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1、抛物线的方程与性质编稿：张希勇 责编：李霞【学习目标】1掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.2理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）.3能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题.4. 进一步体会数形结合的思想方法.【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线要点诠释:(1) 上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值(2) 定义中的隐含条件：焦点F不在准线l上，若F在l上，抛物线变为过F且垂直与l的一条直线.(3) 抛物线定义建立了抛物线上的点、
2、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.要点二、抛物线的标准方程标准方程的推导如图，以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.设|KF|=p(p0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为.设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合.将上式两边平方并化简，得. 方程叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是.抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物
3、线方程的的四种形式，。要点诠释：只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是。一般情况归纳：方程图象的开口方向焦点准线时开口向右时开口向左时开口向上时开口向下从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后
4、求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。要点三、抛物线的简单几何性质：抛物线标准方程的几何性质范围：，抛物线y2=2px（p0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。对称性：关于x轴对称抛物线y2=2px（p0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条
5、对称轴。顶点：坐标原点抛物线y2=2px（p0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。离心率：.抛物线y2=2px（p0）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用e 表示，e=1。抛物线的通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。因为通过抛物线y2=2px（p0）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，所以抛物线的通径长为2p。这就是抛物线标准方程中2p的一种几何意义。另一方面，由通径的定义我们还可以看出，P刻画了抛物线开口的大小，P值越大，开口越宽；P值越小，开口越窄抛物线标准方程几何性质的对比图
6、形标准方程y2=2px（p0）y2=2px（p0）x2=2py（p0）x2=2py（p0）顶点O（0，0）范围x0， x0，y0，y0，对称轴x轴y轴焦点离心率e=1准线方程焦半径要点诠释：（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；（2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.【典型例题】类型一：抛物线的定义例1.已知抛物线的焦点为（3，3），准线为x轴，求抛物线的方程。【解析】设M（x，y）为
7、抛物线上的任意一点，则由抛物线的定义，得两边平方，整理得所求抛物线的方程为【总结升华】当抛物线的顶点不在原点，对称轴不是坐标轴时，我们只能根据定义求抛物线的方程.举一反三：【变式】求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点(-2，3)；【答案】：设y2=2px，以(-2，3)代入，得，；设x2=2py，以(-2，3)代入，得，。（2）焦点在直线3x-4y-12=0上；【答案】：若焦点为（4，0），则y2=16x若焦点为（0，-3），则x2=-12y（3）准线过点(2，3)；【答案】：准线为x=2，则y2= -8x准线为y=3，则x2= -12y（4）焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离等于
8、5。【答案】：设抛物线方程为x2=-2py（p0），则点M(m,-3)到准线的距离为5，即，p=4，x2=-8y例2.平面上动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程。【解析】解法一：设P点的坐标为（x，y），则有，两边平方并化简得y2=2x+2|x|。即点P的轨迹方程为y2=4x（x0）或y=0（x0）。解法二：由题意，动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，由于点F（1，0）到y轴的距离为1，故当x0时，直线y=0上的点适合条件；当x0时，原命题等价于点P到点F（1，0）与到直线x=1的距离相等，故点P在以F为焦点，x=1为准线的抛线物上，其轨迹方程为
9、y2=4x。故所求动点P的轨迹方程为y2=4x（x0）或y=1（x0）。【总结升华】求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解。举一反三：【高清课堂：抛物线线的方程358821例2】【变式1】若点M到定点F（4，0）的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程。【答案】动点M的轨迹方程为【变式2】若动圆与定圆:相外切，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程.【答案】类型二：抛物线的标准方程例3求过点的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：【解析】点在第二象限，抛物线开口方向
10、上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为（），过点，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为（），过点，所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.【总结升华】求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程.【答案】.【变式2】抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(5,2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为()Ay22x By24xCy22x Dy24x或y236x【答案】B类型三：抛物线的几何性质【高清课堂：抛物线线的方程35882
11、1例1】例4. （1）写出抛物线的焦点坐标、准线方程；（2）已知抛物线的焦点为写出其标准方程；（3）已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.【解析】（1）抛物线的标准方程为，因为2p=4，所以焦点坐标为（0，1），准线方程为.（2）因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且=2，所以，从而所求抛物线的标准方程为.（3）由已知得，所以所求抛物线标准方程为，焦点坐标为，准线方程为.【总结升华】讨论抛物线的方程和几何性质时要注意抛物线的焦点轴和几何量的 区别与联系.举一反三：【变式】已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程【答案】因为p=3
12、,所以焦点坐标是准线方程是例5.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）（2015 聊城校级模拟改编）过点（3，2）的抛物线方程；（2）焦点在直线x2y4=0上【答案】（1）或 （2）y2=16x或x2=8y x=4，y=2【思路点拨】（1）设过点M（3,2）的抛物线是或，把点M的坐标代入，求得的值，可得结论。（2）焦点既在坐标轴上又在所给直线上，所以分别令x=0得y,y=0得x,求得P。【解析】（1）设过点M（3,2）的抛物线方程是或若抛物线方程是，把M（3,2）代入可得，求得，可得抛物线方程是。若抛物线的方程为，把M（3,2）代入可得，求得，可得抛物线方程是。故抛
13、物线方程是或。（2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，抛物线的焦点为（4，0）或（0，2）当焦点为（4，0）时，=4，p=8，此时抛物线方程y2=16x；焦点为（0，2）时，=2，p=4，此时抛物线方程为x2=8y所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=8y，对应的准线方程分别是x=4，y=2【总结升华】 过抛物线y22px的焦点F的弦AB长的最小值为2p 设A(x1，y)，B(x2，y2)是抛物线y22px上的两点， 则AB过F的充要条件是y1y2p2 设A， B是抛物线y22px上的两点，O为原点， 则OAOB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0).举一反三：【变式1】已知抛物线y24
14、x的内接三角形OAB的一个顶点O在原点，三边上的高都过焦点，求三角形OAB的外接圆的方程【答案】OAB的三个顶点都在抛物线上，且三条高都过焦点，ABx轴，故A、B关于x轴对称，设A，则B，又F(1,0)，由OABF得，解得20，A(5,2)，B(5，2)，因外接圆过原点，且圆心在x轴上，故可设方程为：x2y2Dx0，把A点坐标代入得D9，故所求圆的方程为x2y29x0.【变式2】（2015 铜仁市模拟）如图过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，则抛物线的方程为（ ）A. B. C. D. 【解析】如图分别过点A,B作准线的垂线，分别交准线于点E,D,设|BF|=a,则由已知得：|BC|=2a,由定义得：|BD|=2a，故，在直角三角形ACE中， ，从而得因此抛物线的方程是。故选B。