）6 （C）12 （D ）7 3考点：抛物线的简单性质分析：求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB| 解答：由 y2=3x 得其焦点 F（ ，0） ，准线方程为 x= 则过抛物线 y2=3x 的焦点 F且倾斜角为
11、30的直线方程为 y=tan30（x ）=（x ） 代入抛物线方程，消去y，得 16x2168x+9=0设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）则 x1+x2=，所以|AB|=x1+x2+ = + +=12故答案为： 12点评： 本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - - （11）若函数( )lnf xkxx在区间（ 1，+）单调递增，则 k 的取值
12、范围是 ()（A）, 2（B）, 1（C）2,（D）1,考点：函数单调性的性质分析：由题意可得，当 x1 时，f（x）=k0，故 k 10，由此求得 k 的范围解答：函数 f （x）=kxlnx 在区间（ 1，+）单调递增，当 x1 时，f （x）=k0，k10，k1，故选： D点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题（12）设点0(,1)M x，若在圆22:1Oxy上存在点 N，使得45OMN, 则0 x的取值范围是()（A）1,1（B）1 12 2，（C）2,2（D）2222，考点：直线和圆的方程的应用菁优网版权所有分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结
13、合即可得到结论解答：由题意画出图形如图：点 M （x0，1） ，若在圆 O ：x2+y2=1 上存在点 N，使得 OMN=45 ，圆上的点到 MN 的距离的最大值为1，要使 MN=1 ，才能使得 OMN=45 ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 图中 M 显然不满足题意，当MN 垂直 x 轴时，满足题意，x0 的取值范围是 1，1 故选： A点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一
14、第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13 题第 21 题为必考题，每个考试考生都必须做答。第22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分。（13）甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝3 种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_.考点：相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有分析： 所有的选法共有33=9 种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率解答： 有的选法共有 33=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3 种，故他们选择相同颜色运动服的概率为 =，故答案为：点评：本题主要考查
15、相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题（14）函数( )sin()2sincosf xxx的最大值为 _.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 考点：三角函数的最值分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求解答：解： f（x）=sin （x+） 2sin cosx=sinxcos +cosxsin 2sin cosx=sinxcos sin cosx=sin （x） f （x）的最大值为 1故答案为： 1点评
16、：本题考查两角和与差的正弦，考查了正弦函数的值域，是基础题（15）已知函数( )f x的图像关于直线2x对称，(0)3f，则( 1)f_.考点：函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f （x+4）=f （x） ，即可得到结论解答：解：因为偶函数 y=f （x）的图象关于直线x=2 对称，所以 f（2+x）=f（2x）=f （x2） ，即 f （x+4）=f（x） ，则 f （1）=f（1+4）=f（3）=3，故答案为： 3点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f （x+4）=f （x）是解决本题的关键，比较基础（16）数列
17、na满足121,21nnaaa，则1a=_.考点：数列递推式分析： 根据 a8=2， 令 n=7代入递推公式 an+1=，求得 a7， 再依次求出 a6，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - - a5 的结果，发现规律，求出a1 的值解答：由题意得， an+1=，a8=2，令 n=7代入上式得， a8=，解得 a7=；令 n=6代入得， a7=，解得 a6=1；令 n=5代入得， a6=，解得 a5=2；根据以上结果发现，求得结果按2，
18、，1 循环，83=22，故 a1=故答案为：点评：本题考查了数列递推公式的简单应用， 即给 n 具体的值代入后求数列的项，属于基础题三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）四边形 ABCD 的内角A与C互补， AB=1 ，BC=3, CD=DA=2.（）求C和BD;（）求四边形ABCD 的面积。解：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - - （）由题设及余弦定理得13 12cosC54cosC由，得
19、1cos2C，故60 ,7CBDo（）四边形ABCD的面积（18） （本小题满分 12 分）如图， 四凌锥PABCD中， 底面ABCD为矩形，PA面ABCD，E为PD的中点。（）证明：/PB平面AEC;（）设置1AP，3AD，三棱锥PABD的体积34V，求 A到平面 PBD 的距离。解：（）设 BD与 AC的交点为O，连接EO因为 ABCD 为矩形，所以O为 BD的中点，又因为 E为 PD的中点，所以 EO/PBEO平面AEC，PB平面AEC，所以/PB平面AEC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -
20、-第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - - （）113366ABDVSPAPA AB ADAB由题设知34V，可得32AB做AHPB交PB于H由题设知BCPAB平面，所以BCAH，故AHPBC平面，又3 1313PA ABAHPB所以A到平面PBC的距离为3 1313（19） （本小题满分 12 分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50 位市民。根据这 50 位市民甲部门乙部门35 9440 4 4 89 751 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9 9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 060 1 1 2 3 4 6 8 8 精品资料 - -
21、- 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 070 0 1 1 3 4 4 9 6 6 5 5 2 0 081 2 3 3 4 5 6 3 2 2 2 090 1 1 4 5 6100 0 0 （）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；（）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于90 的概率；（）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。解：（）由所给茎叶图知
22、，50 位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26 位的是 75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75.50 位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26 位的是 66，68，故样本中位数为6668672，所以该市的市民对乙部门品分的中位数的估计值是67.（）由所给茎叶图知，50 位市民对甲、乙部门的评分高于90 的比率分别为580.1,0.165050，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90 的概率的估计值分别为 0.1 ，0.16.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -
23、 - - - - - - -第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - - （）由所给茎叶图知， 市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数， 而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差， 说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致， 对乙部门的评价较低、评价差异较大（注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分。 ）（20） （本小题满分 12 分）设12,FF分别是椭圆C：12222byax（ab0）的左右焦点， M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线1MF与C的另一个交点为 N。（）若直线 MN 的斜率为43，求C的离心
24、率；（）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5|F1N|，求 a，b。解：（）根据22cab及题设知22( ,),23bM cbaca将222bac代入223bac，解得1,22ccaa（舍去）故C的离心率为12（）由题意，原点O为12F F的中点，2/MFy轴，所以直线1MF与y轴的交点(0,2)D是线段1MF的中点，故24ba，即24ba由1| 5|MNF N得11|2|DFF N精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - -
25、 - 设11(,)N xy，由题意知10y，则112()22cxcy即11321xcy代入C的方程，得2229114cab将及22cab代入得229(4 )1144aaaa解得27,428aba，故（21） （本小题满分 12 分）已知函数32( )32f xxxax，曲线( )yf x在点（0,2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2.（）求 a；（）证明：当时，曲线( )yf x与直线2ykx只有一个交点。解：（）2( )36fxxxa，(0)fa曲线( )yf x在点（ 0，2）处的切线方程为2yax由题设得22a，所以1a（）由（）知，32( )32fxxxx设32( )( )23(1)4
26、g xf xkxxxk x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 由题设知10k当0 x时，2( )3610gxxxk，( )g x单调递增，( 1)10,(0)4gkg，所以( )0g x在(,0有唯一实根。当0 x时，令32( )34h xxx，则( )( )(1)( )g xh xk xh x2( )363 (2),( )h xxxx xh x在(0, 2)单调递减，在(2,)单调递增，所以所以( )0g x在(0,)没有实根综
27、上( )0g x在 R由唯一实根，即曲线( )yf x与直线2ykx只有一个交点。请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。（23） （本小题满分 10 分）选修 4-4: 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ,0,2（）求 C的参数方程；（）设点 D在 C上，C在 D处的切线与直线:32lyx垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定D的坐标。解：（）C的普通方程为可得C的参数方程为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 1 cossinxtyt（t为参数，0t）（）设(1cos ,sin )Dtt由（）知C是以(1,0)G为圆心， 1 为半径的上半圆，因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线 GD与l的斜率相同。故D的直角坐标为(1cos,sin)33，即33(,)222020-2-8精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - - -