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1、概率论与数理统计教学中有关正态分布性质的课堂讲授 打开文本图片集 摘 要：正态分布是概率论与数理统计中最重要的分布，正态分布有许多经典性质和较强的实际应用价值，本文主要介绍在概率论和数理统计课程中有关正态分布性质的课堂讲授方法。 关键词：概率论，数理统计，正态分布 概率论与数理统计这门课程是理工学科本科生特别重要的一门数学基础课程，学生只要有了微积分和线性代数的基础就可以学习概率论与数理统计。正态分布是概率论与数理统计课程中特别重要的一个分布，有关正态分布的定义、性质及应用贯彻这门课的始终，因此在课堂上关于正态分布由来、定义、性质及应用等内容的透彻讲解是特别重要的。 正态分布，也称高斯分布，最
2、早在1733年由棣莫弗在求二項分布B在N为取值较大并且为偶数，p=1/2时概率分布的渐近公式中得到，1809年高斯在探讨测量误差时从误差的最大似然估计角度导出了正态分布的密度函数。与此同时拉普拉斯将误差的正态分布理论和中心极限定理联系起来，指出假如误差可以看成很多微小量的叠加而成，则依据他给出中心极限定理，随机误差应当听从正态分布。 假如一个连续型随机变量X的密度函数f为： 那么就称随机变量X听从正态分布，记作XN正态分布的密度曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，又常称之为钟形曲线。参数？滋为正态分布的期望，也是正态分布的一阶半不变量，并且参数？滋确定了密度曲线对称轴，因此也称为位置参数;参
3、数？滓2为正态分布的方差，也是正态分布的二阶半不变量，正态分布的三阶及以上半不变量均为0，并且参数？滓2确定了密度曲线的幅度，因此也称为尺度参数。当？滋=0，？滓2=1时的正态分布是标准正态分布。 一、正态分布密度函数的难点 假如一个连续型随机变量XN其密度函数f的核为：fe-x2而函数g=e-x2即为一个钟型曲线，由微积分的性质可知对于不定积分e-x2dx是没有显示原函数的，因此在求解定积分e-x2dx时，就不行以应用闻名的牛顿-莱布尼茨定理：假如函数f区间a，b上有定义，并且满意以下条件，在区间a，b上可积，在区间a，b上存在原函数F，则.fdx=F-F=Fba因此不同于匀称分布、指数分布
4、的状况，正态分布在计算随机变量取值在区间a，b上的概率时，无法给出精确解，须要查标准正态分布分布函数值表来得到近似解，并且随意一个听从正态分布N的随机变量X须要通过中心标准化转换成标准正态分布N。综上，在课堂讲授时需向同学说明清晰正态密度曲线的特点，并且说明清晰正态分布的概率计算为什么须要查表得近似值。 二、正态分布密度函数必定事务的概率 假如连续型随机变量XN，其密度函数为f，则确定有fdx=1，当然这个结论也不是通过牛顿-莱布尼茨定理得到，而且利用了定积分中的坐标变换得到的。不妨以标准正态分布来举例，连续型随机变量XN，其密度函数为？渍，记I=？渍dx>0，则I2=？渍dx？渍dx，
5、此时，利用直角坐标系与极坐标系的转换，记r2=x2+y2，tan？兹=y/x则有I2=edxdy=erdrd？兹=1，因此可以得到I=？渍dx=1. 综上，正态分布密度曲线下方面积为1是利用了肯定的数学技巧得到的，需给同学说明清晰。 三、常见的正态分布性质 正态分布作为概率论与数理统计中最重要的分布，它有许多经典性质，了解这些性质可以加深对正态分布的理解与驾驭，下面列举一些常见的正态分布的性质。 两个独立的正态分布的乘积还是正态分布; 两个独立正态分布的卷积还是正态分布，也就是两个正态分布的和还是正态分布; 正态分布N的傅立叶变换还是正态分布; 中心极限定理保证了多个随机变量的求和效应将导致正
6、态分布; 正态分布和其它具有相同方差的概率分布相比，具有最大熵; Cramer分解定理：假如X，Y是独立的随机变量，且S=X+Y是正态分布，那么X，Y也是正态分布; 假如X，Y独立且均听从正态分布N，那么X+Y，X-Y独立且同分布，而正态分布是唯一满意这一性质的概率分布; 对于两个正态分布X，Y，假如X，Y不相关则意味着X，Y独立，而正态分布是唯一满意这一性质的概率分布。 总之，在概率论与数理统计课程上介绍正态分布时，需介绍正态分布的产生历史、密度函数特点、常见的性质，加深同学对正态分布的理解，更好的驾驭有关正态分布的内容。 参考文献： 1熊令纯.正态分布的若干性质J.数学理论与应用，2000，：103-105. 2武妍戎.正态分布及其衍生分布的性质统计意义探讨J.科学家，2022，：2022. 第4页 共4页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页