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1、第5讲 平面解析几何教师备案一、总体架构安排 1总体说明平面解析几何是高考中的重点与难点，通常有一道小题与一道解答题小题考查方程、基本性质时通常是中等难度的题；考查新定义问题创新应用问题则处在小题压轴的位置上解答题题型多变，处在第19题的位置，思路的难度与计算量都较大本讲例1-例4处理选择填空题，以创新应用与综合问题为主；例5、例6处理解答题，主要是过定点问题与非对称形式韦达定理处理这两类问题 本讲例题安排：例题考查点例1直线与圆的问题，注重几何性质例2圆锥曲线问题，方程与几何性质综合例3定性分析类问题例4抛物线与其它内容的综合例5解答题定点问题例6解答题非对称形式韦达定理处理 2时间安排本讲
2、难度与题量偏大，建议课时3.5小时二、一轮、二轮、三轮复习衔接一轮复习时我们用五讲内容复习解析几何，包括直线与圆的方程与位置关系；圆锥曲线的定义、方程与几何性质；直线与圆锥曲线，包括位置关系判断的小题、点差法与代入法，以及弦长与面积的解答题；选择填空题点拨；解析几何解答题中的中垂线问题、坐标运算与角度处理问题、共线问题，以及坐标与长度的处理问题一轮复习我们关注曲线的方程与性质本身的应用，综合性不强二轮复习的小题我们注重性质的创新应用，以及与其它知识的综合如解析几何与不等式等内容的综合、新定义问题、动点存在性问题探索等解答题我们讲两类：一是直线过定点问题；二是非对称形式韦达定理处理三轮复习我们会
3、安排一讲解析几何解答题应对策略与计算技巧，不再从题目的问法角度出发，更多地从解读题目中给出的关键条件并进行合理转化，如何设立计算目标并得到正确的计算结果与解析几何相关的创新题我们会放在创新小题一讲中知识回顾 本版块复习了直线与圆的位置关系；圆锥曲线的定义、基本量与几何性质；焦点三角形与点差法等一轮复习时重点复习过的知识建议时间25分钟，星级表示难度，星星越多，难度较高 1（小题快练）（）（2012朝阳一模9）已知双曲线的方程为，则焦点到渐近线的距离为_（2012海淀高三期末11）若抛物线过点，则点到此抛物线的焦点的距离为 （2012西城高三期末10）双曲线的一个焦点是，则实数 （2012东城二
4、模7）若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为_【解析】 ；（此距离为）；或； 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则_【解析】 ；渐近线方程为，顶点，顶点到渐近线的距离，得 椭圆的焦点为、，过垂直于轴的直线交椭圆于一点，那么的值是_【解析】 ；，于是可求得，所以 已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线上，且轴，若，则双曲线的离心率等于_【解析】 2；，故双曲线的离心率为 已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率 【解析】 已知斜率为1的直线与双曲线相交于、两点，且的中点为则的离心率为_【解析】 ；设、，由点差法知由中点坐标公式得而，代入有，可得 若一个椭圆长轴的长
5、度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_【解析】 ； 2（）已知圆的圆心与点关于直线对称直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为 【解析】 ；3 （）（2012浙江文8）如图，中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点，是双曲线的两顶点若将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是_【解析】 ；4 （）（2012顺义二模13）已知、是双曲线上不同的三点，且、两点关于原点对称，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率_【解析】 ；知识纵横 本版块列出了直线与圆、圆锥曲线的知识网络体系，可以作为学生对自己知识体系的检验老师可以重点讲讲直线方程不同形式如何选择及每种形式不能表示的直线（易错点）、直
6、线与圆的位置关系问题的常见处理手法（利用点到弦的距离对应的三角形）、结合知识回顾回顾总结圆锥曲线的性质与离心率常见求法等倾斜角和斜率直线位置关系直线方程的形式倾斜角的变化与斜率的变化重合平行相交垂直点斜式：yy0k(xx0)斜截式：ykxb两点式：截距式：1一般式：AxByC0注意各种形式的转化和运用范围.两直线的交点距离点到直线的距离：d，平行线间距离：d圆圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系两圆的位置关系相交、相切、相离相离、外切、相交、内切、内含曲线与方程轨迹方程的求法：直译法、相关点法、参数法、交轨法圆锥曲线椭圆双曲线抛物线定义及标准方程性质范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）
7、、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线）离心率对称性问题中心对称轴对称点(x1，y1) 点(2ax1，2by1)曲线f (x，y) 曲线f (2ax，2by)中点在线上、垂直特殊对称轴xyC0直接代入法截距注意：截距可正、可负，也可为0.点(x1，y1)与点(x2，y2)关于直线AxByC0对称例题精讲考点：直线与圆直线与圆的位置关系的判断一般不联立方程，而是通过圆心到直线的距离与半径的大小比较得到这也是直线与圆的问题的主要解决思路， 【例1】 （2011湖北文14）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的斜率为 （2012师大附模拟文7）设、是关于的方程的两个不相等的实数根，那么过
8、两点，的直线与圆的位置关系是（ ）A相切 B相离 C相交 D随的变化而变化（2012江苏12）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是_【解析】 或； A ；目标班学案1【拓2】 若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【解析】 B；考点：圆锥曲线定义及几何意义 本考点涉及到圆锥曲线小题中常遇到的一些基本问题，涉及到圆锥曲线的定义与几何性质等圆锥曲线的小题侧重于几何性质，大题侧重于代数解法这里这些小题都可以通过分析几何方面的特征，转化题目的条件，得到结果【例2】 （2012四川文15）椭圆（为定值，且
9、）的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 （2012昌平高三上期末文8）一圆形纸片的圆心为点，点是圆内异于点的一定点，点是圆周上一点把纸片折叠使点与重合，然后展平纸片，折痕与交于点当点运动时点的轨迹是（ ）A圆 B椭圆 C 双曲线 D抛物线（2012海淀高三期末文8）点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离已知点，圆：，那么平面内到圆的距离与到点的距离之差为1的点的轨迹是（ ）A双曲线的一支 B椭圆 C抛物线 D射线【解析】 B D【备选】 （2011湖北文4）将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为则（ ）A B C D【
10、解析】 C；考点：定性分析类问题 解析几何问题常常在选择或填空的压轴题中出现，其中一类问题需要学生理解题目中所给的条件，以对题目进行定性分析为主，数形结合，避免直接的定量计算，最多辅助一些简单计算，得到所要的结论这里以几道12年的北京模拟与高考题为例，看看定性分析类问题的一些解题思路与思考方向【例3】 （2012浙江文17）定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离，已知曲线到直线的距离等于曲线到直线的距离，则实数_（2012海淀二模文14）已知定点，直线：（为常数） 若点、到直线的距离相等，则实数的值是 ；对于上任意一点，恒为锐角，则实数的取值范围是 （2012西城二模文14）
11、已知曲线的方程是，给出下列三个结论： 曲线与两坐标轴有公共点； 曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形； 若点，在曲线上，则的最大值是其中，所有正确结论的序号是_ _【解析】 ，； 考点：抛物线与其它知识综合 一个问题涉及到两个或两个以上的知识点，需要对这两块知识进行灵活应用，这种知识点之间的综合在考试中非常常见，也是二轮复习的重点尖子班学案1【铺1】 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于，两点（点在轴上方）， 【解析】 ；【例4】 （2012辽宁文12）已知，为抛物线上两点，点，的横坐标分别为，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，则点的纵坐标为（ ）A1 B3 C D （2011
12、西城二模文8）已知点、及抛物线，若抛物线上点满足，则的最大值为（ ）A3 B2 C D （2012年西城一模文14）如图，已知抛物线及两点和，其中过、分别作轴的垂线，交抛物线于、两点，直线与轴交于点，此时就称、确定了依此类推，可由、确定，记，给出下列三个结论： 数列是递减数列； 对，； 若，则其中，所有正确结论的序号是_ 【解析】 C C 考点：定点问题对于直线过定点问题，一般有两种处理方式：一是直接设该直线的方程，通过题目的已知条件化简整理出直线方程中两个系数之间的关系，从而得到定点；二是先通过特殊情形得出定点的坐标，之后通过计算该直线上的两点分别与该定点的连线的斜率，通过斜率相同说明这三点
13、共线，即说明这个定点在该直线上尖子班学案2【铺1】 （2012东城示范校二模文19）已知椭圆（）的左、右焦点分别为， 离心率为以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线相切 求椭圆的方程； 若斜率为的直线与轴、椭圆顺次相交于点（点在椭圆右顶点的右侧），且求证：直线过定点；求斜率的取值范围【解析】 由题意知，所以即 又因为，所以，故椭圆的方程为 由题意，设直线的方程为（），由，消去得：，则， ，得，因为， 且，所以，又，即化简得：，将，代入上式得（满足） 即直线的方程为，即直线过定点将代入 得，且， 从而直线的斜率的取值范围是【例5】 （2012东城高三期末文19）已知椭圆的左、右焦点分别为，
14、点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形 求椭圆的方程； 过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点【解析】 依题意可知， 则椭圆方程为 法一：依题意易知直线的斜率存在，可设的方程为，（），则有，即，化简整理得：，由消去整理得：，则，（*）把代入得：，化简得，而，则，所以直线方程为，即，即直线过定点法二：依题意可知直线，由，消去得，即，代入直线方程得，同理可得，设点，则，同理可得，而，从而，即三点共线，即直线过点考点：非对称形式韦达定理应用对于不能直接利用的韦达定理形式，一般遇到的都是（），此种形式一般处理思路是：把分别代入韦达定理中，得到，从而得到方程：，（其中为
15、直线与圆锥曲线联立消元之后得到的一元二次方程的对应系数）【例6】 （2011东城一模文19）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为 求椭圆的标准方程； 若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围【解析】 设所求的椭圆方程为：，由题意：，所求椭圆方程为： 若过点的直线斜率不存在，则若过点的直线斜率存在，设为，此时直线的方程为，由，因为和椭圆交于不同两点，所以，所以 设，则 由已知，有 将代入得：，故有，整理得：，所以将它代入式得，整理得，解得所以或综上可得，实数的取值范围为目标班学案2【拓2】 （2011西城一模文19）已知椭圆的焦距为，离心率
16、为 求椭圆方程； 设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且，成等比数列，求的值【解析】 由已知，解得，所以，椭圆的方程为 由得过点的直线为，由得，所以，所以，依题意，因为成等比数列，所以，即，即，当时，无解，当时，解得，所以，解得，所以，当成等比数列时，头脑风暴（2011安徽15）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_（写出所有正确命题的编号）存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果与都是无理数，则直线不经过任何整点直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数存在恰经过一个整点的直线
17、【解析】 ；正确，如就不经过任何整点；错误，如经过整点；正确，设：，当经过两个不同的整点，时，有，于是，当，即取，时，点在直线上，且为整点故此时经过无穷多个整点反之一定成立错误，直线经过无穷多个整点的必要条件是与都是有理数，但此条件不充分如不经过任何整点正确，如恰经过一个整点实战演练【演练1】 （2012昌平高三上期末文13）已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为_；该弧上的点到直线的距离的最大值等于_ 【解析】 ；【演练2】 双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【解析】 B；【演练3】 设抛物线
18、的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于、两点，又知点恰为的中点，则 【解析】 8；【演练4】 （2011北京文8）已知点，若点在函数的图象上，则使得的面积为的点的个数为（ ）A B C D【解析】【演练5】 （2012门头沟一模文14） 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，是坐标原点则 ；若该抛物线上有两点、，满足，则直线必过定点 【解析】 ；【演练6】 （2012朝阳高三期末文19）已知椭圆的离心率为，且过点，为其右焦点 求椭圆的方程； 设过点的直线与椭圆相交于、两点（点在两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程【解析】 ， 设椭圆方程为，又点在椭圆上，解得， 则椭圆方程为 依题意易知直线的
19、斜率存在且不为零，可设的方程为（），由消去整理，得，由题意知，解得或 设，则， ， 因为与的面积相等，所以，所以 由得，由得，整理化简得，解得，经检验成立 直线的方程为 大千世界（2011“华约”14）已知双曲线分别为的左右焦点为右支上一点，且使又的面积为 求的离心率； 设为的左顶点，为第一象限内上的任意一点，问是否存在常数使得恒成立若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解析】 设，则由余弦定理知：（*）；又，故代入（*）式得：，得，故； 双曲线方程为，即，显然是双曲线上一点，此时，故于是若存在，则其值只可能为如图，设，为的垂直平分线，则， 于是（注意到）（注意到焦半径公式，如果不知道公式，也可以用两点间距离公式，及点在双曲线上求得的长）由，为的平分线，因此的值为【点评】本题先求的值，得考虑有特殊角出现，故让比较容易求；证明对一般的也成立时，可以用本题的特殊方法，也可以用余弦定理或斜率定义，结合二倍角公式直接证，思路都比较直接，计算量稍大