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1、中考总复习：二元二次方程组-知识讲解（提高）（上海版）撰稿：杜少波 审稿：张晓新【考纲要求】1.了解二元二次方程和二元二次方程组的概念，能够判定二元二次方程和二元二次方程组；2.掌握由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组（简称“二一”型）的解法，会用“代入法”求方程组的解；3.掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的二元二次方程组（简称“二二”型）的解法，会用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组；4.会列二元二次方程组解决实际问题；5.通过解二元二次方程组，进一步体会“消元”、“降次”的数学思想和方法.【知识网络】 【考点梳理】考点一、二元二次方程和二元二次
2、方程组1. 二元二次方程的定义 仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点诠释：关于x、y的二元二次方程的一般形式是：（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不为零；当b为零时，a与d以及c与e分别不全为零），其中叫做这个方程的二次项，a、b、c分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d、e分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解 能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点诠释：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.3. 二元二次方程组的概念 仅含有两
3、个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.要点诠释：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.考点二、二元二次方程组的解法1. 代入消元法代入消元法解“二一”型二元二次方程组的一般步骤： 把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； 把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； 解这个一元二次方程，求得未知数的值； 把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，
4、就是原方程组的解； 写出原方程组的解.要点诠释：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二一”型方程组；（2）“二一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误. 2、因式分解法 (1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二一”型方程组，解得这两个“二一”型方程组，所得的解都是原方程组的解. (2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四
5、个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.要点诠释： “二二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解.考点三、二元二次方程组的应用应用二元二次方程组解应用题的一般步骤： （1）审题；（2）设未知数（2个）；（3）列二元二次方程组；（4）解方程组；（5）检验是否是方程的解以及是否符合实际；（6）写出答案.要点诠释： 一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求.【典型例题】类型一、二元二次方程组的定义1下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【思路点拨】二元二次方程组的判定满足以下几点：仅含有两个未知数；各方程都是整式方程；未知数
6、的最高次数为2. 以上几点缺一不可.【答案】D.【解析】A选项中含有无理式，B选项中最高次为3次；C选项有3个未知数；D正确.【总结升华】关于定义的问题要严格按教材定义来判断. 类型二、二元二次方程组的解法1. 代入消元法 2. 解方程组： 【思路点拨】将y=x+1代入第二个方程，转化为仅含有一个未知数的一元二次方程.【答案与解析】 解：由得，y=x+1，将代入得，整理，得 ，解得，将代入得，；将代入得，.原方程组的解是.【总结升华】本题体现了“消元”的思想.举一反三：【变式】解方程组 【答案】解：由(1)得y=.(3) 将式(3)代入式(2)，得2x2-3x()+()2-4x+3()-3=0
7、, 化简，得4x2-13x-35=0, 即 (x-5)(4x+7)=0 x1=5, x2=-. 将x1=5代入(3),得y1=3, 将 x2=-代入(3)，得y2=-. 原方程组解的是 2. 因式分解法3. 解方程组【思路点拨】先将方程的左边分解因式，转化为两个一次因式的乘积等于0的形式，然后与方程组成两个二元二次方程组.【答案与解析】解：将式分解因式，得 (x+y)(3x-4y)-(3x-4y)=0 即 (3x-4y)(x+y-1)=0 3x-4y=0,或x+y-1=0. 将它们与方程分别组成方程组，得，（1）； （2）.解方程组（1），得;；解方程组（2），得；.所以原方程组的解是;；.
8、【总结升华】方程采用了分组分解法，本题对分解因式的要求较高.举一反三：【变式】解方程组【答案】解：由得(2xy)(3xy)=0所以可以转化为2xy=0或3xy=0原方程组可化为或用代入法解这两个方程组，得原方程组的解为：；.3. 特殊解法4. 解方程组【思路点拨】把、看成是方程的两根即可.【答案与解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，把、看成是方程的两根，解方程得： 原方程组的解是：或【总结升华】本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把、看成是方程的两根，则更容易求解 (1) 对于这种对称性的方程组，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于、的字母，如
9、(2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解，则必有解类型三、二元二次方程组的应用 5. 一块长方形场地的面积是96平方米，如果把它的长减少1米，宽增加2米，得到的新的长方形面积比原长方形面积增加14平方米，求原来长方形场地的长与宽.【思路点拨】设出原长方形的长与宽，根据题意列出关于面积的两个方程，解之即可.【答案与解析】解：设原来长方形场地的长为x米，宽为y米.由题意得，解这个方程组得， 检验，由于长方形的边长不可能为负数，所以符合实际.答：原来长方形场地的长为12米，宽为8米.【总结升华】解完方程，一定要检验结果是否符合实际情况. 6. k为何值时，方程组. （1）有两组相等的实数解； （
10、2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解.【思路点拨】将（2）式代入（1）式转化为关于x的一个方程，再去考虑方程的根的情况.【答案与解析】解：将(2)代入(1)，整理得k2x2+(2k-4)x+1=0(3) （1）当时，方程(3)有两个相等的实数根. 即 解得：，k=1. 当k=1时，原方程组有两组相等的实数根. （2）当时，方程(3)有两个不相等的实数根. 即 解得：，k1且k0. 当k1时，原方程组没有实数根.【总结升华】因为在（1）、（2）中已知方程组有两组解，可以确定方程(3)是一元二次方程，但在（3）问中不能确定方程(3)是否是二次方程，所以需要分两种情况讨论.使用判别式“”的前提条件是能确定方程为一元二次方程，不是一元二次方程不能使用.举一反三：【变式】当m取何值时，方程组 （1）只有一个解，并求出此解；（2）有两个不同的解；（3）无解【答案】（1）m=0时，方程组的解为； m=时，方程组的解为 . （2）m且m0； （3）m.