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1、第6讲 立体几何教师备案一、总体架构安排 1总体说明立体几何在北京高考中一般考查一道选择填空题与一道解答题，小题考查平行垂直判断或三视图问题时，一般是中等难度（2012年那道三视图问题较难），有时考查动点问题，处在小题压轴位置二轮复习的重点是动点问题，通过这类问题能更好地理解空间几何体，培养空间想象能力解答题我们只解决一轮复习中没有涉及到的折叠问题与共面问题 本讲例题安排：例题考查点例1空间几何体性质综合例2定性分析空间几何体问题例3动点轨迹问题例4最值问题探索例5解答题折叠问题例6解答题共面问题 2时间安排本讲题量适中，建议课时3小时二、一轮、二轮、三轮复习衔接一轮复习时，我们复习立体几何经
2、典题型，对空间几何体的概念与几何性质、表面积与体积求法、三视图、平行与垂直的判定与性质的理解与应用，进行了详细梳理与复习二轮复习侧重于综合应用与创新应用，着重解决常见几何体中的各种性质的综合判断、立体几何中的动点问题：包括动点情况下的不变量探究，与函数图象结合的问题以及最值问题探索三轮复习中的立体几何解答题会在前三道解答题满分策略中进行题型总结与方法归纳，立体几何小题压轴中的一类创新题会在创新小题一讲中进行进一步的研究知识回顾 本版块回顾了三视图、平行与垂直的判定与性质定理的应用、空间几何体的结构特征， 建议时间15分钟，星级表示难度，星星越多，难度较高建议尖子班讲一星的问题为主，目标班着重讲
3、二星的问题三视图问题1（）（2012石景山一模7）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A B C D2（）（2012西城高三期末7）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A8 B C4 D3（）（2011安徽6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A48 B C D50 垂直平行判断问题4（）（2011东城高三期末4）已知，为不重合的两个平面，直线，那么“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（）（2012海淀高三期末4）已知平面，直线，若，则（ ）A垂直于平面的平面一定平行于平面B垂直于直线的直线一定
4、垂直于平面C垂直于平面的平面一定平行于直线 D垂直于直线的平面一定与平面，都垂直6（）（2012东城二模6）已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出的是（ ）A，且 B，且 C，且 D，且空间几何体7（）（2011西城二模4）已知六棱锥的底面是正六边形，平面则下列结论不正确的是（ ）A平面 B平面 C平面D平面8（）（2010福建6）如图，若是长方体被平面截去几何体 后得到的几何体，其中为线段上异于的点，为线段上异于的点，且，则下列结论中不正确的是（ ）AB四边形是矩形C是棱柱D是棱台答案及解析1A，2D；3C；4A； 5D； 6B；7D； 8D； 知识纵横
5、 该版块列出了立体几何的知识点网络体系，可以作为学生对自己知识与基本方法掌握情况的检验可以重点梳理一下平行关系转化与垂直关系转化的具体过程 【补充】任何一个四面体，总可以找到一个平行六面体，使得四面体的每条棱是平行六面体的每个面的一条对角线，相当于把四面体放在一个平行六面体中去研究对于一个已知四面体，如何去构造出平行六面体？取中点，把平移过来得到，使得与互相平分；同样平移得到，则平行四边形与全等，且平面平面，从而可知为平行六面体例：一个四面体满足其中两组对棱互相垂直，则另外一组对棱互相垂直吗？一个四面体满足其中两组对棱相等，则另外一组对棱也相等吗？【解析】互相垂直；两组对棱垂直说明该四面体对应
6、的平行六面体的侧面为菱形，从而底面也为菱形，则另一组对棱也互相垂直不相等；两组对棱相等说明该四面体对应的平行六面体的侧面为矩形，从而可知该平行六面体为直四棱柱，但不能说明底面为矩形，即不能说明另一组对棱相等点与线空间点、线、面的位置关系点在直线上点在直线外点与面点在面内点在面外线与线共面直线异面直线相交平行平行相交有公共点没有公共点直线在平面外直线在平面内面与面平行相交平行关系的相互转化垂直关系的相互转化线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直空间几何体柱体棱柱圆柱正棱柱、长方体、正方体台体圆台锥体圆锥球三棱锥、四面体、正四面体三视图直观图体积棱台棱锥侧面积、表面积只有一个公共点没有公
7、共点线与面长对正高平齐宽相等例题精讲尖子班学案1【铺1】 （2011湖北文7）设球的体积为，它的内接正方体的体积为，下列说法中最合适的是（ ）A比大约多一半 B比大约多两倍半C比大约多一倍 D比大约多一倍半（2012海淀一模文12）已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是_，左视图的面积是_【解析】 D ；考点：空间几何体综合【例1】 （2011新课标文16）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_（2011重庆文10）高为的四棱锥的底面是边长为的正方形
8、，点，均在半径为的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为（ ）A B C D（2012安徽文15）若四面体的三组对棱分别相等，即，则_(写出所有正确结论编号) 四面体每组对棱相互垂直四面体每个面的面积相等从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长【解析】 A 目标班学案1【拓2】 （2010全国卷文12）已知在半径为的球面上有、四点，若，则四面体的体积的最大值为（ ）A B C D【解析】 B考点：定性分析空间几何体问题在压轴小题中，有一类立体几何的存在性的题目，此类题目需要对题目的意思
9、理解透彻，对几何体进行定性分析，进而得出结论，一般不需要进行具体的计算【例2】 （2011海淀二模文7）已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有（）A0条B1条 C2条D3条（2012海淀一模文8）在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为（ ） A4 B 6 C 8 D 12 【解析】 ； B目标班学案2【拓2】 （2010全国卷文11）与正方体的三条棱，所在直线的距离相等的点（ ）A有且只有一个 B有且只有两个有且只有三个 D有无数个【解析】 D考点：动点轨迹问题空间中的动点轨迹问题在高中阶段研究，更多的是通过几何方面的分析，进而得到结
10、论， 一般不建立坐标系去求出轨迹方程【例3】 （2011昌平二模文8）如图是长度为定值的平面的斜线段，点为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是（ ）A圆 B椭圆 C一条直线 D两条平行线 正方体的棱长为2，点是的中点，点是平面内的一个动点，且满足，到直线的距离为，则点的轨迹是（ ）A两个点 B直线 C圆 D椭圆【解析】 B A；考点：范围问题【例4】 （2012丰台期末文8）如图，是正方体对角线上一动点，设的长度为，若的面积为，则的图象大致是（ ）A B C D（2012年东城二模文14） 已知四棱柱中，侧棱底面，底面的边长均大于，且，点在底面内运动且在，上的射影分别为，若
11、，则三棱锥体积的最大值为_ （2011东城一模文8）空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离平面，两两互相垂直，点，点到，的距离都是3，点是上的动点，满足到的距离是到到点距离的倍，则点的轨迹上的点到的距离的最小值为（ ）A B C D （2012石景山一模文8）如图，已知平面，、是上的两个点，、在平面内，且，在平面上有一个动点，使得，则面积的最大值是（ ） A B C D【解析】 A D； C考点：折叠问题尖子班学案2【铺1】 （2011朝阳二模文17）在长方形中，分别是，的中点（如左图）将此长方形沿对折，使平面平面（如图），已知，分别是，的
12、中点 求证：平面； 求证：平面平面； 求三棱锥的体积【解析】 取的中点，连接， 因为，分别是，的中点，所以是的中位线 所以，且又因为是的中点，所以所以，且所以四边形是平行四边形所以又平面，平面，所以平面 因为，且，所以平面因为，所以平面因为平面，所以 又因为，且是的中点，所以 因为，所以平面 由知，所以平面又因为平面，所以平面平面 平面平面，且交线为，又，平面即平面所以其中所以【例5】 （2012海淀一模文17）已知菱形中，（如图1所示），将菱形沿对角线翻折，使点翻折到点的位置（如图2所示），点，分别是，的中点 证明：平面； 证明：； 当时，求线段的长【解析】 点，分别是，的中点，又平面，平面
13、，平面 在菱形中，设为，的交点，则在三棱锥中，又平面又平面， 连结，在菱形中，是等边三角形为中点，又，平面，即平面又平面，考点：共面问题【例6】 （2012年海淀二模文17）在正方体中， 棱，的中点分别是，如图所示 求证：平面； 求证：平面； 判断点，是否共面? 并说明理由【解析】 连接在正方体中，四边形是平行四边形，分别是，的中点，是异面直线，平面平面， 平面 连接在正方体中，平面，平面，在正方形中，平面，平面，平面 平面， ，同理可证：平面，平面，平面 点，不共面理由如下： 假设，共面连接，由知， 平面，平面 平面 ，平面平面平面，而与相交，矛盾点，不共面 头脑风暴已知正四棱锥中，那么当该
14、棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A1 B C2 D3【解析】 C；设正四棱锥的底面边长为，则高，所以体积，设，则，当取最值时，解得（的舍去），故时体积最大，此时，选C实战演练【演练1】 （2012年昌平二模文7）四面体的四个面的面积分别为、，记其中最大的面积为，则的取值范围是（ ）A B C D 【解析】 C【演练2】 （2012重庆文9）设四面体的六条棱的长分别为，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（ ）ABCD【解析】 A【演练3】 （2010海淀一模文7）在正四面体中，棱长为4，是BC的中点，在线段上运动（不与、重合），过点作直线平面，与平面交于点，给出下列命题：平面；点一定在
15、直线上；其中正确的是（ ）A B C D【解析】 A；【演练4】 （2011海淀二模文16）已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点 求证：平面平面； 求证：平面 【解析】 由已知可得，四边形是平行四边形，平面，平面，平面；又，分别是的中点，平面，平面，平面；平面，平面， 平面平面 三棱柱是直三棱柱，平面，又平面，又直三棱柱的所有棱长都相等，是边中点，是正三角形，而，平面 ，平面 ，平面，故 四边形是正方形，而，故，由平面，平面，得平面【演练5】 （2012东城一模文17）如图，在边长为的正三角形中，分别为，上的点，且满足将沿折起到的位置，使平面平面，连结，（如图） 若为中点，求证：平面； 求证：【解析】 取中点，连结，在中，分别为，的中点，所以，且因为，所以，且，所以，且 所以四边形为平行四边形所以又因为平面，且平面，所以平面 取中点，连结因为，所以，而，即是正三角形又因为， 所以所以在图2中有因为平面平面，平面平面，所以平面又平面，所以 大千世界（2011对外经贸大学自主招生测试4）直线与平面间距离为，那么到与到距离都等于的点的集合是（ ）A一个平面B一条直线C两条直线D空集【解析】 C；与距离等于的点的集合是两个平行平面，距离都为；与距离为的点的集合是以为轴，以为半径的一个圆柱面，这个圆柱面与上面其中一个平行平面相交，与另一个平行平面不相交，故两者交出两条直线