《高三数学-寒假理科第5讲.解析几何核心条件透析..doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学-寒假理科第5讲.解析几何核心条件透析..doc（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第5讲 解析几何核心条件透析课前思考请思考以下问题？1椭圆中，离心率的大与小与椭圆的圆与扁的关系是什么?双曲线中，离心率的大与小与渐近线在双曲线所在区域的张角的大与小关系是什么？2为椭圆上的动点，何时最大？若存在四个点使得，则椭圆的离心率的取值范围是什么？3在椭圆和双曲线中，焦点与的函数关系分别是什么？是怎么得到的？4在抛物线中，是焦点弦，则分别是定值，分别是多少？如果只是一般的经过抛物线对称轴上一定点，则还是定值吗？5你知道学案贴吧吗？请在学案贴吧写出你在本节学习中的收获思维训练 一、高考真题再现1. 已知抛物线的焦点为点，过点且斜率为的直线交抛物线于点，若，则（ ）ABCD【解析】 D2.
2、 直线与圆相交于，两点（其中，是实数），且是直角三角形（是坐标原点），则点与点之间距离的最大值为（ ） AB2CD【解析】 A3. （2013福建 3）双曲线的顶点到渐进线的距离等于（ ）A B C D【解析】 C4. （2013浙江9）如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二、四象限的公共点若四边形为矩形，则的离心率是（ ）A B C D【解析】 D5. （2013重庆7）已知圆，圆，、分别是圆、上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ）A B C D【解析】 A6. （2013福建14）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于_【解析】7. （湖
3、北文、理科10）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：；其中正确式子的序号是（ ）ABCD【解析】 B 二查漏补缺8. 已知都在直线上，化简得 （结果仅保留）【解析】9. 求下列函数的值域 【解析】 ；10. 若已知与椭圆联立消，可以得到方程：那么请类比出消掉，留下的一个二次方程是 类比与双曲线联立消，可以得到的方程是 【解析
4、】 知识纵横 本版块列出了直线与圆、圆锥曲线的知识网络体系，可以作为学生对自己知识体系的检验老师可以重点讲讲直线方程不同形式如何选择及每种形式不能表示的直线（易错点）、直线与圆的位置关系问题的常见处理手法（利用点到弦的距离对应的三角形）、结合知识回顾回顾总结圆锥曲线的性质与离心率常见求法等补充一个知识点如下：【补充】顶点弦斜率关系的一个结论顶点弦问题的提出来源于椭圆与双曲线的一个重要性质：椭圆或双曲线上的点与它的一对顶点、（对于圆，取直径的两端点）的连线斜率的乘积为定值对于椭圆，取其左右顶点，那么对于上任意一点，将椭圆方程变形，有，代入上式有类似的，我们可以得到对于双曲线，有；、对于圆，有顶点
5、弦的结论可以推广，椭圆或双曲线的左、右顶点推广成任意两个关于原点（即圆锥曲线中心）对称的点，结论不变，例子见知识回顾第5题例：已知点在双曲线（）的右支上（与不重合），分别为双曲线的左、右顶点，且，则（ ）A B C D【解析】 D；设，则，所以，；根据双曲线顶点弦的性质，因此与互余，当然如果不借助这个结论，本题可以用正弦定理、余弦定理或是向量相关的知识解决圆锥曲线解答题常常以顶点弦的这个结论，或其推广的结论为几何背景更多应用见后面的例9+拓2倾斜角和斜率直线位置关系直线方程的形式倾斜角的变化与斜率的变化重合平行相交垂直点斜式：yy0k(xx0)斜截式：ykxb两点式：截距式：1一般式：AxBy
6、C0注意各种形式的转化和运用范围.两直线的交点距离点到直线的距离：d，平行线间距离：d圆圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系两圆的位置关系相交、相切、相离外离、外切、相交、内切、内含曲线与方程轨迹方程的求法：直译法、相关点法、参数法、交轨法圆锥曲线椭圆双曲线抛物线定义及标准方程性质范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线）离心率对称性问题中心对称轴对称点(x1，y1) 点(2ax1，2by1)曲线f (x，y) 曲线f (2ax，2by)中点在线上、垂直特殊对称轴xyC0直接代入法截距注意：截距可正、可负，也可为0.点(x1，y1)与点(
7、x2，y2)关于直线AxByC0对称强化精练 考点1：弦长与面积【铺垫】两根差绝对值公式“椭圆，弦的端点满足，求面积的取值范围”这道题里的面积表达式你怎么处理？“椭圆，弦的经过，求面积的取值范围”这道题里的面积表达式怎么处理？ “设椭圆中心在坐标原点，、是它的两个顶点，直线与相交于点，与椭圆相交于两点求四边形面积的最大值”这道题里的面积表达式又该怎么处理【解析】 略【例1】 （2013 新课标II 20）平面直角坐标系中，过椭圆（）右焦点的直线交于，两点，为的中点，且的斜率为 求的方程 ，为上两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值【解析】 的方程为 最大值为【备选】（2013 新课标I
8、20）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线 求的方程； 是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于，两点，当圆的半径最长时，求【解析】 或考点2：垂直的表达【铺垫】若抛物线的一条弦，使得，则与轴的交点是 若点，已知，则中垂线与轴交点的横坐标是 （用关于的式子表达）椭圆，弦的端点满足，则弦长度的取值范围是 【解析】 ；【例2】 （2010 西城一模 18）椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为求椭圆的方程；设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率【解析】 椭圆的方程为 或【拓展】是椭圆的一个顶点，是否存在以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若
9、存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由【解析】综上所述，满足题意的三角形只有个，若满足题意的三角形有个考点3：轨迹与方程【铺垫】 椭圆，被一族斜率为的直线所截，弦中点轨迹方程为 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程是 【解析】 即点轨迹为：【例3】 （2013四川20）已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆经过点 求椭圆的离心率； 设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程【解析】 椭圆的离心率 点的轨迹方程为，其中，考点4：定值问题【例4】 （2012江西理20）已知三点，曲线上任意一点满足求曲线的方程；动点在曲线上，曲线
10、在点处的切线为问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的值若不存在，说明理由【解析】 曲线的方程： 存在，使得与的面积之比是常数考点5：过定点和过定直线问题【铺垫】（2012北京理19）已知曲线 若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； 设，曲线与轴的交点为（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，直线与直线交于点求证：三点共线【解析】 当时，曲线的方程为，点的坐标分别为由得因为直线与曲线交于不同的两点，所以，即设点的坐标分别为，则，直线的方程为，点的坐标为因为直线和直线的斜率分别为，所以即故三点共线【例5】 （2012福建19）如图，椭圆的左焦点为，右
11、焦点为，离心率过的直线交椭圆于、两点，且的周长为8 求椭圆的方程 设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【解析】 椭圆的方程是 存在定点，使得以为直径的圆恒过点考点6：抛物线备案【例6】 （2013广东20）已知抛物线的顶点为原点，其焦点（）到直线的距离为设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中，为切点 求抛物线的方程； 当点为直线上的定点时，求直线的方程； 当点在直线上移动时，求的最小值【解析】 抛物线的方程为 直线的方程为 最小值为考点7：偏几何类型题【铺垫】（2010北京理1
12、9）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程；设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【解析】 动点的轨迹方程为 存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为【铺垫】（2013北京理19）已知是椭圆上的三个点，是坐标原点 当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积； 当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由【解析】 四边形不可能为菱形理由如下：假设四边形为菱形因为点不是的顶点，且直线不过原点，所以可设的方程为由消去并整理得设，则，所以的中点为因为为和的交点，所以直线的斜率为因为
13、，所以与不垂直所以不是菱形，与假设矛盾所以当点不是的顶点时，四边形不可能是菱形【例7】 已知椭圆，分别为左、右焦点，分别为左、右顶点，长轴的长为4，直线（其中）与轴交点为，而且 求椭圆的方程， 若直线，为上动点，使得最大的点记为，求点坐标（用表示）【解析】 椭圆方程为 ，【备选】（2008四川理科21）设椭圆 的左、右焦点分别为、，离心率，右准线为，、是上的两个动点，若，求、的值；证明：当取最小值时，与共线【解析】 ， ，当且仅当或时，取等号此时取最小值此时与共线另解：，设，的斜率分别为，由，由当且仅当即，时取等号即当最小时，此时与共线头脑风暴 直线过整点的探索类问题，需要对每个选项单独分析，
14、选取合适的反例或进行简单的推理证明整点问题在北京2012年高考第8题中出现过，是创新题的一种，三轮复习的创新题会有整点问题板块，会对整理与取整函数的问题进行进一步研究（2011安徽15）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_（写出所有正确命题的编号）存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果与都是无理数，则直线不经过任何整点直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数存在恰经过一个整点的直线【解析】 ；正确，如就不经过任何整点；错误，如经过整点；正确，设：，当经过两个不同的整点，时，有，于是，当，即
15、取，时，点在直线上，且为整点故此时经过无穷多个整点反之一定成立错误，直线经过无穷多个整点的必要条件是与都是有理数，但此条件不充分如不经过任何整点正确，如恰经过一个整点实战演练 【演练1】 （2013新课标I）已知椭圆（）的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点若的中点坐标为，则的方程为（ ）ABCD 设抛物线（）的焦点为，点在上，若以为直径的圆过点，则的方程为（ ）A或 B或C或 D或【解析】 D；C【演练2】 （2013浙江21）如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于，两点，交椭圆于另一点 求椭圆的方程； 求面积取最大值时直线的方程【解析】 所求直线的方
16、程为【演练3】 已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、 若为等边三角形，求椭圆的方程； 若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程【解析】 直线的方程为或【演练4】 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和 求椭圆和双曲线的标准方程； 设直线、的斜率分别为、，证明； 是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解析】 椭圆的标准方程为双曲线的标准方程为 设，则，因为点在双曲线上，所以因此，即 存在，使恒成立【演练
17、5】 （2013山东22）椭圆（）的左、右焦点分别是、，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为 求椭圆的方程； 点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线 交的长轴于点，求的取值范围； 在的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点设直线，的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值【解析】 椭圆方程为 由题意可知，为椭圆的在点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：，所以，而，代入中得为定值【演练6】 （2013湖南21）过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且，与相交于点，与相交于点，以，为直径的圆，圆（，为圆心）的公共弦所在的直线记为 若，证明； 若
18、点到直线的距离的最小值为，求抛物线的方程【解析】 ，设， 直线方程：，与抛物线方程联立，化简整理得：，同理， 所以，成立（证毕） 抛物线的方程为【演练7】 如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点， 求该椭圆的标准方程； 取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外若，求圆的标准方程【解析】 椭圆的标准方程为 这样的圆有两个，其标准方程分别为，思维进阶 （2012清华保送）与围成区域中有矩形，且、在抛物线上，在直线上，其中在轴右侧，且长为 当与轴平行时，求矩形面积的函数表达式； 当边与重合时，求矩形面积的最大值【解析】 由题意，则，又联立，解得交点为，则，则， 分析：本题有坑点考虑到与的一个交点为，且与垂直，则点只能在轴上或者轴右侧则设，又其与抛物线有二交点故联立得，即，即，令，故