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1、 第12讲 运动的合成 与分解 基础知识梳理暑假的课程中，我们学习了曲线运动的基本概念，物体做曲线运动的条件，运动的合成与分解的基本方法。下面我们对这些内容进行复习。重点知识回顾1曲线运动的位移和速度 在曲线运动问题中位移矢量的方向在不断变化，运算不太方便，所以要尽量用它在坐标轴方向的分矢量来表示它。 质点做曲线运动时，某一点的速度方向沿曲线在这一点的切线方向。 曲线运动为变速运动。2运动的合成与分解 如果物体同时参与了几个不同方向上的运动，那么这个物体的实际运动就叫那几个运动的合运动，而把那几个运动叫做这个实际运动的分运动。 已知分运动求合运动叫运动的合成，已知合运动求分运动叫运动的分解。
2、描述运动的物理量中，位移、速度、加速度是矢量，所以在运动的合成与分解时，它们都遵从平行四边形定则。3. 合运动与分运动的关系 等时性：合运动和各分运动经历的时间相等。 独立性：各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。 等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，各分运动的总的运动效果与合运动可以相互替代。4. 物体做曲线运动的条件 动力学角度：合力的方向与速度的方向不在同一直线上。 运动学角度：加速度的方向与速度的方向不在同一直线上。基础训练1 关于曲线运动中速度的方向，下列说法中正确的是A在曲线运动中速度的方向总是沿着曲线且保持不变B在曲线运动中，某一点的即时速度的方向与质点运动的方向成
3、一定的夹角C在曲线运动中，某一点的即时速度的方向就是曲线上的这一点的切线方向D曲线运动中速度的方向不断改变，但速度的大小不一定改变【答案】 CD2 关于曲线运动中的速度和加速度，下列说法中正确的是A速度方向不断改变，则加速度的方向一定不断改变 B速度方向不断改变，则加速度一定不为零C加速度越大，则速度的大小改变的越快 D加速度越大，则速度改变得越快【答案】 BD3 关于运动的合成与分解，以下说法正确的是A由两个分运动求合运动，合运动是唯一确定的B由合运动分解为两个分运动，可以有不同的分解方法C物体只有做曲线运动时，才能将这个运动分解为两个分运动D任何形式的运动，都可以用几个分运动代替【答案】
4、ABD4 曲线运动中，下列说法正确的是物体的位移大小与路程一般是不相等的物体的速度大小一定变化物体的加速度方向跟速度方向在一直线上物体所受的合外力方向跟速度方向不在同一直线ABCD【答案】 A12.1小船过河问题知识点睛小船在有一定流速的河水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中船的运动），船的实际运动是这两个运动的合运动。考查最多的是过河最短时间和最短位移两类问题。1 最短时间问题若是小船过河时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图所示，此时过河时间为（为河宽）。当渡完河时，小船的位移为。2 最短位移问题若小船过河位移最短，应使合速度方
5、向垂直于河岸，所以将船头偏向上游，并与河岸成一定的角度，根据三角函数关系有：，因为，所以只有在时，船才有可能垂直于河岸横渡。因此需要分两种情况讨论： 当时，和的合速度和河岸垂直，最小位移为，合速度的大小为，对应的渡河时间为，如图所示。 当时，小船是不能沿垂直于河岸的方向运动的。此时指向下游与河岸的夹角为，渡河位移，显然，越大，越小。如图所示，以矢量末端为圆心，以矢量的大小为半径圆弧，从矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短，由图知：最短航程。例题精讲例题说明：例1是基本的小船过河的题目，考察了3种情况的计算，例2考察的是对最短时间问题的理解，例3、例4、例5考察的是小船渡河问题的
6、综合应用。【例1】 小船在宽的河中横渡，水流速度是，小船在静水中的航速是，求： 小船需要怎样才能以最短时间渡过河去？此时位移为多少？ 小船船头应该怎么样才能以最短路径渡过河去？需时多少？ 若水速突然加快，变为，此时渡河的最短航程为多少？【答案】 船头垂直河岸行驶，位移为 船头与河岸上游成，渡河时间为 【例2】 小船在水速较小的河中横渡，并使船头始终垂直河岸航行，到达河中间时突然上游来水，使水流速度加快，则对此小船渡河的说法正确的是A小船要用更长的时间才能到达对岸B小船到达对岸的时间不变，但位移将变大C因小船船头始终垂直河岸航行，故所用时间及位移都不会变化D因船速与水速关系未知，故无法确定渡河时
7、间及位移的变化【答案】 B【例3】 某人横渡一条河，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为，若船速大于水速，此船用最短的位移过河，则需时间为，则船速与水速之比应为A B C D【解析】 设船速为，水速为，并且。设河宽为，则船过河最短时间为： 船渡河最短位移为，此时速度平行四边形如图所示，船的合速度为：，船用最短位移过河所用的时间为： 由、得，解得：由此可知本题选项A是正确的。【答案】 A【例4】 有一艘船正在渡河，如图所示，在离对岸时，其下游处有一危险水域，假若水流速度为，为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么，从现在起，小船相对于静水的最小速度应是多大？【解析】 如图所示，当小船到达
8、危险水域前，恰好到达对岸，其合速度方向沿方向，为使船速最小，应使，则【答案】*再补充一道综合性比较强的小船过河问题，老师可根据本班学生情况自行选择本题。如图所示，甲、乙两同学从河中点出发，分别沿直线游到点和点后，立即沿原路线返回到点，分别与水流方向平行和垂直，且。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间的大小关系为A BC D无法确定【答案】 C*挑战极限【例5】 甲、乙两船在静水中划行的速度分别为，两船从同一渡口向河对岸划去，若甲船以最短时间过河，乙船以最短航程过河，结果两船在同一地点到岸，则两船过河时间之比为A B C D【解析】 甲以最短时间过河，则必定垂直于河岸；乙船以最短
9、航程过河，一般情况下，应是乙的合速度与河岸垂直，但两船在同一地点到岸，说明乙船合速度不可能垂直于河岸（实质上是乙划行速度小于水流速度），这时，要航程最短，应是乙的合速度与河岸夹角尽可能大，最大夹角对应乙的划行速度与乙的合速度垂直。 两船航程相等，而， ，又 ， 。【答案】 B12.2绳、杆末端速度分解问题知识点睛绳子末端速度的分解方法：1. 如图所示，实际可见的运动是物体在平面上滑动，因此速度是实际运动的合速度。2. 绳子末端运动速度的分解，应按运动的实际效果进行。绳子的末端的运动（即物体的实际运动）可看做两个分运动的合成： 沿绳的伸缩方向运动； 垂直于绳的摆动。3. 速度投影定理：不可深长的
10、杆或绳，尽管各点速度不同，但各点速度沿杆或绳方向的投影相同。4. 对于杆末端速度分解问题，同绳的情况。*老师在讲解知识点时可结合下面这道例题。如图，人用绳通过定滑轮拉物体，当人以速度匀速向左前进时，求 物体速度的表达式 人在向左匀速运动的过程中，物体的速度怎么变化？【答案】 逐渐增大*例题精讲例题说明： 例6、例7为基本的绳端速度分解问题，例8涉及到两个物体的运动情况，例9是杆末端速度分解问题。【例6】 如图所示，重物沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高，则当滑轮右侧绳与竖直方向的夹角为，且重物下滑的速度为时，小车的速度是多少？【答案】*本题是2011年上海物理第11题，老师可以选讲如图，
11、人沿平直的河岸以速度行走，且通过不可深长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为时，船的速率为A B C D 【答案】 C*【例7】 如图所示，用汽车将深井内重物提起，当汽车在地面上由行驶到时，速度为，此时绳和竖直方向夹角为，此时重物的速度多大？ 【答案】【例8】 如图所示，、两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当物体以速度向左运动时，系，的绳分别与水平方向成，角，此时物体的速度大小为 ，方向 。 【解析】根据、两物体的运动情况，将两物体此时的速度和分别分解为两个分速度（沿绳的分量）和（垂直绳的分量）以及（沿绳的分量）和（垂直绳的分量），如图，由于两物体沿
12、绳的速度分量相等，则物体的速度方向水平向右，其大小为【答案】 ，水平向右*老师如果想把运动与牛二律的知识相结合，可以用下面这道题目。如图所示，物体和的质量均为，且分别与轻绳连接跨过定滑轮（不计绳子与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦）。当用水平变力拉物体沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中A物体也做匀速直线运动B绳子拉力始终大于物体所受的重力C绳子对物体的拉力逐渐增大D绳子对物体的拉力逐渐减小【解析】 物体的速度为，显然随的增大减小，增大。选B运动的最终时，此时加速度为零，与此前物体有加速度的情况对比可以外推出物体的加速度在减小（最终减到零），选D。【答案】 BD*【例9】 两根光滑的杆互相垂直地固定在
13、一起，上面分别穿有一个小球。小球、间用一细直棒相连，如图。当细直棒与竖直杆夹角为时，求两球实际速度之比【答案】挑战极限【例10】 如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为和的小球。当的速度为时，求的速度。【答案】*本题对速度分解的考察较为灵活，很好地体现了“速度关联”的思想。但是接触点的分速度与小球速度的关系涉及圆周运动的知识。请教师酌情讲授：或者以此例引出角速度概念，或者在下节讲完圆周运动的运动学以后再呈现给学生。如图所示，长为的轻细直杆一端可绕水平地面上的点在竖直平面内转动，另一端固定一小球，杆一直靠在正方体箱子的左上角边上，箱子的边长为。不计一切摩擦，当杆与水平面夹角为时，求小球的速度与箱子的速度的比值 。【答案】 *