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1、机械振动 复习与巩固编稿：张金虎 审稿：李勇康【学习目标】1通过观察和分析，理解简谐运动的特征。能用公式和图像描述简谐运动的特征。2通过实验，探究单摆的周期与摆长的关系。3知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。会用单摆测定重力加速度。4通过实验，认识受迫振动的特点。了解产生共振的条件以及在技术上的应用。【知识网络】【要点梳理】要点一、简谐运动 1定义 物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。 表达式为：，是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定
2、是简谐运动。 （1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。 （2）回复力是一种效果力，是振动物体在沿振动方向上所受的合力。 （3）“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态。） 要点诠释：简谐运动的位移大小和方向都是相对平衡位置来说的，是从平衡位置指向所在位置的矢量。 2几个重要的物理量间的关系 要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x、回复力F、加速度a、
3、速度v这四个矢量的相互关系。 （1）由定义知：，方向与位移方向相反。 （2）由牛顿第二定律知：，方向与方向相同。 （3）由以上两条可知：，方向与位移方向相反。 （4）和之间的关系最复杂：当同向（即同向，也就是反向）时一定增大； 当反向（即反向，也就是同向）时，一定减小。 3从总体上描述简谐运动的物理量 振动的最大特点是往复性或者说是周期性。因此振动物体在空间的运动有一定的范围，用振幅A来描述；在时间上则用周期来描述完成一次全振动所需的时间。 （1）振幅A是描述振动强弱的物理量。（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的） （2）周期T是描述振动快慢的物
4、理量。周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。任何简谐运动都有共同的周期公式：（其中是振动物体的质量，是回复力系数，即简谐运动的判定式中的比例系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。 （3）频率也是描述振动快慢的物理量。周期与频率的关系是。 4表达式 ，其中A是振幅，是时的相位，即初相位或初相。 5简谐运动的能量特征 振动过程是一个动能和势能不断转化的过程，振动物体总的机械能的大小与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。简谐运动的振幅不变，总的机械能守恒。 6简谐运动中路程和时间的关系 （1）若质点运动时间与周期的关系满足（），则成立要点诠释：不论计时起点对
5、应质点在哪个位置向哪个方向运动，经历一个周期就完成一次全振动，完成任何一次全振动质点通过的路程都等于。 （2）若质点运动时间与周期的关系满足（），则成立 （3）若质点运动时间与周期的关系满足，此种情况最复杂，分三种情形 计时起点对应质点在三个特殊位置（两个最大位移处，一个平衡位置），由简谐运动的周期性和对称性知，成立。 计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间，向平衡位置运动，则 计时起点对应质点在最大位移处和平衡位置之间，向最大位移处运动，则 （4）质点运动时间为非特殊值，则需要利用简谐运动的振动图象进行计算。简谐运动的位移、速度、加速度及对称性 （1）位移：方向为从平衡位置指向振子位置，大
6、小为平衡位置到该位置的距离。 位移的表示方法：以平衡位置为原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某一时刻振子（偏离平衡位置）的位移用该时刻振子所在位置的坐标来表示。振子通过平衡位置时，位移改变方向。 （2）速度：描述振子在振动过程中经过某一位置或在某一时刻运动的快慢。在所建立的坐标轴上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。 振子在最大位移处速度为零，在平衡位置时速度最大，振子在最大位移处速度方向发生改变。 （3）加速度：根据牛顿第二定律，做简谐运动物体的加速度由此可知，加速度的大小跟位移大小成正比，其方向与位移方向总是相反。 振子在位移最大处加速度最大，通过平衡位置
7、时加速度为零，此时加速度改变方向。 （4）简谐运动的对称性 瞬时量的对称性：做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系。另外速度、动量的大小具有对称性，方向可能相同或相反。 过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时时间相等，如，如图所示：要点诠释： 利用简谐运动的对称性，可以解决物体的受力问题，如放在竖直弹簧上做简谐运动的物体，若已知物体在最高点的合力或加速度，可求物体在最低点的合力或加速度。但要注意最高点和最低点合力或加速度的方向相反。 由于简谐运动有周期性，因此涉及简谐运动时，往往出现多解，
8、分析时应特别注意：物体在某一位置时，位移是确定的，而速度不确定；时间也存在周期性关系。要点二、简谐运动的图象1简谐运动的图象 以横轴表示时间，以纵轴表示位移，建立坐标系，画出的简谐运动的位移时间图象都是正弦或余弦曲线。2简谐运动的图象 （1）从平衡位置开始计时，函数表达式为，图象如图。 （2）从最大位移处开始计时，函数表达式，图象如图。 3振动图象的物理意义 表示振动物体的位移随时间变化的规律。4从图象中可以知道 （1）任一个时刻质点的位移 （2）振幅 （3）周期（4）速度方向：由图线随时间的延伸就可以直接看出 （5）加速度：加速度与位移的大小成正比，而方向总与位移方向相反。只要从振动图象中认
9、清位移（大小和方向）随时间变化的规律，加速度随时间变化的情况就迎刃而解了。 要点三、典型的简谐运动 1弹簧振子 （1）周期，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度系数决定。 （2）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是。这个结论可以直接使用。 在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。 2单摆 （1）在一条不可伸长的、质量可以忽略的细线下拴一质点，上端固定，构成的装置叫单摆；当单摆的最大偏角小于时，单摆的振动近似为简谐运动。 （2）单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速
10、度()越大，由于摆球的轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力。 （3）单摆的周期：。在小振幅摆动时，单摆的振动周期跟振幅和振子的质量都没有关系。 3简谐运动的两种模型的比较弹簧振子单摆模型示意特点（1）忽略摩擦力，弹簧对小球的弹力提供回复力（2）弹簧的质量可忽略（1）细线的质量，球的直径均可忽略（2）摆角很小公式回复力（1）回复力（2）周期 【典型例题】类型一、简谐运动例1一弹簧振子做简谐运动，周期为（ ） A若时刻和时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则一定等于的整数倍 B若时刻和时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则一定等于的整数倍 C若，则在时刻和时刻振子运动的加速度
11、一定相等 D若，则在时刻和时刻弹簧的长度一定相等 【思路点拨】利用简谐运动的周期性和对称性分析求解。【答案】C【解析】对A选项，只能说明这两个时刻振子位于同一位置，如图所示。 设在点，并未说明这两个时刻振子的运动方向是否相同，可以是振子由向再回到的时间，故认为一定等于的整数倍是错误的；对B选项，振子两次到位置时可以速度大小相等，方向相反，但并不能肯定等于的整数倍，选项B也是错误的；在相隔一个周期的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必定相同，选项C是正确的；相隔的两个时刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置可位于和对称的处，在处弹簧处于伸长状态，在处弹簧处于压缩状态
12、，弹簧的长度并不相等，选项D是错误的。 【总结升华】利用简谐运动的周期性和对称性分析求解。简谐运动的周期性简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回到原来的状态。简谐运动的对称性简谐运动的物体具有相对平衡位置的对称性。举一反三:【变式1】一质点做简谐振动，其位移与时间的关系曲线如图所示，由可知（ ） A质点振动频率是 B时，质点的加速度最大 C质点的振幅为 D时，质点所受合外力最大 【答案】BC 【解析】由图可知，振动周期为，因而振动倾率，所以选项A错误。图中点是振动平衡位置，质点在平衡位置时所受合外力为零，速度最大，加速度为零；质点在最大位移处所受合外力最大，加速度最大，速度为零，因而选项
13、B正确，选项D错误。振幅是质点偏离平衡位置的最大位移，由图可见，质点偏离平衡位置的最大位移为，振幅为，因而选项C正确。【高清课堂：机械振动 复习与巩固 例9】【变式2】一个单摆做简谐运动，其振动图象如图所示: 该单摆的周期；在末，摆球对于平衡位置的位移。 【答案】 类型二、简谐振动与运动合成的综合例2（2015 咸宁校级期中）如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，C为弧形槽最低点，R.甲球从弧形槽的球心处自由下落，乙球从A点由静止释放，问：(1)两球第1次到达C点的时间之比(2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时将乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球
14、在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？【答案】(1)(2) (n0,1,2，)【解析】(1)甲球做自由落体运动，所以乙球沿圆弧做简谐运动(由于，可认为摆角5)此运动与一个摆长为R的单摆运动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间为，所以(2)甲球从离弧形槽最低点h高处自由下落，到达C点的时间为由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间为n0,1,2，由于甲、乙在C点相遇，故t甲t乙联立解得 (n0,1,2，)举一反三:【变式】光滑斜面倾角为，斜面上有一辆挂有单摆的小车，如图所示，在小车下滑过程中单摆同时摆动，已知摆长为，求单摆的振动周期。 【答案】 【解析】单摆处于
15、失重状态，当单摆与小车相对静止加速下滑时: 悬线拉力为， 故单摆做简谐运动时的等效加速度， 如图所示，故振动周期类型三、弹簧振子模型例3（2015 咸宁校级期中）如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图象，由图可知下列说法中正确的是()A在t0.2 s时，弹簧振子的加速度为正向最大B在t0.1 s与t0.3 s两个时刻，弹簧振子在同一位置C在t0到t0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动D在t0.6 s时，弹簧振子有最小的弹性势能【答案】BC【解析】t0.2 s时，弹簧振子的位移为正向最大值，而弹簧振子的加速度与位移大小成正比，方向
16、与位移方向相反，A错误；在t0.1 s与t0.3 s两个时刻，弹簧振子的位移相同，B正确；从t0到t0.2 s时间内，弹簧振子从平衡位置向正的最大位移处运动，位移逐渐增大，加速度逐渐增大，加速度方向与速度方向相反，弹簧振子做加速度增大的减速运动，C正确；在t0.6 s时，弹簧振子的位移为负向最大值，即弹簧的形变最大，弹簧振子的弹性势能最大，D错误举一反三: 【高清课堂：机械振动 复习与巩固 例2】【变式1】如图所示为一弹簧振子，设向右为正方向，振子的运动（ ） A时，位移是正值，速度是正值； B时，位移是正值，速度是正值； C时，位移是负值，速度是负值； D时，位移是负值，速度是负值 【答案】
17、B【解析】由振子运动知由时为正，在点右侧的位移为正，故B正确。【高清课堂：机械振动 复习与巩固 例7】【变式2】做简谐运动的物体，回复力和位移的关系图是下图所给四个图像中的（ ） 【答案】D【解析】简谐运动的特点为例：公路上匀速行驶的货车受二振动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，即，其振动图像如图所示，则（ ） A时，货物对车厢底板的压力最大 B时，货物对车厢底板的压力最小 C时，货物对车厢底板的压力最大 D时，货物对车厢底板的压力最小 【答案】 C【解析】要使货物对车厢底板的压力最大，则车厢
18、底板对货物的支持力最大，则要求货物向上的加速度最大，由振动图像可知在时，货物向上的加速度最大，货物对车厢底板的压力最大，选项C正确，选项D错误；货物对车厢底板的压力最小，则车厢底板对货物的支持力最小，则要求货物向下的加速度最大，由振动图像可知在时，货物向下的加速度最大，货物对车厢底板的压力最小，所以选项A、B错误类型四、单摆的振动与牛顿第二定律的结合例5一单摆的振动图像如图所示设当地的重力加速度，则： （1）该单摆在振动过程中，指向平衡位置的最大加速度为 （2）单摆到达平衡位置时加速度是零吗？若不是，如何求解？【思路点拨】将单摆振动模型与振动图像结合起来解决问题。【答案】（1）（2） 见解析【
19、解析】（1）由振动图像可知，单摆的振动周期振幅设摆长为，则，所以单摆在位移最大处有最大的加速度，由重力沿切线方向的分力提供（如图11-6所示） 所以， （2）不是因为单摆的振动过程可以看做圆周运动。到达最低点的过程中，机械能守恒，则 故到达最低点时的加速度也就是向心加速度： ,得 【总结升华】将单摆振动模型与振动图像结合起来是解决问题的关键点举一反三: 【高清课堂：机械振动 复习与巩固 例6】【变式】两木块质量分别为，用劲度系数为的轻弹簧连在一起，放在水平地面上，将木块压下一段距离后释放，它就上下做简谐振动。在振动过程中木块刚好始终不离开地面（即它对地面最小压力为零）。求木块的最大加速度，木块
20、对地面的最大压力。【答案】 【解析】刚好未离开地面时，弹簧伸长量为，对于:对于此时，有最大加速度设为，且应在最高点，那么可得：木块对地面有最大压力时，应在最低点，此时压缩量为，对于：，得，对于，最大压力：类型五、测质量的新方法例6某同学设计了一个测量物体质量的装置，如图所示，其中是光滑水平面，是轻质弹簧，是质量为、带夹子的标准质量金属块，是待测质量的物体，已知该装置的弹簧振子做简谐振动的周期为，其中，是振子的质量，是与弹簧的劲度系数有关的常数，当只有物体时，测得其振动周期为，将待测物体固定在上面后，振动周期为，则待测物体的质量为_ 【答案】 【解析】依题意可知，只有标准质量金属块时， 当振子为
21、与的整体时（设的质量为）有 用比得，整理得。 【总结升华】（1）这种测量质量的方法比较新颖，通过测量周期直接求出质量当振子质量改变时，由周期公式知振动的周期也发生相应变化 （2）这种测量质量的方法可以在失重状态下进行。而天平在失重状态下无法使用类型六、共振例7如图为一单摆的共振曲线，根据图象解答： （1）该单摆的摆长约为多少？ （2）共振时单摆的振幅多大？ 【思路点拨】由共振曲线结合频率公式。【答案】（1） （2）【解析】（1）该题考查共振曲线从共振曲线可知，单摆的固有频率，因为，所以，代入数据解得 （2）从共振曲线可知：单摆发生共振时，振幅 举一反三: 【变式】某同学看到一只鸟落在树枝上的处，树枝在内上下振动了次，鸟飞走后，他把的砝码挂在处，发现树枝在内上下振动了次，将的砝码换成砝码后，他发现树枝在内上下振动了次，你估计鸟的质量最接近（ ） A B C D 【答案】B【解析】鸟在树枝上时，树枝振动的周期s，挂上的砝码时，树枝振动周期，挂上的砝码时，树枝振动的周期，由于，所以鸟的质量应满足， 故B选项正确。 【总结升华】本题是一个估算题，直接给出的条件少，这类问题的处理方法是对题目的已知条件进行大胆、合理地“修整”，寻找隐含的条件、规律。 本题主要考查考生灵活运用共振知识的能力。