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1、中考总复习：无理方程-知识讲解（上海版）撰稿：杜少波 审稿：张晓新【考纲要求】1.知道无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念；2.知道解无理方程的一般方法和步骤，并掌握验根的方法，领会无理方程“有理化”的化归思想；3.会应用无理方程（组）解决常见的实际问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、基本概念1.无理方程方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程，也叫根式方程.要点诠释：简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程2.有理方程 整式方程和分式方程统称为有理方程.3.代数方程有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程.要点诠释：代数方
2、程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算.考点二、解无理方程的一般步骤 1.含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤：移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边；两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程；解整式方程；验根；写答案.要点诠释： 解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为：2.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤：移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边；两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程；以下与1步骤相同.考点三、无理方程的应用解无理方程解应用题的基本步骤是：(1)审清题意；
3、(2)设未知数；(3)根据题意找相等关系，并列出无理方程（组）；(4)解无理方程；(5)检验根是否是原无理方程的根；(6)检验所得的根是否符合实际问题的题意；(7)写出答案 要点诠释：审题是解题中最关键的一步，一定要慢，看清题目中的每一个字；解完方程一定不要忘记检验，既要检验是不是原无理方程的根，又要看是不是符合题意.【典型例题】类型一、无理方程的判断1下列方程中是无理方程的是（ ） A. B. C . D. 【思路点拨】判断无理方程的唯一依据是无理方程的定义：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.【答案】D 【解析】A选项缺少二次根式，属于分式方程；B选项根
4、号下没有未知数；C选项属于整式方程；D正确.【总结升华】严格按照无理方程的定义进行判断.举一反三：【变式】已知下列关于x的方程：，.其中属于无理方程的是_(填序号).【答案】类型二、无理方程的解法1平方法解无理方程2解方程 【思路点拨】本题属于含有一个二次根式的无理方程，可以通过平方法转化为整式方程来解.【答案与解析】解：移项得：两边平方得：移项，合并同类项得：解得：或检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根 把代入原方程，左边 = 右边，所以是原方程的根所以，原方程的解是【总结升华】解含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方
5、程的右边；两边同时平方，得到一个整式方程；解整式方程；验根举一反三：【变式】（2012上海）方程的根是 【答案】解：方程两边同时平方得：x+1=4，解得：x=3检验：x=3时，左边=2，则左边=右边，故x=3是方程的解故答案是：x=33. 解方程 【思路点拨】由于在方程的一边含有两个根式，直接平方将很困难这时通常采用把一个根式移到另一边再平方的方法，这样就可以转化为上例的模式.【答案与解析】解：原方程可化为： 两边平方得：整理得：两边平方得：整理得：，解得：或检验：把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根 把代入原方程，左边右边，所以是增根所以，原方程的解是【总结升华】在方程的一边含有两个二
6、次根式，往往需要将两个二次根式置于方程的两边再平方.举一反三：【变式】解方程.【答案】x=1.2换元法解无理方程4.解方程 【思路点拨】通过变形可以出现和，将设为y,用y表示出即可.【答案与解析】解：设，则 原方程可化为：，即，解得：或(1)当时，；(2)当时，因为，所以方程无解检验：把分别代入原方程，都适合所以，原方程的解是【总结升华】本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：因此，可以设，这样就可将原方程先转化为关于的一元二次方程进行处理举一反三：【变式】解方程【答案】解：原方程变形为，设=y，则=，则方程可化为，+y-4
7、=0, 整理得，解得，当y=2时，=2，解得，；当y=-4时，=-4，无解.经检验，都是原方程的解，所以原方程的解为.5. 解方程.【思路点拨】由于，会发现与互为倒数，采用倒数换元法即可.【答案与解析】 解：设，则2，原方程可化为，y-=,整理得，解得，当y=2时，解得，x=；当y=时，无解；经检验，x=是原方程的解，所以原方程的解为x=.【总结升华】本题中与之间互为倒数，采用倒数换元法是本题的最佳选择.类型三、无理方程的应用6.如图，在ABC中，B=90，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果
8、P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒后PQ的长为厘米？ 【思路点拨】本题中设出时间t，就可以表示出PB=6-t，BQ=2t，从而可以根据勾股定理求出PQ=，再根据PQ的长为厘米列出方程. 【答案与解析】解：设经过t（t6）秒后PQ的长为厘米. 根据题意，有， 两边平方，整理得， 由求根公式求得，所以， 经检验，都是原方程的根且符合实际，答：经过秒或秒后PQ的长为厘米.【总结升华】关键是借助勾股定理表示出PQ的长度，再建立方程.举一反三：【变式】求直角坐标平面内到的距离都等于15的点的坐标【答案】解：设满足题意的点为A(x,y)，由题意得，解得，或，经检验，两组都是方程的解，所以A（9,3）或A（-9,3）.答：直角坐标平面内到的距离都等于15的点的坐标为（9,3）或（-9,3）.