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1、导数的综合应用题编稿：赵 雷 审稿：李 霞【学习目标】 1. 会利用导数解决曲线的切线的问题。2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题。3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题。4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【要点梳理】 要点一、有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点：切点在切线上切点在曲线上切线斜率等于曲线在切点处的导数值。要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组。要点二、有关函数单调性的问题设函数在区间（a，b）内可导，（1）如果恒有，则函数在（a，b）内为
2、增函数；（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数。要点诠释：（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则。（2）或恒成立，求参数值的范围的方法： 分离参数法：或。 若不能隔离参数，就是求含参函数 的最小值 ，使。（或是求含参函数 的最大值 ，使）要点三、函数极值、最值的问题1.函数极值的问题确定函数的定义域；求导数；求方程的根；检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：（1）先求出定义域（2）一般都要列表：
3、然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点。注意：无定义的点不用在表中列出（3）依表给结论：注意一定指出在哪取得极值。2.函数最值的问题若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.要点诠释：求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。若在开区间内可导，且
4、有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.要点四、优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决。我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题。利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2) 求函数的导数f (x)，解方程f (x)0；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值要点诠释1解决优化问题的方法：首先是需要
5、分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具利用导数解决优化问题的基本思路：解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案2. 得出变量之间的关系后，必须由实际意义确定自变量的取值范围；3. 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f (x)0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值4. 在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考
6、虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去【典型例题】类型一： 利用导数解决有关切线问题例1. 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程【思路点拨】点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点【解析】曲线方程为，点不在曲线上设切点为，则点的坐标满足因，故切线的方程为点在切线上，则有化简得，解得所以，切点为，切线方程为【总结升华】此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A不在曲线上，应先设出切点，然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值。举一反三：【变式1】（2015 梅州三模）已知函数，若过点A（0,16） 的直线方程为 ，与曲线相切，则实数的值是（ ）A. B.3 C.6
7、D.9【答案】设切点为 ， ， 在点处的切线方程为 ，把点A（0,16）代入，得，解得， 过点A（0,16）的切线方程为 。故选D【变式2】求过点且与曲线相切的直线方程【答案】设为切点，则切线的斜率为切线方程为，即又已知切线过点，把它代入上述方程，得解得，即类型二： 利用导数解决有关函数单调性的问题【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题3】 例2.已知函数()=In(1+)-+ (0)。()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间。【思路点拨】()求出导数后，主要根据的正负进行分类讨论。【解析】（I）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 （II
8、），. 当时，. 所以，在区间上，；在区间上，. 故得单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，由，得， 所以，在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时， 故得单调递增区间是.当时，得，.所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是【总结升华】（1）解决此类题目，关键是解不等式或，若中含有参数，须分类讨论。（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域。举一反三：【变式1】 若恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间.【答案】（1）当时，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；（2）当时，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；（3
9、）当时，则由得，由，得综上可知，当时，恰有三个单调区间：减区间；增区间【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题1】【变式2】函数的图象大致是（ ）【答案】C首先易判断函数为奇函数，排除A，求导后解导数大于零可得周期性区间，从而排除B、D,故选C.类型三：利用导数解决函数极值、最值的问题例3.设函数（），其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的极大值和极小值；【解析】（）当时，得，且，所以，曲线在点处的切线方程是，整理得（）令，解得或由于，以下分两种情况讨论（1）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且（2）若，当变化时，的正负如下表
10、：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且【总结升华】1. 导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图像法。2. 列表能比较清楚的看清极值点。3. 写结论时极值点和极大（小）值都要交代清楚。举一反三：【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题2】【变式1】（2009天津卷理）设函数则（ ）A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。C在区间内有零点，在区间内无零点。D在区间内无零点，在区间内有零点。 【答案】D由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。【变式2】已知函数(x0)在x
11、 = 1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数。（1）试确定a,b的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间并求极值；【答案】（1） 由题意知，因此，从而又对求导得由题意，因此，解得（2）由（1）知（），令，解得当时，此时为减函数；当时，此时为增函数所以有极小值.因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为,当时，取极小值.例4. 已知函数 (为常数).（）当时，求函数的单调区间； （）求函数在上的最值；【思路点拨】（）求导后可采用求根法求出极值点，再讨论增减性以确定最值。【解析】（）当时，函数=，函数的定义域为由得：，函数的单调增区间为；由得：，函数的单调减区间为；（）, 若，则对任意的都有，函数
12、在上为减函数, 在上有最大值，没有最小值，；若，令得，当时，时，函数在上为减函数，时，函数在上为增函数时，函数有最小值，当时，在恒有，函数在上为增函数，在有最小值，；【总结升华】求含参函数在某区间上的最值问题，首先要通过对参数分类讨论，确定出函数的单调区间，其次要善于对极值和端点值进行比较，此时往往需要继续分类讨论。 举一反三：【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题4】【变式】已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值【答案】(1)f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x3，函数f(x)的单调
13、递减区间为(，1)，(3，)(2)f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，f(2)f(2)在(1,3)上f(x)0，f(x)在(1,2上单调递增又由于f(x)在2，1)上单调递减，f(1)是f(x)的极小值，且f(1)a5.f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值，于是有22a20，解得a2.f(x)x33x29x2.f(1)a57，即函数f(x)在区间2,2上的最小值为7.类型四： 利用导数解决优化问题例5. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？【思路
14、点拨】选取一个控制变量，建立体积的函数是本题的第一个关键。【解析】设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为：.故长方体的体积为从而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1， x=1.当0x1时，V（x）0；当1x时，V（x）0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。最大体积VV（x）912-613（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。【总结升华】 生活中的优化问题，大多可以建立目标函数。本题的目标函数为高次多项式函数，采用导数法可解。 同时要格外注意实际意义对
15、定义域的影响； 举一反三： 【变式1】（2015秋 房山区期末）某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润（万元）情况如下：投入资金甲产品利润乙产品利润412.5该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润（万元）是 ABCD【答案】B【变式2】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=） 【答案】设楼房每平方米的平均综合费用为，则 ，令，得x=15 当x15时，当10x15时， 因此，当x=15时，取得最小值 答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层