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1、 第8讲 运动的合成 与分解在前面的学习中，我们研究了直线运动。自然界中的曲线运动也很常见，例如，秋风中翩翩落下的树叶，喷泉喷出的水柱，运动员踢出的香蕉球，天体的运动，高速粒子在气泡室中的运动等，运动轨迹都是曲线。那么，曲线运动有什么规律呢？接下来的两讲我们就来研究曲线运动的问题。 8.1 曲线运动的描述 知识点睛描述直线运动时，要用到位移和速度两个物理量，描述曲线运动时，同样要用到这两个物理量。1曲线运动的位移研究物体的运动时，坐标系的选取是很重要的。例如我们把一个物体沿水平方向抛出，它不会一直在水平方向上运动，而是沿着一条曲线落向地面。这种情况下无法应用直线坐标系，而应该选择平面直角坐标系
2、。例如，可选择抛出点为坐标原点，让轴沿水平抛出方向，轴沿竖直向下的方向（如图所示）。当物体到达位置时，其相对抛出点的位移大小为，方向由指向。在曲线运动问题中位移矢量的方向在不断变化，运算不太方便，所以要尽量用它在坐标轴方向的分矢量来代表它。由于位移两个分矢量的方向是确定的，只用点的坐标就能表示，因此可使复杂的问题简单化。2曲线运动的速度 运动员掷链球时，链球在手的牵引力下做曲线运动，一旦运动员放手，链球即刻飞出。放手的时刻不同，链球飞出的方向也不一样，可见做曲线运动的物体，不同时刻的速度具有不同的方向。观察砂轮打磨下来的炽热微粒。飞出的链球分别沿什么方向运动。 质点做曲线运动时，在某一点的速度
3、，沿曲线在这一点的切线方向。 速度是矢量，它与力、位移等其他矢量一样，可以用它在相互垂直的两个方向的分矢量来表示，这两个分矢量叫做分速度。如图所示，仍以被抛出的物体的运动为例，物体速度记为，沿曲线的切线方向，、是它在两个坐标轴方向的分速度。、与速度的关系是：3曲线运动的运动学特点曲线运动中速度的方向时刻改变，因此曲线运动中一定存在加速度，曲线运动为变速运动。 例题精讲例题说明：这部分不涉及物体做曲线运动的条件，因此只放了两个曲线运动特点的简单例题【例1】 关于曲线运动中速度的方向，下列说法中正确的是A在曲线运动中速度的方向总是沿着曲线且保持不变B在曲线运动中速度的方向总是沿着曲线且时刻改变C在
4、曲线运动中，某一点的瞬时速度的方向沿曲线在这一点的切线方向D曲线运动一定是变速运动【答案】 CD【例2】 下列说法正确的是A做曲线运动的物体，速度方向一定变化 B速度方向发生变化的运动一定是曲线运动C速度变化的运动一定曲线运动D做曲线运动的物体一定具有加速度【答案】 AD8.2运动的合成与分解 *教师版说明：老师可以以蜡块的运动为例，引导学生通过分运动来研究合运动，然后引出运动的分解与合成的相关概念。小船过河问题中，讲义中给出了全部情况，老师根据情况，可以不讲最短位移渡河时，水速大于船速的情况，例题中只有例12涉及这种情况，老师跳过即可。* 知识点睛1探究蜡块的运动如图甲所示，在长约80 10
5、0cm的一端封闭的玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体（圆柱体的直径略小于玻璃管的内径，圆柱体的轻重大小适宜，使它在水中大致能匀速上浮）。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧。如图乙所示，将玻璃管倒置，蜡块沿玻璃管上升。如果在玻璃管旁边树立一个米尺，可以看到，除了开始的一小段外，蜡块上升的速度大致不变。在将玻璃管上下颠倒，在蜡块上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速移动（图丙），以黑板为参照物，研究蜡块的运动。 蜡块的位置首先，以蜡块开始运动的位置为原点，水平向右的方向和竖直向上的方向分别为轴和轴的方向，建立平面直角坐标系（如图）。我们设法写出蜡块的坐标随时间变化的关系式。若以表示玻
6、璃管向右移动的速度，以表示蜡块沿玻璃管上升的速度，则有 蜡块的速度速度与、的关系由图中几何关系可以得到。根据勾股定理可得：根据三角函数关系，还可以确定速度的方向，即 蜡块的轨迹在数学上，关于，两个变量的关系式描述一条曲线（包括直线），而在上面，的表达式中，除了，之外还有一个变量，消去可得，由于和都是常量，所以代表的是一条过原点的直线，也就是说，蜡块的运动轨迹是直线。通过上面的分析可以看到，蜡块在运动过程中同时参加了水平、竖直两个方向的运动，它的实际运动效果是由这两个方向的运动共同作用产生的。2运动的合成与分解 合运动与分运动如果物体同时参与了几个不同方向上的运动，那么这个物体的实际运动就叫那几
7、个运动的合运动，而把那几个运动叫做这个实际运动的分运动。 运动的合成与分解已知分运动求合运动叫运动的合成，已知合运动求分运动叫运动的分解。 运动合成与分解的运算法则描述运动的物理量中，位移、速度、加速度是矢量，所以在运动的合成与分解时，它们都遵从平行四边形定则。3合运动与分运动的关系通过观察蜡块的运动，我们可以总结出合运动与分运动的关系： 等时性合运动和各分运动经历的时间相等 独立性各分运动独立进行，不受其他分运动的影响 等效性合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，各分运动的总的运动效果与合运动可以相互替代。4小船过河问题 请大家思考以下问题【问题1】当小船在有一定流速的水中过河时，同时参与
8、几个运动？其实际运动方向如何？【答案】 小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动和船在静水中的运动，船的实际运动为合运动。【问题2】影响过河时间的因素有哪些？【答案】 河宽、划船速度的大小及方向。注意：水流速度与过河时间无关【问题3】如何使过河时间最短？【答案】 当船头与河岸垂直时，过河时间最短。，如图所示【问题4.1】小船如何过河，路程最短？【答案】 垂直过河，即合速度，垂直河岸。使船垂直过河时，位移为河宽，最短【问题4.2】船的合速度一定能垂直河岸吗？若使船的合速度垂直河岸，船速需要满足什么条件？【答案】 不能，【问题4.3】如果呢？有没有最短路程？若有最
9、小值，何时取得最小值？最小值是多少？【答案】 当时，无论船如何航行，总是被冲向下游。设合速度与垂直河岸方向的夹角为，当越小时，船过河的实际位移越短。那么在什么条件下，最小呢？可以由几何方法求得：以矢量的末端为圆心，大小为半径做圆，从首端做圆的切线，该切线方向即为最短航程方向（最小），此时，。因此，船速垂直于合速度时，过河路程最短，其最短路程是： 例题精讲例题说明：例3考察合运动的概念；例4考察蜡块实验，例5、例6考察两个匀速直线运动合成；例7、例8考察一个匀速直线运动与一个匀加速直线运动的合成，其中例7是蜡块实验的变式，例8难度较大，老师根据情况，决定是否讲此题；例9是两个同方向运动的合成。例
10、10例15考察小船过河模型；例10直接考察各种结论；例11涉及计算；例12涉及最短位移渡河时，水速大于船速的情况，如果老师感觉难度较大，可以不讲；例13同时涉及两种过河方式；例14、例15是小船过河模型的变式。【例3】 对于两个分运动的合运动，下列说法正确的是A合运动的速度一定大于两个分运动的速度B合运动的速度一定大于一个分运动的速度C合运动的方向就是物体实际运动方向D两个分运动的时间一定与合运动的时间相同【答案】 CD【例4】 如图所示，竖直放置的玻璃管中注满清水，且其两端均封闭，玻璃管内有一个红蜡块能在水中以的速度匀速上浮。红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平向右匀速运动，测得
11、红蜡块实际运动方向与水平方向夹角为。则 玻璃管水平方向的移动速度约为 若玻璃管的长度为，则当红蜡块从玻璃管底端上浮到顶端的过程中，玻璃管水平运动的距离为A B C D【答案】 C【例5】 如图所示，一块橡皮用细线悬挂于点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度A大小和方向均不变B大小不变，方向改变C大小改变，方向不变D大小和方向均改变【答案】 A【例6】 如图所示，直杆长，猴子在直杆上由向匀速向上爬，同时人用鼻子顶着直杆水平匀速运动。在内，猴子由运动到，而人也由甲位置运动到乙位置，已知，求 猴子对地的位移 猴子对地的速度【答案】 ，与水平方向成 ，与水平方
12、向成【例7】 某研究性学习小组进行了如下实验：如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与轴重合，在从坐标原点以速度匀速上浮的同时，玻璃管沿轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。则在上升过程中运动轨迹的示意图是 。（视为质点）【答案】 D【例8】 如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车，小车下装有吊着物体的吊钩。在小车与物体以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体向上吊起，之间的距离以 (SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做A速度大小不变的曲线运动 B速度大小增加的曲
13、线运动C加速度大小方向均不变的曲线运动D加速度大小方向均变化的曲线运动【答案】 BC【例9】 某人站在自动扶梯上，经过时间从一楼升到二楼；如果自动扶梯不动，人沿扶梯从一楼走到二楼的时间为；现使自动扶梯正常运动，人也保持原有速度从扶梯向上走，则从一楼到二楼的时间为A B C D【答案】 C【例10】 某船在一条水流速度一定的河上以恒定的速度渡河，下列说法正确的是A船身垂直河岸向对岸航行，航行时间最短 B船身垂直河岸向对岸航行，实际航线最短C船头朝向上游，使船与河岸成某一夹角航行时，有可能使航行时间最短D船头朝向上游，使船与河岸成某一夹角航行时，有可能使实际航线最短【答案】 AD【例11】 河宽，
14、水流速度，船在静水中的速度，要使过河时间最短，船应怎样渡河？要使航程最短，船应怎样渡河？【答案】 船头沿垂直河岸的方向渡河 船头与垂直河岸的方向成角朝向上游。【例12】 某人划船在静水中划行速度，若他在水速的河中匀速划行，若要使船的实际划行轨迹最短，他应怎样划行？【答案】 船头朝向上游与河岸成角【例13】 水流速度为的河流中，有甲、乙两船，它们自同一岸同时驶向对岸，甲以最短位移过河，乙以最短时间过河，结果同时到达对岸，则甲、乙两船在静水中的速度、（均大于）的大小关系是A B C D不能确定 【答案】 A【例14】 飞机在航空测量时，它的航线要严格地从西向东，如果飞机在无风时的速度是，风从正南面
15、吹来，风的速度为，那么飞机所测地区长为，需要时间为多少【答案】【例15】 玻璃板生产线上，宽的成型玻璃板以的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制？切割一次的时间多长？【答案】8.3 物体做曲线运动的条件 知识点睛物体在什么条件下做曲线运动？先通过下面这个实验来观察如图所示，一个钢球在水平面上做直线运动，如果在钢球的路径旁边放一根条形磁铁，钢球就会不断偏离原来的速度方向，做曲线运动了。实验结论：当运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上时，物体就做曲线运动。1物体做曲线运动的条件 动力学角度：合力的
16、方向与速度的方向不在同一直线上 运动学角度：加速度的方向与速度的方向不在同一直线上2曲线运动的分类 例题精讲例题说明：例16、例17、例18考察物体做曲线运动的条件；例19、例20、例21是物体做曲线运动条件的应用，考察轨迹与受力的相互判断；例22综合考察曲线运动条件以及运动的合成与分解。【例16】 关于物体做曲线运动的条件，下列说法中正确的是A所受的合力为变力B所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上C所受合力的方向与它的加速度方向不在同一直线上D所受合力的方向一定是变化的【答案】 B【例17】 下列说法中正确的是A做曲线运动的物体，速度方向必定变化B速度变化的运动必定是曲线运动C加速度恒
17、定的运动不可能是曲线运动D加速度变化的运动必定是曲线运动【答案】 A【例18】 物体受到几个恒力的作用而做匀速直线运动，如果撤去其中的一个力而保持其余的力的大小方向都不变，则下列说法正确的是A物体可能做匀变速直线运动 B物体可能做匀变速曲线运动 C物体可能做非匀变速曲线运动 D物体速度大小的变化情况无法确定【答案】 ABD【例19】 如图所示，物体在恒力作用下沿曲线从运动到，此时使它受力方向反向（大小不变），则物体以后的运动情况可能是A沿曲线运动B沿直线运动C沿曲线运动D因力的具体方向未知，无法确定【答案】 A【例20】 一物体由静止开始下落一小段时间后突然受到一恒定水平风力的影响，但着地前的一段时间风突然停止，则物体下落至落地前的过程中其运动轨迹可能为图中的【答案】 C【例21】 一个质点在恒力的作用下，由点运动到点的轨迹如图所示，在点时速度的方向与轴平行，则恒力的方向可能沿A轴 B轴 C轴 D轴【答案】 D【例22】 下列说法正确的是A两个分运动是直线运动，则它们的合运动也一定是直线运动B两个分运动是匀速直线运动，则它们的合运动也一定是匀速直线运动C两个分运动是初速为零的匀加速直线运动，则它们的合运动也一定是初速为零的匀加速直线运动D两个分运动是初速不为零的匀加速直线运动，它们的合运动可能是匀加速曲线运动【答案】 BCD